2023-2024学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 12C. 4.5D. 5
2.下列函数是正比例函数的是( )
A. y=3xB. y=3xC. y=x2+1D. y=3x+1
3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF=( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4.“1000米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y(单位：米/分)与时间x(单位：分)之间的大致图象的是( )
A. B.
C. D.
5.从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是s甲2=2.5，s乙2=1.0，s丙2=4.5，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
6.一次函数y=2x−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在直线l上方有正方形①，②，③，若①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为( )
A. 24B. 20C. 12D. 22
8.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的纽带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时(即水平距离CD=8m)，踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 10mB. 9mC. 8mD. 6m
9.下列命题中逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 等角对等边
C. 内错角相等D. 如果a=b，那么|a|=|b|
10.如图，正方形ABCD的边长为 2，点P为对角线BD上动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使代数式 x−3有意义的x的取值范围是______.
12.化简： (3−π)2=__________.
13.如图，E是直线CD上的一点．已知平行四边形ABCD的面积为50cm2，则△ABE的面积为______cm2.
14.如图，直线y=ax+b经过点(−4,0)，则不等式ax+b≥0的解集为______.
15.如图，在△ABC中，O是AC边上的中点，过点O作一条直线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.当EO=OF时，四边形AECF的形状是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 3+ 12− 13.
(2)( 3−1)2+( 3+2)( 3−2).
17.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90∘，∠ACB=30∘，AB=3，AD=10，CD=8.求证：△ACD是直角三角形.
18.(本小题7分)
我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH，连接BD，证明：四边形EFGH是平行四边形.
19.(本小题9分)
某校八年级(1)班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷.在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x(次/分钟)，分为如下五组：A组：50≤x<75，B组：75≤x<100，C组：100≤x<125，D组：125≤x<150，E组：150≤x<175.
根据统计数据绘制了不完整的统计图(如图所示)，请结合统计图解答下列问题：
(1)其中A组数据为：70，65，65，50，50，60，60，60.A组数据的中位数是______次，众数是______次，平均数是______次.
(2)这部分学生共有______人， C组频数是______人.
(3)一般运动的适宜心率为100≤x<150(次/分钟)，即C、D组都是适宜的心率.该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率.
20.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若AB=5，BD=6，求OE的长.
21.(本小题9分)
“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元.根据以上信息，解答下列问题：
(1)分别求出y1，y2关于x的函数表达式(x≥0)；
(2)求出当租车时间x为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间x范围为多少时，甲公司费用便宜？
22.(本小题12分)
【阅读与应用】如图1已知平面内两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，过这两点分别做垂直于x轴和y轴的虚线相交于点M，则BM间的距离为|x1−x2|，则BM2=(x1−x2)2，同理AM间的距离为|y1−y2|，则AM2=(y1−y2)2，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，即：AB2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，则平面内任意两点间的距离公式为AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2.
(1)如图2，已知点A(4,5)、B(1,1)，试利用两点间的距离公式求A、B两点间的距离？
(2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记P=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S= P(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式叫“海伦公式”.
如图3，在(1)的条件下，△ABC中，AB=c，BC=a=7，AC=b=8，试利用“海伦公式”，求△ABC的面积？
(3)如图4，在(2)的条件下，过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长？
23.(本小题12分)
【综合探究】
在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)、B(x2,y2)，点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为(x2+x12,y2+y12).
(1)如图1，已知点A(−1,3)、B(3,−1)，则线段AB的中点M坐标为______；
(2)如图2，在(1)的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN=S△EON时，求点C的坐标.
(3)如图3，在(1)(2)的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 12= 22， 12不是最简二次根式，不符合题意；
B、 12=2 3，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 4.5= 92=3 22，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 5是最简二次根式，符合题意．
故选：D.
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】A
【解析】解：y=3x符合正比例函数的定义，y=3x，y=x2+1，y=3x+1均不符合正比例函数的定义，
故选：A.
形如y=kx(k≠0)的函数即为正比例函数，据此进行判断即可．
本题考查正比例函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠ABF=∠F，∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，
∴AE=AB=3，
∴DF=DE=AD−AE=5−3=2，
故选：C.
根据平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，结合角平分线的性质推出∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，得到AE=AB=3，即可求出DE=DF=AD−AE=5−3=2.
此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵开始时，小明慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，
∴B选项符合题意．
故选：B.
根据已知条件即可得出答案．
本题主要考查函数的图象，根据已知条件得出信息是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵s甲2=2.5，s乙2=1.0，s丙2=4.5，
∴s乙2∴这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙．
故选：B.
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
6.【答案】B
【解析】解：由题意知，k=2>0，b=−1<0时，函数图象经过一、三、四象限．
故选：B.
根据一次函数的解析式判断出k和b的符号即可解答．
本题考查了一次函数y=kx+b图象所过象限与k，b的关系，当k>0，b<0时，函数图象经过一、三、四象限．
7.【答案】B
【解析】解：∵在直线l上方有正方形①，②，③，
∴AC=CD，∠ACD=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠BAC+∠ACB=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC与△CED中，
∠BAC=∠DCE∠ABC=∠DECAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴DE=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2，
∴②的面积为4+16=20，
故选：B.
利用AAS证明△ABC≌△CED，得DE=BC，再利用勾股定理可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△ABC≌△CED是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵CF=5m，BE=1m，
∴DB=4m，
设AC=AB=xm，则AD=(x−4)m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD2+CD2=AC2，
(x−4)2+82=x2，
解得x=10，
∴绳索AC的长是10m，
故选：A.
在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程求出AC即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B、等角对等边逆命题是等边对等角，是真命题，符合题意；
C、内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，是假命题，不符合题意；
D、如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b，是假命题，不符合题意；
故选：B.
先写出逆命题，再根据对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质判断即可；
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接PC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为 2，
∴BC= 2，∠BCD=∠ABC=90∘，∠BCD=45∘，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，
∵点P在BD上，根据“垂线段最短”可知当PC⊥BD时，PC为最短，
当PC⊥BD时，由于∠BCD=45∘，
∴△PBC为等腰直角三角形，即PB=PC，
在Rt△PBC中，PB=PC，BC= 2，
由勾股定理得：PB2+PC2=BC2，
∴2PC2=( 2)2，
∴PC=1(舍去负值)，即PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1.
故选：D.
连接PC，先证四边形PECF是矩形得EF=PC，据此得要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，根据“垂线段最短”可知当PC⊥BD时，PC 为最短，然后Rt△PBC中由勾股定理求出PC即可，得到EF的最小值．
本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当PC⊥BD时，线段PC为最短．
11.【答案】x≥3
【解析】解：根据题意，得
x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案是：x≥3.
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】π−3
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3.
故答案是：π−3.
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
13.【答案】25
【解析】解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，
∵▱ABCD的面积为50cm2，
∴△ABE的面积为25cm2.
故答案为：25.
根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．
14.【答案】x≥−4
【解析】解：由图象可以看出：当x≥−4时，y≥0，
∴不等式ax+b≥0的解集为x≥−4，
故答案为：x≥−4.
根据图象得出当x≥−4时，y≥0，即可得到答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键．
15.【答案】矩形
【解析】解：∵O是AC边上的中点，
∴OA=OC，
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵过点O作一条直线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
又∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180∘，
∴∠ACE+∠ACF=90∘，
∴∠ECF=90∘，
∴四边形AECF是矩形，
故答案为：矩形．
由OA=OC，OE=OF判定四边形AECF是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平角的定义得出∠ECF=90∘即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，证明∠ECF=90∘是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式= 3+2 3− 33
=8 33；
(2)原式=3−2 3+1+3−4
=3−2 3.
【解析】(1)化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先展开，再合并即可．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
17.【答案】证明：∵∠B=90∘，∠ACB=30∘，AB=3，
∴AC=2AB=6，
∵AC2+CD2=62+82=100，AD2=102=100，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
【解析】先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AC=6，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，利用含30度角的直角三角形，熟练掌握利用含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】证明：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH、FG分别为△ABD、△BCD的中位线，
∴EH=12BD，EH//BD，FG=12BD，FG//BD，
∴EH=FG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【解析】根据三角形中位线定理得到EH=12BD，EH//BD，FG=12BD，FG//BD，得到EH=FG，EH//FG，根据平行四边形的判定定理证明即可．
本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、平行四边形的判定，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
19.【答案】60 60 60 100 30
【解析】解：(1)将A组数据从小到大排列为：50，50，60，60，60，65，65，70，
∴中位数为60+602=60(次)；
∵60出现的次数最多，
∴众数是60次；
平角次数为：(50+50+60+60+60+65+65+70)÷8=60(次).
故答案为：60，60，60；
(2)8÷8%=100，
100−8−15−45−2=30(人)，
∴C组的人数为30.
故答案为：100，30；
(3)2000×30+45100=1500(名)，
∴大约有1500名学生达到适宜心率．
(1)根据中位数和众数的概念求解，
(2)根据总人数减去其他组的人数，即得出C组的频数；先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以360∘即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
(3)根据样本估计总体的方法求解即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∵AB=AD，
∴AB=CD，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OB=12BD=3，
在Rt△AOB中，∠AOB=90∘，
∴OA= AB2−OB2= 52−32=4，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘，
在Rt△AEC中，∠AEC=90∘，O为AC中点，
∴OE=12AC=OA=4.
【解析】(1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
(2)根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90∘，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE=AC，即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y1=kx+b，
把(0,100)，(10,200)代入得：
b=10010k+b=200，
解得k=10b=100，
∴y1=10x+100；
由图象可知，y2=30010x=30x；
∴y1=10x+100(x≥0)，y2=30x(x≥0)；
(2)由10x+100=30x得x=5，
∴当租车时间x为5时，两公司所需费用相同；
由图象可知，租车时间x范围为x>5时，甲公司费用便宜．
【解析】(1)用待定系数法可得y1=10x+100；由图象可知乙公司租车每小时30元，即可得y2=30x(x≥0)；
(2)结合(1)列出方程可得两公司所需费用相同时x的值，再结合图象可得甲公司费用便宜时x的范围．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
22.【答案】解：(1)AB= (4−1)2+(5−1)2=5；
(2)∵p=5+8+72=10，
∴S△ABC= 10×(10−5)×(10−7)×(10−8)=10 3；
(3)∵2S△ABC=AB⋅CD=20 3=5CD，
解得：CD=4 3.
【解析】(1)根据两点之间的距离公式求解；
(2)根据海伦求解；
(3)根据三角形的面积公式列方程求解．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
23.【答案】(1,1)(3,−1)或(−3,5)
【解析】解：(1)∵点A(−1,3)、B(3,−1)，
∴线段AB的中点M坐标为(1,1)；
故答案为：(1,1).
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B坐标代入得：
−k+b=33k+b=−1，
解得k=−1b=2，
∴直线AB的解析式为y=−x+2，
∴E(0,2)，N(2,0)，
∴S△EON=12×2×2=2，
∵S△MCN=S△EON，
∴S△MCN=2，
设点C坐标为(t,0)，则CN=2−t，
∴12×(2−t)×1=2，
解得t=−2，
∴C(−2,0)；
(3)①如图A，当点P在y轴负半轴时，
∵四边形CPQM是平行四边形，
∴PC//AB，
设PC解析式为y=−x+b，代入点C(−2,0)坐标得，b=−2，
∴P(0,−2)，
由中点坐标公式得：1+0=−2+xQ，1+(−2)=0+yQ，
∴Q(3,−1).
如图B，当点P在y轴正半轴时，
∵CMPQ是平行四边形，M是AB的中点，
∴点A是QM的中点，
由中点坐标公式得：xQ+1=−1×2，yQ+1=3×2，
∴Q(−3,5)，
综上分析，满足条件的点Q坐标为(3,−1)或(−3,5).
故答案为：(3,−1)或(−3,5).
(1)将点AB坐标代入中点坐标公式计算即可；
(2)先求出直线AB解析式得到点E、N坐标，计算出S△MCN=2，设点C坐标为(t,0)，则CN=2−t，利用面积建立方程解出t值即可得到点C坐标；
(3)分两种情况讨论①如图M，当点P在y轴负半轴时，②如图N，当点P在y轴正半轴时，分别求出点Q坐标即可．
本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形变化、三角形面积，分类讨论是解答本题的关键．