2023-2024学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 4B. 5C. 13D. 1 2
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 5，12，15C. 7，24，25D. 13,14,15
3.如图，平行四边形的活动框架，当∠ABC=90∘时，面积为S，将∠ABC从90∘扭动到∠A′BC=30∘，则四边形A′B′C′D′面积为( )
A. SB. S2C. S3D. S4
4.要使二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x>2C. x≤2D. x≥2
5.如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是对角线AC的中点，若EF=5，则DC的长为( )
A. 2.5B. 5C. 10D. 15
6.某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
则他们捐款金额的中位数和众数分别是( )
A. 10，20.6B. 20，16C. 10，30.6D. 20，10
7.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为( )
A. (−1,0)
B. (−5,0)
C. (1,0)
D. (0,−1)
8.如图，函数y=kx(k≠0)和y=ax+4(a≠0)的图象相交于点A(2,3)，则不等式kx>ax+4的解集为( )
A. x>3B. x<3C. x>2D. x<2
9.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45∘，∠CEF=15∘，则∠D的度数是( )
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
10.如图1，菱形ABCD对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B.设运动时间是x秒，AE的长度是y米，图2反映了y随x变化而变化的图象.下列说法不正确的是( )
A. 点H与点N、点Q的纵坐标相同B. AE的最小值为3.1米
C. a=2D. △ABC的周长是16米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个介于 2和 7之间的数为______.
12.如图，已知△ABC中∠ACB=90∘，以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，以AB、BC为直径的半圆面积分别为9和5，则以AC为直径的半圆面积为______.
13.某食堂午餐供应10元、16元、20元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是______元．
14.如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为______.
15.如图，四边形ABCD是菱形，BD=6，AD=5，点E是CD边上的一动点，过点B作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
(1) 12+1 3− 27；
(2)( 2− 3)( 2+ 3)+( 5−1)2.
17.(本小题9分)
如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，AB= 32+22= 13，请参考此方法按下列要求作图.
(1)在图2中以格点为顶点画一个△EFM，使得EF=FM=2 5，EM=2 10；
(2)猜想△EFM是什么形状的三角形？并说明理由.
18.(本小题9分)
为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：
根据以上信息，回答下列问题.
(1)填空a=______，b=______；
(2)现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？
(3)若规定成绩8分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？
19.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，(不与A、D重合)EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE、DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)填空：若AB=3，BC=5，∠B=60∘，则当AE=______时，四边形 CEDF是菱形.
20.(本小题9分)
某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.请完成以下任务.
(1)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=15，AB=17.求线段AD的长.
(2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
21.(本小题10分)
近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱.洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？
(3)在(2)的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元(其中3022.(本小题10分)
如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、点B(0,2)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90∘，点P(1,a)为坐标系中的一个动点．
(1)请直接写出直线l的表达式；
(2)求出△ABC的面积；
(3)当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
23.(本小题10分)
综合与实践：
实践操作：在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原.
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)
①当点P与点A重合时，∠DEF=______，当点 E与点A重合时，∠DEF=______；
②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，求证：四边形DEPF为菱形；
(2)深入探究：点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图③).是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 4、 5、 13、1 2四个数中只有 5是最简二次根式．
故选：B.
根据最简二次根式的定义选择答案即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、52+122≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、72+242=252，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：如图，过点A′作A′E⊥BC于E，
当∠ABC=90∘时，S=AB⋅BC，
当∠A′BC=30∘时，A′E=12A′B=12AB，
∴四边形A′B′C′D′面积=12×BC⋅A′E=12×12BC⋅AB=12S，
故选：B.
由直角三角形的性质可得A′E=12A′B=12AB，由平行四边形的面积公式可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D.
利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB=10即可．
【解答】
解：∵E是BC边的中点，F是对角线AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=10，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴CD=10.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：∵这组数据中10元的人数最多，
∴这组数据的众数是10元；
中位数为第25、26个数据的平均数，
∴这组数据的中位数为20+202=20(元)，
故选：D.
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】A
【解析】解：∵A(4,0)，B(0,3)，
∴OA=4，OB=3.
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB= OA2+OB2= 42+32=5.
∴AP=AB=5，
∴OP=1，
∴P(−1,0)，
故选：A.
根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
写出直线y=kx(k≠0)在直线y=ax+4(a≠0)上方部分的x的取值范围即可.
【解答】
解：由图可知，不等式kx>ax+4的解集为x>2；
故选C.
9.【答案】B
【解析】【分析】
首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90∘，
∵∠CEF=15∘，
∴∠AEB=180∘−90∘−15∘=75∘，
∴∠B=180∘−∠BAE−∠AEB=180∘−45∘−75∘=60，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60∘
故选：B.
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：点E的运动路线为B→C→D→O→B.
∴点E未出发在点B处，运动到点D处，回到点B处时，AE的长度都等于菱形的边长，是相等的．
∴点H与点N、点Q的纵坐标相同．
故A正确，不符合题意；
∵点M的坐标为(2.5,6)，此时点E在点C处，E速度为a米/秒，
∴BC=2.5a，AC=6.
∵点Q的横坐标为9，此时点E回到点B处，
∴BD=9a−2.5a×2=4a.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=2a，AO=OC=3.
∴∠BOC=90∘，点E在点O处时，AE最小．
∴BO2+CO2=AB2，AE最小=3.
故B错误，符合题意．
解得：a=2(取正值).
故C正确，不符合题意．
∴BC=5.
∴△ABC的周长=5+5+6=16.
故D正确，不符合题意．
故选：B.
图2中有5个关键点，未曾出现y=0即AE=0的情况，所以点E一定不经过点A，一共经过5个点，那么点E的运动路线为B→C→D→O→B.进而根据图1中四边形ABCD是菱形及运动到各个关键点处时，得到的坐标，进行合理分析，找到符合题意的选项．
本题考查动点问题的函数图象．根据图2判断出动点E运动到图1中哪个点是解决本题的关键．难点是根据菱形的性质和关键点的坐标判断出菱形的边长及对角线的长度．
11.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：∵1< 2<2，2< 7<3，
∴介于 2和 7之间的数为2(答案不唯一)，
故答案为：2(答案不唯一).
根据算术平方根的定义估算无理数 2、 7的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
12.【答案】4
【解析】解：由∠ACB=90∘，以AB、BC为直径的半圆面积分别为9和5，
得AC2=AB2−BC2，
两边同乘π8，
得以AC为直径的半圆面积=以AB为直径的半圆面积-以BC为直径的半圆面积=9−5=4.
故答案为：4.
由∠ACB=90∘，以AB、BC为直径的半圆面积分别为9和5，即可得以AC为直径的半圆面积=以AB为直径的半圆面积-以BC为直径的半圆面积=9−5=4.
本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用圆的面积公式．
13.【答案】13
【解析】解：10×60%+16×25%+20×15%
=6+4+3
=13(元).
故答案为13.
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求10，16，20这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．同时考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14.【答案】2
【解析】解：当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点B的坐标为(0,4)，OB=4.
∵点D为OB的中点，
∴OD=12OB=12×4=2.
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE//x轴．
当y=2时，2x+4=2，
解得：x=−1，
∴点E的坐标为(−1,2)，
∴DE=1，
∴OC=1，
∴▱OCDE的面积=OC⋅OD=1×2=2.
故答案为：2.
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，结合点D为OB的中点可得出OD的长，由四边形OCDE为平行四边形，可得出DE//x轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，进而可得出DE的长，结合平行四边形的对边相等可得出OC的长，再利用平行四边形的面积计算公式，即可求出▱OCDE的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及平行四边形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点B，E的坐标是解题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=DC，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
连接OE，则OE=GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵BD=6，AD=5，
∴OC= DC2−OD2= 52−32=4，
∵S△ODC=12OD⋅OC=12DC⋅OE，
∴OD⋅OC=DC⋅OE，
∴OE=3×45=125，
∴FG=125，
故答案为：125.
由条件可知四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，可由OD⋅OC=DC⋅OE求出OE的值即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OGEF为矩形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2 3+ 33−3 3
=−2 33；
(2)原式=( 2)2−( 3)2+5−2 5+1
=2−3+5−2 5+1
=5−2 5.
【解析】(1)先分母有理化，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△EFM即为所求；
(2)△EFM是等腰直角三角形．
理由：∵EF=FM=2 5，EM=2 10，
∴EF2+FM2=EM2，
∴∠F=90∘，
∴△EFM是等腰直角三角形．
【解析】(1)理由数形结合的思想画出三角形即可；
(2)利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】解：(1)8， 8；
(2)九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
∴应该给九年级颁奖．
(3)八年级(8分)及以上的学生有10+7+11=28(人)，九年级(8分)及以上的学生有14+13+6=33(人)，
∴八年级的获奖率为2850×100%=56%，九年级的获奖率为3350×100%=66%，
∵56%<66%，
∴九年级的获奖率高．
【解析】解：(1)八年级：(6分)的有7人，(7分)的有15人，(8分)的有10人，(9分)的有7人，(10分)的有11人，
九年级：(6分)的有8人，(7分)的有9人，(8分)的有14人，(9分)的有13人，(10分)的有6人，
∴根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25，26个人的分数的一半，即8+82=8，
∴b=8，
根据众数的定义可得，九年级的众数是8，
∴a=8，
故答案为：8，8.
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)根据折线图的信息即可求解；
(2)九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解；
(3)根据各班获奖人数的比例即可求解．
本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握中位数，众数，方差的意义，通过计算概率作决策是解题的关键．
19.【答案】2
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//1AD，
∴CF//ED，
∴∠FCD=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
∠FCG=∠EDGCG=DG∠CGF=∠DGE，
∴△CFG≌△EDG(ASA)，
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形CEDF是菱形．
∴CE=DE，
∵∠CDE=∠B=60∘，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=3，
∴AE=AD−DE=2，
故答案为：2
(1)证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；
(2)证明△CDE是等边三角形，推出DE=CD=3，则AE=AD−DE=2，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=15米，AB=17米，
由勾股定理，可得：
AC= AB2−BC2= 172−152=8(米)，
AD=AC+CD=8+1.8=9.8(米).
答：线段AD的长为9.8米．
(2)如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A′C=20米，

在Rt△A′BC中，∠A′CB=90∘，BC=15米，
由勾股定理，可得A′B= A′C2+BC2= 202+152=25(米)，
则应该再放出25−17=8(米)，
答：他应该再放出8米长的线．
【解析】(1)利用勾股定理求出的AC长，再加上CD的长度，即可求出AD的高度；
(2)根据勾股定理计算即可得到结论．
本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
21.【答案】解：(1)购进乙系列汉服(300−x)套．
根据题意，得y=(100−60)x+(150−80)(300−x)=−30x+21000，
∴y与x的函数关系式为y=−30x+21000.
(2)根据题意，得60x+80(300−x)≤20000，
解得x≥200，
∴至少购进200套甲系列汉服．
∵y=−30x+21000，−30<0，
∴y随x的减小而增大，
∵x≥200，
∴当x=200时，y值最大，y最大=−30×200+21000=15000，
∴汉服店可获得的最大利润是15000元．
(3)根据题意，得y=−30x+21000+ax=(a−30)x+21000，
∵30∴a−30>0，
∴y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y值最大，300−240=60(套)，
∴购进甲系列汉服240套、乙系列汉服60套可使汉服店利润最大．
【解析】(1)购进乙系列汉服(300−x)套，根据“获得的总利润=(甲系列汉服售价-甲系列汉服进价)×购进甲系列汉服数量+(乙系列汉服售价-乙系列汉服进价)×购进乙系列汉服数量”写出y与x的函数关系式即可；
(2)根据“甲系列汉服进价×购进甲系列汉服数量+乙系列汉服进价×购进乙系列汉服数量≤20000”列关于x的一元一次不等式并求解，求出x的最小值；根据(1)中求得的函数关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值即可；
(3)甲系列汉服的进价降低后总利润增加了ax元，写出此时y与x的函数关系式，根据该函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最大，求出此时300−x的值．
本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
22.【答案】解：(1)y=−23x+2；
(2)在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2=OA2+OB2=32+22=13，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB2=132；
(3)连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO=3，S△APO=32a，S△BOP=1，
∴S△ABP=S△BOP+S△APO−S△ABO=132，
即1+32a−3=132，
解得：a=173；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO=3，S△APO=−32a，S△BOP=1，
∴S△ABP=S△ABO+S△APO−S△BOP=132，
即3−32a−1=132，
解得：a=−3；
则当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为173或−3.
【解析】【分析】
(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b，即可求解；
(2)根据勾股定理求出AB2，再根据S△ABC=12AB2，即可得出答案.
(3)分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，点到坐标轴的距离、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，正确表示相关线段的长度和三角形的面积是解题的关键．
【解答】
解：(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：0=3k+bb=2，解得：k=−23b=2，
故直线l的表达式为：y=−23x+2；
故答案为：y=−23x+2；
(2)(3)见答案.
23.【答案】90∘45∘
【解析】(1)①解：当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90∘，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF=12∠DAB=45∘，
故答案为：90∘，45∘；
②证明：当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE(ASA)，
∴OF=OE，
∴四边形DEPF是菱形；
(2)存在，
情况一：如图4，连接EM，
∵DE=EP=AM，EM=EM，∠EAM=∠MPE=90∘，
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)，
∴AE=PM，
设AE=x，则AM=DE=3−x，BM=AB−AM=4−(3−x)=x+1，
∵PM=AE=x，CP=CD=4，
∴MC=CP−PM=4−x，
在Rt△BCM中，BM2+BC2=MC2，
∴(x+1)2+32=(4−x)2，
解得：x=35，
∴线段AE的长为35.
(1)①当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，∠DEF=90∘，当点E与点A重合时，此时∠DEF=12∠DAB=45∘；
②当点E在AB上，点F在DC上时，EF是PD的中垂线，先证得△DOF≌△POE(ASA)，得出OF=OE，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论；
(2)连接EM，可证得Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)，得出AE=PM，设AE=x，则AM=DE=3−x，BM=AB−AM=4−(3−x)=x+1，MC=CP−PM=4−x，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用矩形性质，折叠变换的性质等．金额元
5
10
20
50
100
人数
4
16
15
9
6
平均数
众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
8
7
b
1.88
九年级竞赛成绩
8
a
8
1.56
测量示意图
测量数据
边的长度
①测得水平距离BC的长为15米.
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米.
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.8米.
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