2023-2024学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，为最简二次根式的是( )
A. 0.3B. 12C. 15D. 72
2.下列命题中，正确的命题的是( )
A. 有两边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形D. 两条对角线相等的四边形是矩形
3.已知a= 3+ 2，b= 3− 2，那么a与b的关系为( )
A. 互为相反数B. 互为倒数C. 相等D. a是b的平方根
4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90∘B. ∠A+∠B=∠C
C. a=3，b=3，c=2 3D. a=1,b=3,c= 10
5.下列关于一次函数y=−2x+4的结论中，正确的是( )
A. 图像经过点(3,0)B. 当x>2时，y<0
C. y随x增大而增大D. 图像经过第二、三、四象限
6.张老师在一次数学复习课上出了10道选择题，课代表将全班同学的答题情况绘制了条形统计图，请你根据统计图回答：全班每位同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是( )
A. 8.5，8B. 8.5，9C. 9，9D. 9，8
7.如图，在直角坐标系中，▱ABCD的顶点B、C、D的坐标分别是(−5,0)，(0,0)，(2,3)，则顶点A的坐标是( )
A. (−2,3)
B. (−3,2)
C. (−2,2)
D. (−3,3)
8.一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间t(h)，纵坐标表示轮船与甲地的距离s(km)，则下列说法错误的是( )
A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为40km/h
B. 轮船在乙地停留了3.5h
C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D. 甲、乙两地相距300km
9.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边BC=5，斜边AB= 61，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A. 70B. 76C. 72D. 80
10.如图，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为( )
A. 4
B. 4.8
C. 5.2
D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______.
12.一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y(单位：cm)随所挂重物x(单位：kg)变化的函数解析式为______.
13.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC+BD=32，AB=10，则△OCD的周长为______.
14.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=______.
15.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记P=a+b+c2，那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：(2− 3)2+(3 27−2 48)÷318
17.(本小题8分)
无理数的发现是实数发展史上的一个重要里程碑，在七年级我们学习了数的再一次扩充，认识了实数，请你结合本学期所学的知识完成下列问题：
(1)判断正误(正确打√，错误打×)：任何一个实数与数轴上的点一一对应.______
(2)如图1，点A表示的数是______.
(3)如图2，直线l垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示− 13的点P.(不写作法，保留作图痕迹)
18.(本小题8分)
某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：(单位：分)
(1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
19.(本小题9分)
有一块四边形草地ABCD(如图)，测得AB=AD=10m，CD=26m，BC=24m，∠A=60∘.
(1)求∠ABC的度数；
(2)求四边形草地ABCD的面积．
20.(本小题9分)
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折.
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)在同一直角坐标系中画出(1)中函数的图象；
(3)春节期间若计划一次购物1000元，根据图象，判断选择哪家商场购物更省钱.
21.(本小题9分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若AC=6，∠ABD=30∘，求AB，BD的长.
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点C(1,5)，且与x轴相交于点B(6,0)，与一次函数y=2x−6的图象相交于点A.
(1)求直线BC的解析式及点A的坐标；
(2)请根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>2x−6的解集；
(3)设点E在直线BC上，且S△BCD=2S△BDE，求点E的坐标.
23.(本小题12分)
如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)求证：CE=EP；
(2)若点E的坐标为(3,0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A. 0.3= 3010，故A不符合题意；
B. 12=2 3，故B不符合题意；
C. 15= 55，故C不符合题意；
D. 72，是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D.
根据最简二次根式定义，即可求解．
本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、四个角相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C.
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】B
【解析】解：∵a= 3+ 2，b= 3− 2，
∴ab=( 3+ 2)( 3− 2)=1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B.
直接利用实数的运算方法计算得出答案．
此题主要考查了倒数的定义及实数的运算．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠A+∠B=90∘，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
∵a=3，b=3，c=2 3，
∴a2+b2=18≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故C符合题意；
∵a=1，b=3，c= 10，
∴a2+b2=10=c2，符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C.
根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断选项C、D 是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，掌握勾股定理逆定理、三角形内角和是180∘是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵当x=3时，y=−2，∴图象经过点(3,−2)，故本选项错误；
B、∵y随x的增大而减小，当x=2时，y=0，∴当x>2时，y<0，故本选项正确．
C、∵k=−2<0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵k=−2<0，b=4>0，∴图象经过第一、二、四象限，故本选项错误；
故选：B.
根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：全班的总人数是5+20+15+10=50(人)，
则中位数是12(8+9)=8.5，众数是8.
故选：A.
首先确定全班的总人数，然后根据众数和中位数的定义求解．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD的顶点B、C、D的坐标分别是(−5,0)，(0,0)，(2,3)，
∴BC=AD=5，A点纵坐标为：3，
∴A(−3,3)，
故选：D.
根据平行四边形的性质得出对边平行且相等，进而求出A点坐标．
此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，得出AD的长是解题关键．
8.【答案】C
【解析】A、轮船从甲地到乙地的平均速度为300÷7.5=40(km)，此选项不符合题意；
B、轮船在乙地停留了3.5h，此选项不符合题意；
C、轮船从乙地到甲地的平均速度为300÷(21−11)=30(km)<40(km)，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意；
D、根据图象可知：甲、乙两地相距300km，此选项不符合题意；
故选：C.
根据函数图象逐项分析即可．
本题考查了函数的图象，解题的关键是看懂图象，获取信息．
9.【答案】B
【解析】解：∵较短的直角边BC=5，斜边AB= 61，
∴AC= AB2−BC2= 61−25=6，
∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，
∴AD=AC=6，
∴CD=12，
∴BD= BC2+CD2= 52+122=13，
∴“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76.
故选：B.
由勾股定理求出AC=6，BD=13，则可得出答案．
本题考查了勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AP，
∵∠A=90∘，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90∘，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90∘，AC=8，AB=6，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：12×8×6=12×10×AP，
∴AP=4.8，
即EF=4.8.
故选：B.
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短．
11.【答案】丁
【解析】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
12.【答案】y=2x+12
【解析】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，
∴弹簧总长y=2x+12.
故答案为：y=2x+12.
弹簧总长=弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
13.【答案】26
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，OD=12BD，AB=CD=10，
∴OC+OD=12(AC+BD)=16，
∴△OCD的周长为16+10=26，
故答案为：26.
根据平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边相等，即可求出的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．
14.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD，
S菱形ABCD=DH⋅AB，
∴DH⋅5=12×6×8，
∴DH=245.
故答案为245.
15.【答案】154 7
【解析】解：∵a=4，b=5，c=6，
∴p=4+5+62=152，
∴S= 152×(152−4)×(152−5)×(152−6)=154 7，
故答案为：154 7.
根据a，b，c的值求得p=152，然后将其代入三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)求值即可．
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答．
16.【答案】解：(2− 3)2+(3 27−2 48)÷318
=4−4 3+3+18 3−16 3
=7−2 3.
【解析】先运用完全平方公式和二次根式的除法运算，然后合并解题．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握实数运算法则是关键．
17.【答案】解：(1) .
(2) 5；
(3)如图所示：点P即为所求；

【解析】【分析】
(1)直接利用实数与数轴的关系分析得出即可．
(2)根据勾股定理和作图痕迹进行求解即可；
(3)先作出长为 13的线段，再以原点O为圆心，以长为 13的线段长为半径，在原点左侧截取点P即可．
本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应以及勾股定理是解题的关键．
【解答】
解：(1)∵实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
∴本题说法正确，
故答案为：√.
(2)由勾股定理可知直角三角形的斜边长为： 12+22= 5，
∴点A表示的数在O的右侧，距离O的距离为 5，即A点表示的数是 5.
故答案为： 5；
(3)见答案.
18.【答案】解：(1)甲的平均成绩为81+85+863=84(分)；
乙的平均成绩为92+80+743=82(分)，
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用．
(2)根据题意，甲的平均成绩为81×5+85×3+86×25+3+2=83.2(分)，
乙的平均成绩为92×5+80×3+74×25+3+2=84.8(分)，
因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，
所以乙被录用．
【解析】(1)根据算术平均数的定义列式计算可得；
(2)根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
19.【答案】解：(1)连接BD，
∵AB=AD=10m，∠A=60∘.
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=10m，∠ABD=60∘，
在△BCD中，BD=10m，CD=26m，BC=24m，
∵BD2+BC2=102+242=262=CD2，
∴∠CBD=90∘，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=150∘；
(2)过D作DE⊥AB于E，
∵AD=BD，
∴AE=BE=12AB=5(m)，
∴DE= AD2+AE2=5 3(m)，
∴四边形草地ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅BD=12×10×5 3+12×24×10=(120+25 3)(m2)，
答：四边形草地ABCD的面积为(120+25 3)m2.
【解析】(1)连接BD，由等边三角形的判定证得△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60∘，再由勾股定理的逆定理证得∠CBD=90∘，即可求得∠ABC；
(2)过D作DE⊥AB于E，由等腰三角形的性质求得AE，再由勾股定理求得DE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论．
本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，正确作出辅助线证得△ABD是等边三角形是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)甲商场：y=0.8x，
乙商场：当0≤x≤300时，y=x，
当x>300时，y=0.7(x−300)+300=0.7x+90，
∴y=x(0≤x≤300)0.7x+90(x>300)；
(2)如图所示；
(3)当x=1000时，根据图象可得，y甲>y乙，
∴乙商场购物更省钱．
【解析】(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
(2)利用两点法作出函数图象即可；
(3)根据函数图象作出判断即可．
本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AE//BF，
∴∠ADB=∠CBD.
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理 AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC�BD,OD=OB=12BD，OA=OC=12AC=3，
∵∠ABD=30∘，
∴AB=2OA=6，
∴OB= AB2−OA2= 62−32=3 3，
∴BD=2OB=6 3.
【解析】(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得出AC⊥BD,OD=OB=12BD，OA=OC=12AC=3，再由勾股定理即可得出AB和BD的长．
本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵直线 y=kx+b经过C(1,5)和B(6,0)，
∴5=k+b0=6k+b，
解得：k=−1b=6.
即直线BC的解析式为y=−x+6；
解方程组y=−x+6y=2x−6得x=4y=2，
∴点A的坐标为(4,2)；
(2)∵点A的横坐标为4，
∴根据函数图象可知，不等式 kx+b>2x−6的解集是x<4；
(3)把y=0代入y=2x−6得：2x−6=0，
解得：x=3，
∴点D(3,0)，
∵点B(6,0)，
∴BD=6−3=3，
∴S△BCD=12×3×5=152，
∵S△BCD=2S△BDE，
∴S△BDE=12S△BCD=12×152=154，
设点E的纵坐标为m，
则 S△BDE=12×3×|m|=154，
解得：m=52或 m=−52，
∵一次函数 y=kx+b的解析式为 y=−x+6，点E在直线 y=−x+6上，
∴把m=52代入y=−x+6得：−x+6=52，
解得：x=72，
∴此时点E的坐标为(72,52)；
把m=−52代入y=−x+6得：−x+6=−52，
解得：x=172，
∴此时点E的坐标为(172,−52)；
综上分析可知，点E的坐标(72,52)或(172,−52).
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值；
(2)结合函数图象，写出直线y=kx+b在直线y=2x−6上方所对应的x的范围即可；
(3)先确定D点坐标，求出△BDC的面积，设点E的纵坐标为m，然后求出m，即可得到E点坐标．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，注意分类讨论．
23.【答案】(1)证明：在OC上截取OK=OE，连接EK，
∵OC=OA，∠COA=∠BAO=90∘，∠OEK=∠OKE=45∘，
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，
∴∠BAP=45∘，
∴∠EKC=∠PAE=135∘，
∴CK=EA，
∵EC⊥EP，
∴∠CEF=∠COE=90∘，
∴∠CEO+∠KCE=90∘，∠CEO+∠PEA=90∘，
∴∠KCE=∠CEA，
在△CKE和△EAP中
∠KCE=∠PEACK=EA∠CKE=∠EAP
∴△CKE≌△EAP(ASA)，
∴EC=EP；
(2)解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．
如图，过点B作BM//PE交y轴于点M，连接BP，EM，
则∠CQB=∠CEP=90∘，
∴∠OCE=∠CBQ，
∵在△BCM和△COE中，∠CBM=∠OCEBC=OC∠BCM=∠COE，
∴△BCM≌△COE(ASA)，
∴BM=CE，
∵CE=EP，
∴BM=EP，
∵BM//EP，
∴四边形BMEP是平行四边形，
∵△BCM≌△COE，
∴CM=OE=3，
∴OM=CO−CM=2，
故点M的坐标为(0,2).
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，属于较难题．
(1)在OC上截取OK=OE.连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的性质得出即可；
(2)过点B作BM//PE交y轴于点M，根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP.根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案．甲
乙
丙
丁
x−
9
8
9
9
S2
1.1
0.4
1.6
0.4
教学能力
科研能力
组织能力
甲
81
85
86
乙
92
80
74