2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广东省茂名市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示四个图标中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的有( )
①在83，π，−3.1415928， 3中，共有2个无理数；
②若a=b，则a2=b2，它的逆命题是真命题；
③若n边形的内角和是其外角和的2倍，则它是八边形.
A. ①B. ①②C. ①③D. ②③
3.已知aA. a+31−2bD. ac4.下列变形是因式分解的是( )
A. x(x−1)=x2−xB. x2+4x+4=(x+2)2
C. x2+xy+9=x(x+y)+9D. x2+6x+4=(x+3)2−5
5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是( )
A. 120∘
B. 180∘
C. 240∘
D. 360∘
6.如果分式|x|−3x+3的值为0，那么x的值为( )
A. −3B. 3C. −3或3D. 3或0
7.将一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则∠FEG等于( )
A. 64∘
B. 84∘
C. 72∘
D. 90∘
8.若函数y=2x和y=bx+3的图象如图所示，则关于x的不等式2x−bx≤3的解集是( )
A. x≥2
B. x≤1
C. x≤2
D. x≥1
9.如图，在△ABC中，∠A=28∘，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.则∠EDF的度数是( )
A. 62∘
B. 60∘
C. 52∘
D. 45∘
10.如图，将Rt△ABC沿BC方向平移4个单位长度得到Rt△EFG，EF与AC相交于点H，∠ACB=90∘，AC=10，AH=4，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16
B. 20
C. 32
D. 40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x3−49x=______.
12.已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b=______.
13.定义运算aΔb=2a+1ab，如：1Δ2=21+12=52，若xΔ(−4)=14，则x的值为______.
14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=9，用尺规作图法构造∠CAB的平分线，交BC于点D，则CD的长为______.
15.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，且AB=16，BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造平行四边形MDNE，则MN的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：1−xx−1=x+2x2−2x+1；
(2)解不等式组：−2x+6<103(x−2)−2x≤−7，并将解集在数轴上表示出来.
17.(本小题7分)
如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE=DF，AF=CE，依次连接点A，B，C，D.求证：四边形ABCD为平行四边形.
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,−4)，C(−1,−4).
(1)画出将△ABC绕点P(0,−3)旋转180∘后得到的△A1B1C1；
(2)求证：AA1与CC1互相垂直平分.
19.(本小题9分)
笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”.某校计划购买A，B两种型号的“文房四宝”，其中每套B型号的价格比每套A型号的价格少30元，买10套A型号和20套B型号共用2400元.
(1)求每套A，B型号的“文房四宝”的价格；
(2)若该校需购进A，B两种型号的“文房四宝”共60套，总费用不超过4500元，要求购进B型号的数量不超过A型号数量的6倍，求购得以上工具的最低费用.
20.(本小题9分)
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，点E，D是三角形外的两点，分别连接CE，CD，AD，BE，其中CE=CD，CE⊥CD.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)如图2，BE交AD于点O，连接BD，F是BD的中点，分别连接AE，OF.若AE=AB，求BD与OF的数量关系.
21.(本小题9分)
阅读下面的材料，并解答问题.
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”.例如：将分式x−3x2−1表示成部分分式，∵x−3x2−1=x−3(x+1)(x−1)，∴设x−3x2−1=ax+1+bx−1，接下来求a，b的值.去分母，得x−3=(a+b)x+(b−a)，∴a+b=1b−a=−3，解得a=2b=−1，∴x−3x2−1=2x+1+−1x−1.
(1)若1x2+x=ax+bx+1(a,b为常数)，则a=______，b=______；
(2)已知5x(x+1)(x−3)=ax+1+bx−3(a,b为常数)，用材料中的解法求a，b的值；
(3)化简：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(2x+1)(2x+2).
22.(本小题12分)
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2.
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______(直接列出等式即可)；
(2)若a+b+c=13，a2+b2+c2=57，求ab+ac+bc的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式2a2+7ab+3b2因式分解，并画出图形.
23.(本小题12分)
综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′.
(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′=15∘，EC′⊥AB，BC=4+2 3，求EC的长；
(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形是中心对称图形，符合题意；
D.图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C.
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：在83，π，−3.1415928， 3中，无理数有π和 3两个，故①正确；
若a=b，则a2=b2，它的逆命题是若a2=b2，则a=b，逆命题是假命题，故②错误；
若n边形的内角和是其外角和的2倍，则(n−2)×180∘=2×360∘，可得n=6，即它是六边形，故③错误；
∴正确的是①；
故选：A.
由无理数概念，平方根的意义，多边形内角和与外角和等逐项判断即可．
本题考查命题与定理，涉及无理数概念，平方根的意义多边形内角和与外角和，乘方运算等知识，解题的关键是掌握以上知识．
3.【答案】C
【解析】解：∵a∴a+3∴选项A不符合题意；
∵a∴−a4>−b4，
∴选项B不符合题意；
∵a∴−2a>−2b，
∴1−2a>1−2b，
∴选项C符合题意；
∵a∴①c>0时，acbc，
∴选项D不符合题意．
故选：C.
根据a此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】B
【解析】解：x(x−1)=x2−x是乘法运算，则A不符合题意；
x2+4x+4=(x+2)2符合因式分解的定义，则B符合题意；
x2+xy+9=x(x+y)+9中右边不是积的形式，则C不符合题意；
x2+6x+4=(x+3)2−5中右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：B.
将一个多项式化为积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，
则旋转120∘，240∘，360∘都可以与自身重合，
故选：B.
根据旋转对称图形的特征可得答案．
本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120∘的整数倍是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵分式|x|−3x+3的值为0，
∴|x|−3=0且x+3≠0，
解得：x=3.
故选：B.
直接利用分式的定义以及分式的值为零则分子为、分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得∠BEF=∠ABE=(5−2)×180∘5=108∘，∠CEG=∠DCE=(6−2)×180∘6=120∘，
则∠EBC=180∘−108∘=72∘，∠ECB=180∘−120∘=60∘，
那么∠BEC=180∘−72∘−60∘=48∘，
则∠FEG=360∘−108∘−120∘−48∘=84∘，
故选：B.
利用多边形的内角和及正多边形的性质可求得∠BEF，∠ABE，∠CEG，∠DCE的度数，继而求得∠EBC，∠ECB的度数，再利用三角形的内角和求得∠BEC的度数，最后利用角的和差列式计算即可．
本题考查多边形的内角和与三角形的内角和，结合已知条件求得∠BEF，∠ABE，∠CEG，∠DCE的度数是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由2x−bx≤3得到：2x≤bx+3.
根据图象可知：两函数的交点为(1,2)，
所以关于x的不等式2x−bx≤3的解集是x≤1.
故选：B.
写出直线y=bx+3在直线不在y=2x下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△ECF(SAS)，
∴DE=EF，∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠B=12(180∘−28∘)=76∘，
∴∠BDE+∠BED=180∘−76∘=104∘，
∴∠CEF+∠BED=104∘，
∴∠DEF=76∘，
∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD=12(180∘−76∘)=52∘.
故选：C.
由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE.利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，得DE=EF，∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE，再利用三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由平移可知，
EG=AC=10，CG=4，
∵AC=10，AH=4，
∴CH=10−4=6，
∴S梯形CHEG=(6+10)×42=32.
∵S阴影+S△CFH=S△CFH+S梯形HCGE，
∴S阴影=S梯形HCGE=32.
故选：C.
根据图形平移的性质即可解决问题．
本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．
11.【答案】x(x+7)(x−7)
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式首先提取公因式分解因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：x3−49x
=x(x2−49)
=x(x+7)(x−7)，
故答案为：x(x+7)(x−7).
12.【答案】8
【解析】解：∵点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，
∴a+b=62a+b=2，
解得a=−4b=10，
∴3a+2b=3×(−4)+2×10=−12+20=8.
故答案为：8.
根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：由题意可得2x−14x=14，
去分母得：8−1=x，
解得：x=7，
检验：当x=7时，4x≠0，
故原方程的解为x=7，
故答案为：7.
根据题意列得分式方程，解方程即可．
本题考查解分式方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
14.【答案】32 3
【解析】解：∵∠C=90∘，∠B=30∘，AB=9，
∴AC=12AB=92，∠CAB=90∘−30∘=60∘，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=12∠CAB=30∘，
∴AD=2CD，
∴4CD2=CD2+(92)2，
∴CD=3 32.
利用直角三角形30度角的性质以及勾股定理解决问题即可．
本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】8 3
【解析】解：作EF//BC交AB于点F，连接DF，CN，
∴∠AFE=∠B，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠BCA=60∘，
∴∠AFE=∠B=60∘，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∴AC−AE=AB−AF，
∴CE=BF，
∵BD=CE，
∴BD=BF，
∵∠B=60∘，
∴△BDF为等边三角形，
∴∠BDF=∠BCA=60∘，
∴DF//CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD=FE，∠CDE=∠FED，
∵四边形MDNE是平行四边形，
∴DN=EM，∠DEM=∠EDN，
∴∠DEM−∠FED=∠EDN−∠CDE，
∴∠FEM=∠CDN，
∴△FEM≌△CDN(SAS)，
∴∠AFE=∠BCN=60∘=∠B，
∴CN//AB，
∵点N在直线CN上，当MN⊥AB时，即MN有最小值，
根据平行线间的距离相等知MN的最小值就是等边△ABC的高，作CG⊥AB于点G，
∴AG=12AB=8，
∴CG= AC2−AG2= 162−82=8 3，
∴MN的最小值为8 3，
故答案为：8 3.
作EF//BC交AB于点F，证明四边形CDFE是平行四边形，推出△FEM≌△CDN(SAS)，得到CN//AB，点N在直线CN上，当MN⊥AB时，即MN有最小值，据此计算即可求解．
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短和勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原方程去分母得：(x−1)2−x(x−1)=x+2，
整理得：x2−2x+1−x2+x=x+2，
即−x+1=x+2，
解得：x=−12，
检验：当x=−12时，(x−1)2≠0，
故原方程的解为x=−12；
(2)解第一个不等式得：x>−2，
解第一个不等式得：x≤−1，
故原不等式组的解集为−2.
【解析】(1)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
(2)解各不等式后即可求得不等式组的解集，然后在数轴上表示出该解集即可．
本题考查解分式方程，解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF，
∴∠BEO=∠DFO=90∘，
在△BEO与△DFO中，
∠EOB=∠FOD,∠BEO=∠DFO,BE=DF,
∴△BEO≌△DFO(AAS)，
∴EO=FO，BO=DO，
又∵AF=CE，
∴AF−FO=CE−EO，
∴AO=CO，
又∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】根据△BEO≌△DFO(AAS)，得出EO=FO，BO=DO，又AF=CE即可推出结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明△BEO≌△DFO(AAS)是解题的关键．
18.【答案】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)证明：∵△ABC绕点P(0,−3)旋转180∘后得到的△A1B1C1，
∴AA1与CC1均经过点P，且均被点P平分．
由勾股定理得，AC2=22+42=20，AP2=32+32=18，CP2=12+12=2，
∴AP2+CP2=AC2，
由勾股定理的逆定理得，∠APC=90∘，
∴AA1⊥CC1，
∴AA1与CC1互相垂直平分．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)由题意得，AA1与CC1均经过点P，且均被点P平分．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得∠APC=90∘，即AA1⊥CC1，则AA1与CC1互相垂直平分．
本题考查作图-旋转变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设每套A型号的价格是x元，则每套B型号的价格是(x−30)元，
则：10x+20(x−30)=2400，
解得：x=100，
∴x−30=70，
答：每套A型号的价格是100元，每套B型号的价格是70元；
(2)设购进B型号a套，则购进A型号(60−a)套，
则：100(60−a)+70a≤4500,a≤6(60−a),
解得：50≤a≤5137，
∴a的整数解为50，51.
当购进10套A型号“文房四宝”，50套B型号“文房四宝”，费用为：10×100+70×50=4500(元)；
当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”，费用=9×100+70×51=4470(元)；
∵4500>4470，
∴当购进9套A型号“文房四宝”，51套B型号“文房四宝”时费用最低，最低费用是4470元．
【解析】(1)根据“买10套A型号和20套B型号共用2400元”列方程求解；
(2)根据“总费用不超过4500元，要求购进B型号的数量不超过A型号数量的6倍”列不等式组求解．
本题考查了一元一次方程和不等式组的应用，找到相等关系或不等关系是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90∘.
∵∠ACB=90∘，∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：BD=2OF，理由如下：
如图2，连接DE，设BE交CD于点H，
由(1)得△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠DHO=∠CHE，
∴∠DOH=∠ECD=90∘，
∵AE=AB，
∴EO=BO，
∴AD垂直平分BE，
∴DE=DB，
∵EO=BO，
∴点O是BE的中点，
又∵点F是BD的中点，
∴OF是△BED的中位线，
∴ED=2OF，
∴BD=2OF.
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质利用SAS即可证明△ACD≌△BCE；
(2)连接DE，设BE交CD于点H，由(1)得△ACD≌△BCE，所以∠CDA=∠CEB，然后证明OF是△BED的中位线，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ACD≌△BCE.
21.【答案】1−1
【解析】解：(1)∵1x2+x=1x(x+1)，
又∵1x2+x=ax+bx+1，
∴去分母，得1=(a+b)x+a，
∴a+b=0a=1，
解得a=1b=−1，
故答案为：1，−1；
(2)∵5x(x+1)(x−3)=ax+1+bx−3，
∴去分母，得5x=(a+b)x+(b−3a)，
∴a+b=5b−3a=0，
解得a=54b=154；
(3)1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(2x+1)(2x+2)
=1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+1x+3−1x+4+⋯+12x+1−12x+2
=1x+1−12x+2
=12x+2.
(1)去分母，得1=(a+b)x+a，由此得到a+b=0a=1求解即可；
(2)去分母，得5x=(a+b)x+(b−3a)，由此得到a+b=5b−3a=0求解即可；
(3)找到规律计算出1x+1−12x+2，即可得出最终答案．
本题考查了分式的加减法，分式的定义，理解题意，掌握题干中给出的方法是解题的关键．
22.【答案】a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)正方形的面积：(a+b+c)2；
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
(2)∵a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=(a+b+c)2，
a+b+c=13，a2+b2+c2=57，
∴57+2ab+2bc+2ac=132，
∴ab+bc+ac=56，
故ab+bc+ac的值为56，
(3)如图所示，
2a2+7ab+3b2=(a+3b)(2a+b)，
(1)正方形的面积：(a+b+c)2即可求解．
(2)根据(1)的判定即可求解．
(3)对式子进行因式分解，即可作图．
本题考查了因式分解的应用，解题关键在于熟练掌握数形结合．
23.【答案】解：(1)由折叠知EC=EC，
∴∠EC′C=∠ECC′=15∘，
∴∠BEC′=∠ECC′+∠ECC=30∘，
∵EC⊥AB，
∴∠EC′B=90∘，
∴BE=2BC.
由勾股定理得，EC′= BE2−(BC′)2= 4(BC)2−(BC′)2= 3BC′，
∴EC=EC′= 3BC′，
∴BC=BE+EC=2BC′+ 3BC′=4+2 3，
∴BC=2，
∴EC=2 3；
(2)证明：由折叠知∠CEF=∠CEF，∠EFD=∠EFD.由▱ABCD得AD//BC，∠D=∠B，
∴∠CEF+∠EFD=180∘.
∴∠C′EF+∠EFD′=180∘.，
∴CE//DF.
∴∠BCE=∠D′=∠D=∠B.
∴BE=CE=CE.
∴C′E=12BC，
∵AD//BC，点D在BA延长线上，
∴∠B=∠DAF=∠D.
∴AF=DF=DF.
∴D′F=12AD，
∵AD=BC，
∴CE=DF.
又∵CE//DF，
∴四边形ECDF是平行四边形．
【解析】(1)由折叠知EC=EC，则∠EC′C=∠ECC′=15∘，推出∠BEC′=∠ECC′+∠ECC=30∘，因为EC⊥AB，则∠EC′B=90∘，所以BE=2BC.由勾股定理得，EC′，则EC=EC′= 3BC′，所以BC=BE+EC=2BC′+ 3BC′=4+2 3，则BC=2，推出EC=2 3；
(2)证明：由折叠知∠CEF=∠CEF，∠EFD=∠EFD.由▱ABCD得AD//BC，∠D=∠B，则∠CEF+∠EFD=180∘.所以∠C′EF+∠EFD′=180∘，推出CE//DF.则∠BCE=∠D′=∠D=∠B.所以BE=CE=CE.则C′E=12BC，因为AD//BC，点D在BA延长线上，则∠B=∠DAF=∠D.推出AF=DF=DF.则 D′F=12AD，因为AD=BC，则CE=DF.又因为CE//DF，则四边形ECDF是平行四边形．
本题考查平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．