2023-2024学年河南省商丘市虞城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市虞城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，是二次根式的是( )
A. 12B. 34C. 3D. −2
2.下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
3.某次比赛共有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列23名选手成绩统计量中的( )
A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数
4.已知点(−2,y1)、(1,y2)、(5,y3)在一次函数y=−5x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1y3>y2
5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC=8，则EF的长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6.已知点(k,b)为第四象限内的点，则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和4，则字母A所代表的正方形的边长是( )
A. 7
B. 5
C. 7
D. 5
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M.则点M表示的数是( )
A. 10−2B. 5−1C. 10−1D. 10
9.已知化简 96⋅ a的结果是一个整数，则正整数a的最小值是( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
10.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E.若∠CAE=15∘，AC=18，则BE的长为( )
A. 152
B. 9
C. 212
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 x+2有意义，则实数x的取值范围是______.
12.如图，这是某超市A，B两种水果连续五天的单价调研情况，两种水果单价的方差比较小的水果是______(填“A”或“B”).
13.如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置.若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为______.
14.如图，若圆柱的底面周长是9cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是______cm.
15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，当△ABP是以边AB为底的等腰直角三角形时，点P的坐标为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 12+ 13− 27.
(2)(2 2−1)2+( 3+1)( 3−1).
17.(本小题9分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有360人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计.
七年级：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94.
八年级：75，76，78，79，87，87，87，88，90，93.
整理如下表：
根据以上信息，解答下列问题.
(1)填空：a=______，b=______.
(2)小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平.”由此判断他是______年级学生.
(3)学校规定测试成绩不低于90分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.
18.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，连接AC、BD交于点O，且AC=2AB.
(1)尺规作图：作出∠BAC的平分线，与BD交于点E.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作图的基础上，求证：AE⊥BD.
19.(本小题9分)
小明家装修，电视背景墙长BC为 27m，宽AB为 8m，中间要镶一个长为2 3m，宽为 2m的大理石图案(图中阴影部分).除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．(结果化为最简二次根式)
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=12，AC=13，CD=5.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若AB=15，求BC的长.
21.(本小题9分)
为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：
(1)该市某户居民5月份用水x(x>5)吨，应交水费y元，写出y与x之间的关系式.
(2)如果某户居民某月交了20元水费，你能算出该月这户居民用了多少吨水吗？
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=BD，∠BAD=60∘.(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若OD=1，求四边形ABCD的面积.
23.(本小题10分)
如图1，直线l1：y=2x+4与x轴交于点A，直线l2：y=kx+b与x轴交于点B(4,0)，直线l1与l2交于点C.
(1)求直线l2的解析式.
(2)如图2，若D为线段BC上一点，且满足S△ABD=5S△ACD，求点D的坐标.
(3)在(2)的条件下，Q为直线l1上一点，在y轴上是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点构成的四边形是以BP为边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据二次根式的定义可得： 3是二次根式
故选：C.
根据二次根式的定义可得答案．
本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、22+32=14，42=16，
∵14≠16，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B、32+42=25，52=25，
∵25=25，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长；
C、42+52=41，62=36，
∵41≠36，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长；
D、52+62=61，72=49，
∵61≠49，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选B.
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，23名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有12个数，
所以只需要知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数，就能够判断是否能够晋级；
故选：C.
有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，晋级的选手肯定是得分高的12名选手，对23名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有12个数，知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数即可判定是否能够晋级．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】A
【解析】解：对于一次函数y=−5x+m，
∵k=−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∵5>1>−2，
故y1>y2>y3，
故选：A.
根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴BD=DC=12BC=12×8=4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12CD=2，
故选：A.
根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF.
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵点(k,b)为第四象限内的点，
∴k>0，b<0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，观察选项，B选项符合题意．
故选：B.
根据已知条件“点(k,b)为第四象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
根据题意得：∠BCD=90∘，BD2=3，CD2=4，
∴BD2=BC2+CD2=7，
∴图中字母A所代表的正方形面积=BD2=7，
∴BD= 7，即字母A所代表的正方形的边长是 7.
故选：C.
根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积和，据此即可获得答案．
本题考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，
由勾股定理得，AC= 32+12= 10.
∴AM=AC= 10，
∴点M表示的数是−2+ 10，
故选：A.
首先利用矩形的定义得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案．
本题主要考查了矩形的定义，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵ 96⋅ a= 96a= 16×6a=4 6a，且 96⋅ a的结果是一个整数，
∴ 6a是一个整数，
∴6a是平方数，
∴正整数a的最小值是6，
故选：D.
先化简 96⋅ a=4 6a，再根据结果是正整数，即可求出a的最小值．
本题考查了二次根式的乘法，二次根式的化简等知识，灵活应用二次根式的乘法法则化简是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45∘，AD//BC，OA=OB=9，
∴∠AEB=∠EAD=45∘，
∴BE=BA.
∵∠CAE=15∘，∠BAE=45∘，
∴∠BAC=60∘，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA=9，
∴BO=BE=9.
故选：B.
根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45∘，AD//BC，OA=OB=9，证出∠AEB=∠EAD=45∘，得出BE=BA.证出△OAB为等边三角形，得出BO=BA=9，则可得出答案．
本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11.【答案】x≥−2
【解析】解：根据题意得x+2≥0，
解得x≥−2，
即x的取值范围为x≥−2.
故答案为：x≥−2.
根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】A
【解析】解：根据图象可得A种水果单价平均值是：8.5+9.0+8.0+8.5+8.05=8.4，
B种水果单价平均值是：10.0+8.5+9.0+8.0+9.55=9，
∴A种水果的方差为2×(8.0−8.4)2+2×(8.5−8.4)2+(9.0−8.4)25=0.14，
B种水果的方差为(8.0−9)2+(8.5−9)2+(9.0−9)2+(9.5−9)2+(10.0−9)25=0.5，
∵0.14<0.5，
∴A种水果单价的方差比较小；
故答案为：A.
先根据统计图求出两种水果的单价的平均值，进而求出对应的方差即可得到答案．
该题主要考查了求方差，熟练掌握方差的计算方法是解答本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：如图，∵四边形A、B是正方形，
∴∠DOE=∠MON=90∘，OD=OE，∠CDO=∠FEO=45∘，
∵∠COD+∠DOF=90∘，∠FOE+∠DOF=90∘，
∴∠COD=∠FOE，
在△COD和△FOE中，
∠COD=∠FOEOD=OE∠ODC=∠OEF，
∴△COD≌△FOE(ASA)，
∴S△COD=S△FOE，
∴S阴影=S△COD+S△DOF=S△DOF+S△FOE=S△DOE，
∵SA=4，
∴S阴影=S△DOE=14SA=1，
故答案为：1.
根据正方形的性质可得∠DOE=∠MON=90∘，OD=OE，∠CDO=∠FEO=45∘，再利用等量代换可得∠COD=∠FOE，从而可证△COD≌△FOE(ASA)，可得S△COD=S△FOE，再由S阴影=S△DOE求解即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14.【答案】15
【解析】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是9cm的长方形，连接AB，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是AB的长度，
由勾股定理得AB2=122+92=225，解得AB=15cm，
则这条丝线的最小长度是15cm，
故答案为：15.
先将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是9cm的长方形，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
15.【答案】(3,3)或(1,−1)
【解析】解：在y=−12x+2中，令x=0，则y=0+2=2；令y=0，则−12x+2=0，解得：x=4；
∴点A(4,0)，B(0,2)，
∵△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，
∴∠APB=90∘，AP=BP，
设点P(m,n)，
分两种情形：
①如图1，点P在AB上方时，过点P作PM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥PM于点N，
∴∠ANP=∠PMB=90∘，∠APN+∠BPM=∠APN+∠PAN=90∘，
∴∠PAN=∠BPM，
又∵AP=BP，
∴△ANP≌△PMB(AAS)，
∴AN=MP=m=n，NP=MB=n−2，
∵MN=MP+NP=n+n−2=4，
∴n=3，m=3，
∴点P的坐标为(3,3)；
②如图2，点P在AB下方时，过点P作PM⊥y轴于M，过点A作AN⊥PM于N，同理，得△ANP≌△PMB(AAS)，
∴AN=MP=m=−n，NP=MB=2−n，
∵MN=MP+NP=−n+2−n=4，
∴n=−1，m=1，
∴点P的坐标为(1,−1)
故答案为(3,3)或(1,−1).
先根据一次函数求出点A、B的坐标，根据题意可得∠APB=90∘，AP=BP，设点P(m,n)，分两种情况：当点P在AB上方时，过点P作PM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥PM于点N，当点P在AB下方时，过点P作PM⊥y轴于M，过点A作AN⊥PM于N，证明△ANP≌△PMB，根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论．
16.【答案】解：(1) 12+ 13− 27
=2 3+ 33−3 3
=−2 33；
(2)(2 2−1)2+( 3+1)( 3−1)
=(2 2)2−2×2 2+1+( 3)2−1
=8−4 2+1+3−1
=11−4 2.
【解析】(1)先将二次根式化简，最后合并同类二次根式即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，以及平方差公式和完全平方公式．
17.【答案】85 87 七
【解析】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=84+862=85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b=87，
故答案为：85，87；
(2)小明同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
(3)310×360+210×360=180(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为180人．
(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；
(2)根据中位数解答即可；
(3)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
本题考查中位数、众数、以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
18.【答案】(1)解：如图，AE即为所求，
(2)证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴OA=OC，
∵AC=2AB，
∴AB=OA，
∴△AOB为等腰三角形，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴AE⊥BD.
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可；
(2)根据平行四边形的性质可得△AOB为等腰三角形，再根据三线合一即可证明．
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：由题意可得：
27× 8−2 3× 2
=3 3×2 2−2 3× 2
=6 6−2 6
=4 6(m2)，
答：壁布的面积为4 6m2.
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD=12，AC=13，CD=5，
∴AD2+CD2=122+52=169，AC2=132=169，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC=90∘，
∴AD⊥BC；
(2)解：∵∠ADC=90∘，
∴∠ADB=180∘−∠ADC=90∘，
∵AB=15，AD=12，
∴BD= AB2−AD2= 152−122=9，
∵CD=5，
∴BC=BD+CD=9+5=14，
∴BC的长为14.
【解析】(1)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC=90∘，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得：∠ADB=90∘，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，得当x>5时，y=5×2.4+4(x−5)，
即y与x之间的关系式为y=4x−8(x>5)，
(2)∵5×2.4=12<20，
∴该户居民这个月用水量超过了5吨，
由(1)，得y=4x−8(x>5)，
当y=20时，4x−8=20，
解得x=7，
答：该月这户居民用了7吨水．
【解析】(1)根据按不超过5吨每吨2.4元收费，超过的部分按每吨4元收费即可得；
(2)先判断出该户居民这个月用水量超过了5吨，再求出(1)关系式中，当y=20时，x的值即可得．
本题考查了利用关系式表示变量间的关系、求自变量的值，理解用水收费标准，正确求出关系式是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB=BD，∠BAD=60∘，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OD=2，AC=2OA，∠OAD=12∠BAD=30∘，AC⊥BD，
∴AD=2OD=2.
在Rt△AOD中，OA= AD2−OD2= 3，
∴AC=2OA=2 3，
∴菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3.
【解析】(1)先证明△ABD为等边三角形，得到AD=AB，再结合四边形ABCD是平行四边形即可；
(2)利用菱形的性质求出AC，BD即可．
本题考查了勾股定理，菱形的性质和判定的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线l1：y=2x+4经过点C(85,m)，
∴m=2×85+4=365，
∴点C(85,365)，
将点B与点C的坐标代入y=kx+b，可得0=4k+b365=85k+b，
解得k=−3b=12，
∴直线l2的解析式为y=−3x+12；
(2)∵直线l1：y=2x+4与x轴交于点A，
当y=0时，x=−2，
∴点A的坐标为(−2,0)，
∵S△ABD=5S△ACD，S△ABC=12AB⋅yC=12×6×365=1085，
∴S△ABD=56S△ABC，
∴12AB⋅yD=56×1085，
解得yD=6，
∵D为线段BC上一点，
∴−3x+12=6，解得x=2，
∴点D的坐标为(2,6)；
(3)存在，点P的坐标为(0,−10)或(0,−6)，
理由：∵Q为直线l1上一点，P为y轴上一点，
∴可设点Q的坐标为(m,2m+4)，点P的坐标为(0,n).
∵B，D，P，Q为顶点构成的四边形是以BP为边的平行四边形，
∴当BD是对角线时，由平行四边形的性质可知：BD的中点与PQ的中点重合，
∴4+2=m6=n+2m+4
解得m=6n=−10
∴点P的坐标为(0,−10)；
当BQ是对角线时，由平行四边形的性质可知：BQ的中点与PD的中点重合，
∴m+4=22m+4=n+6，
解得m=−2n=−6，
∴点P的坐标为(0,−6).
综上所述，点P的坐标为(0,−10)或(0,−6).
【解析】(1)由y=2x+4经过点C(85,m)，得到m=2×85+4=365，解方程得到点C(85,365)，将点B与点C的坐标代入y=kx+b，解方程组得到直线l2的解析式为y=−3x+12；
(2)解方程得到点A的坐标为(−2,0)，根据三角形的面积公式列方程得到yD=6，于是得到点D的坐标为(2,6)；
(3)可设点Q的坐标为(m,2m+4)，点P的坐标为(0,n).根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论．
本题是一次函数综合运用，考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．年级
平均数
中位数
众数
七年级
84
a
90
八年级
84
87
b
月用水量
水费
不超过5吨
每吨2.4元
超过5吨
超过的部分按每吨4元收费