2023-2024学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，是二次根式的是( )
A. 2B. −2C. 13D. π
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 13× 27=3D. 8÷ 2= 6
3.关于矩形的性质，以下说法不正确的是( )
A. 四个角都相等B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 是轴对称图形
4.一次函数y=−x向上平移2个单位长度得到( )
A. y=−x−2B. y=−x+2C. y=−2x+2D. y=−2x−2
5.如图，DE是△ABE的中位线；若∠BDE=140∘，则∠B=( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 80∘
D. 140∘
6.体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
7.如图，风筝牵引绳AB的长度所在范围是( )
A. 36m至38mB. 38m至40mC. 40m至42mD. 42m至44m
8.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B=60∘，对角线AC长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为( )
A. 4B. 4 3C. 8D. 8 3
9.河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义.其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻R1上，使R1的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示.观察图象，下列说法不正确的是( )
A. 当没有粮食放置时，R1的阻值为40Ω
B. 粮食水分含量为5%时，R1的阻值为25Ω
C. R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%
10.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 2x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
12.写出一个图象过第一、三、四象限的一次函数解析式是______.
13.如图，将▱ABCD的一边延长至点E，若∠A=120∘，则∠1=______.
14.2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占30%、“语言表达”占40%、“形象风度”占20%、“整体效果”占10%进行计算.小芳这四项的得分依次为90，95，85，90，则她的最后得分是______分.
15.如图，四边形OABC是正方形，顶点A(2,2)在直线l：y=kx+6上.将正方形OABC沿x轴正方向平移m(m>0)个单位长度，若正方形OABC的在x轴上方的其他顶点恰好落在直线l上，则m的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共91分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)( 5+ 2)( 5− 2)；
(2)(4 6−6 2)÷2 2+ 32.
17.(本小题10分)
“月背探秘，嫦娥归来”，嫦娥六号探测器于2024年6月4日完成世界首次月球背面采样和起飞.为庆祝这一壮举，某校举办了“航空航天知识”竞赛，满分100分，学生得分均为整十数，成绩达到60分及以上的记为“合格”，达到90分及以上的记为“优秀”.决赛中七、八年级各有10名学生参加；具体得分情况如下所示.
【数据收集】
七年级：50，60，60，60，60，70，90，90，100，100；
八年级成绩条形统计图如下：
【数据整理、分析】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上表中，a=______，b=______，c=______.
(2)小明对小刚说：“虽然这次比赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前.”观察上表可知，小明是______年级学生(填“七”或“八”).
(3)结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好？请你给出两条支持自己观点的理由.
18.(本小题10分)
观察下列等式：
① 1×3+1=2；② 2×4+1=3；③ 3×5+1=4…
(1)类比上述等式，写出第④个等式：______；
(2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示，n为正整数)，并给出证明.
19.(本小题10分)
已知：如图，在矩形ABCD中，AD>AB.
(1)用直尺和圆规，在BC上取一点E，使得AE=AD；作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图).那么四边形AEFD是菱形，请给出证明.
(2)连接DE，若DE=10，且菱形AEFD的周长为40，求矩形ABCD的面积.
20.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4与正比例函数y=3x交于点A(1,m).
(1)求m和k的值.
(2)若点B(3,n)在直线y=kx+4上，连接OB，求△AOB的面积.
(3)结合图象，直接写出关于x的不等式13x21.(本小题12分)
为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元.
(1)设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个，求w与a之间的函数关系式.
(2)若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的23，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？
22.(本小题12分)
【课本呈现】如图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容：
思考
如图18.2−3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
根据矩形的性质，我们得到结论：BO=12AC.
(1)由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为：______【结论再探】
(2)数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路.以下是他不完整的证明过程，请补充完整.
已知：如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BO是斜边AC上的中线.
求证：BO=12AC.
证明：延长CB到点D，使DB=BC，连接AD.
又∵O为AC的中点，
∴BO=12______(依据是______).
∵DB=BC，∠ABC=90∘
∴AB垂直平分DC.
∴AD=______.
∴BO=12AC.
【结论应用】
(3)如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，AB=2，CD=3，BC−AD=1.在四边形ABCD内存在一点P，其到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，求d的值.
23.(本小题8分)
如图1，A，B，C三地在同一条公路上，B地在A，C两地之间.甲同学从A地出发跑向C地，同时乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰好与甲同学相遇，乙停留20s后，按原路原速返回C地.两人匀速行进，甲比乙晚40s到达C地.两人距C地的路程y(m)与时间x(s)之间的函数关系如图2所示.
请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出M点坐标______；
(2)求乙同学从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式；
(3)经过多少秒、甲、乙两同学相距40m？(直接写出答案即可)
24.(本小题8分)
【例题探索】如图1，在正方形ABCD中，点G为BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF//DE，交AG于F.由三角形全等，易证：AF，BF，EF之间的数量关系为______；
【类比探究】如图2.在正方形ABCD中，点G为CB延长线上的任意一点，DE⊥AG交GA延长线于点E，BF//DE交AG于点F.试探索AF，BF，EF之间的数量关系，并给出证明.
【问题解决】在正方形ABCD中，点G为BC延长线上的一点，DE⊥AG于点E，连接BE.
(1)请在备用图中按要求完成画图.
(2)若AE=6，直接写出△ABE的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：π，13不符合二次根式的形式，不是二次根式；
−2中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式；
2是二次根式．
故选：A.
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、3 2− 2=2 2≠3，此选项错误，不符合题意；
C、 13× 27= 13×27= 9=3，此选项正确，符合题意；
D、 8÷ 2= 8÷2= 4=2，此选项错误，不符合题意；
故选：C.
根据二次根式的运算法则判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：矩形的性质有四个角都相等，对角线互相平分且相等，是轴对称图形，
故选：C.
根据矩形的性质判断即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质是四个角都相等，对角线互相平分且相等解答．
4.【答案】B
【解析】解：一次函数y=−x向上平移2个单位长度得到的函数解析式为：y=−x+2.
故选：B.
根据“上加下减”的法则解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE是△ABE的中位线，
∴DE//BC，
∴∠BDE+∠B=180∘，
又∵∠BDE=140∘，
∴∠B=180∘−∠BDE=40∘，
故选：B.
先推导DE//BC可知∠BDE+∠B=180∘，从而得解．
本题考查三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的方差．
故选：D.
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；
本题考查平均数、方差、众数、中位数等知识，解题的关键是理解方差的意义，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】解：由图可知：∠ACB=90∘，∠A=45∘，BC=30m，
∴AC=CB，
在Rt△ABC中，
∴AB= 302+302=30 2≈30×1.414=42.42(m)，
∴42<42.42<44，
故选：D.
利用勾股定理求出AB的长度即可．
本题考查勾股定理，等腰直角三角形判定及性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB.
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=8，
则正方形的边长为8，
故选：C.
先根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知R1的阻值为40Ω，故本选项不符合题意；
B、由函数图象可知，当粮食水分含量为5%时，R1的阻值小于25Ω，故本选项符合题意；
C、由图象可知，R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%，故本选项不符合题意．
故选：B.
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
本题主要考查了从函数图象获取信息，正确记忆相关知识点是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题可知每个正方形纸片的面积正好是围成三角形的对应边的边长的平方，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，因为1+4=5，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是1×22=1，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，因为2+3=5，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是 2× 32= 62；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，因为3+4≠5，所以围成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，因为2+2=4，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是 2× 22=1，
因为 62>1，
所以使所围成的三角形是面积最大的直角三角形时选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B.
首先根据两个较小的面积之和等于最大的面积判断三角形是直角三角形，然后利用较小的两条边为直角边，根据三角形的面积公式分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意知2x−2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1.
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】y=x−1(答案不唯一)
【解析】解：∵图象经过第一、三、四象限，
∴如图所示：
设此一次函数的解析式为：y=kx+b，
∴k>0，b<0.
∴此题答案不唯一：如y=x−1.
故答案为：y=x−1(答案不唯一).
根据已知可画出此函数的简图，再设此一次函数的解析式为：y=kx+b，然后可知：k>0，b<0，即可求得答案．
此题考查了一次函数的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
13.【答案】60∘
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=120∘，
∵将▱ABCD的一边延长至点E，
∴∠BCD+∠1=180∘，
∴∠1=180∘−120∘=60∘，
故答案为：60∘.
根据平行四边形对角相等以及平角的定义求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，平角的定义，熟记平行四边形的性质，平角的定义是解题的关键．
14.【答案】91
【解析】解：90×30%+95×40%+85×20%+90×10%=91(分)，
∴她的最后得分是91分，
故答案为：91.
用四项的得分乘以其对应的权重并求和即可得到答案．
本题主要考查了加权平均数的，熟练掌握加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
15.【答案】1或4
【解析】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作DF⊥CE于点F，
∵A(2,2)，
∴OD=2，AD=2，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC=AO，∠AOC=90∘，
∴∠COE+∠AOD=90∘，
∵∠COE+∠OCE=90∘，
∴∠AOD=∠OCE，
在△AOD和△OCE中，
∠AOD=∠OCE∠OEC=∠ADOOC=AO，
∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴CE=OD=2，OE=AD=2，
∴C(−2,2)，
同理可得：△CBF≌△OCE，
∴CE=BF=2，OE=CF=2，
∴B(0,4)，
把A(2,2)代入y=kx+6得：2=2k+6，
解得：k=−2，
∴直线l的解析式为y=−2x+6，
设点C平移后的点为C′，点B平移后的点为B′，
①当C′在l上时，2=−2x+6，
解得：x=2，
∴C′(2,2)，
∴m=2−(−2)=4，
②当B′在l上时，4=−2x+6，
解得：x=1，
∴B′(1,4)，
∴m=1−0=1；
故答案为：1或4.
过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作DF⊥CE于点F，通过证明△AOD≌△OCE，△CBF≌△OCE，得出点C和点B的坐标，再求出直线l的解析式为y=−2x+6，设点C平移后的点为C′，点B平移后的点为B′，根据平移的性质可知，点C和点C′纵坐标相等，点B和点B′纵坐标相等，求出点C′和B′的坐标，即可解答．
本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤．
16.【答案】解：(1)( 5+ 2)( 5− 2)
=5−2
=3；
(2)(4 6−6 2)÷2 2+ 32
=2 3−3+3
=2 3.
【解析】(1)根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可；
(2)根据二次根式混合运算法则，进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算、平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
17.【答案】658040%七
【解析】解：(1)∵共有10名同学，中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数a=60+702=65
根据八年级成绩条形统计图可得，众数b=80，
七年级的优秀率c=410×100%=40%
故答案为：65，80，40%.
(2)∵七年级的中位数是65，八年级的中位数是75，
∴小明是七年级的学生；
故答案为：七；
(3)八年级成绩较好，理由如下，
两个年级的平均分相等，八年级成绩的中位数、众数大于七年级成绩的中位数、众数，
∴八年级成绩较好．
(1)根据中位数的定义求出a，根据八年级成绩条形统计图得出b，根据七年级成绩达到90分及以上的人数与总人数，求得c，即可求解．
(2)根据七年级、八年级的中位数，再结合小明同学的成绩即可得出答案；
(3)从中位数和众数两个方面解答即可．，即可得出答案．
本题考查条形统计图，中位数、平均数、众数的定义；掌握中位数、平均数、众数的定义是关键．
18.【答案】 4×6+1=5； n(n+2)+1=n+1
【解析】解：(1)由题意知，第④个等式为 4×6+1=5，
故答案为： 4×6+1=5；
(2)由题意知，第n个等式为 n(n+2)+1=n+1，
证明：左式= n(n+2)+1= n2+2n+1= (n+1)2=n+1，
右式=n+1，
∴左式=右式，等式成立．
(1)由题意知，第④个等式为 4×6+1=5；
(2)由题意知，第n个等式为 n(n+2)+1=n+1，证明左式=右式即可．
本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
19.【答案】解：(1)作图如下；
截出AE，
作出∠DAE平分线，
证明：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠FAE，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠DAF=∠EFA，
∴∠FAE=∠EFA，
∴AE=EF，
∵AD=AE，
∴AE=EF=AD，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE=EF，
∴平行四边形AEFD是菱形．
(2)∵菱形周长为40，
∴AD=AE=10，
∵DE=10，
∴AD=AE=DE，
如图，作EH⊥AD，
则DH=12AD=12×10=5，
∴EH= DE2−DH2= 102−52=5 3，
∴矩形面积=AD×EH=10×5 3=50 3.
【解析】(1)根据题意结合尺规作相等线段和角平分线的方法作图即可；根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
(2)根据菱形周长为40，得出AD=AE=10，即可得AD=AE=DE，作EH⊥AD，根据等边三角形的性质得出DH=5，勾股定理得出EH=5 3，即可求出矩形面积．
本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将A(1,m)代入y=3x，得：
m=3×1=3，
∴A(1,3)，
将A(1,3)代入y=kx+4，得：
3=k+4，
解得：k=−1；
(2)由(1)得k=−1，
∴直线AB的解析式为：y=−x+4，
当x=3时，y=−3+4=1=n，则B(3,1)，
当y=0时，x=4，则直线AB与x轴交点为C(4,0)，如图1，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×4×3−12×4×1=4；
(3)联立得：y=13xy=−x+4，
解得：x=3y=1，
∴直线y=13x与直线y=−x+4的交点坐标为(3,1)，
如图2，根据函数图象可知，当1∴不等式13x【解析】(1)把A(1,m)代入解析式y=3x，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可；
(2)先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可；
(3)先求出直线y=13x与直线y=−x+4的交点坐标为(3,1)，然后根据函数图象求出不等式13x本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标．
21.【答案】解：(1)根据题意得：w=35a+45(100−a)=−10a+4500，
(2)根据题意得：100−a≥23a，
解得：a≤60，
由(1)得：−10<0，w随a的增大而减小，
∴当a=60时，w最小，最小值为−10×60+4500=3900(元)，
∴方案为：购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元．
【解析】(1)根据所需费用等于两种栽培架的总价的和，列出函数解析式，即可求解；
(2)根据题意，先求出a的取值范围，再结合一次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数关系式．
22.【答案】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 AD 三角形的中位线定理 AC
【解析】解：(1)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
故答案为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
(2)延长CB到点D，使DB=BC，连接AD.
又∵O为AC的中点，
BO=12AD(依据是三角形的中位线定理).
∵DB=BC，∠ABC=90∘
∴AB垂直平分DC.
∴AD=AC.
∴BO=12AC.
故答案为：AD；三角形的中位线定理；AC；
(3)连接AC，PA，PD，PC，
∵∠B=∠ADC=90∘，d=PA=PD=PC=12AC，
∴∠PAD=∠PDA，∠PDC=∠PCD，
∴∠APD=180∘−2∠PDA，∠CPD=180∘−2∠PDC，
∴∠APD+∠CPD=360∘−2(∠PDA+∠PDC)=180∘，
∴点A、P、C三点共线，
设AD=x，则BC=x+1，
∴由勾股定理可得：AD2+DC2=AC2，AB2+BC2=AC2，
∴AD2+DC2=AB2+BC2，
∴x2+32=22+(x+1)2，
解得：x=2，
∴AD=2，
∴AC= AD2+CD2= 13，
∴d=12AC= 132.
(1)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
(2)延长CB到点D，使DB=BC，连接AD.根据三角形中位线性质得到BO=12AD，根据线段垂直平分线性质得到AD=AC，故得BO=12AC；
(3)连接AC，PA，PD，PC，根据∠B=∠ADC=90∘，点P，其到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，知点P是AC的中点，设AD=x，则BC=x+1，由勾股定理可得，AD2+DC2=AB2+BC2，得到x2+32=22+(x+1)2，解得：x=2，得到AC= AD2+CD2= 13，故得d=12AC= 132.
本题考查了四边形的综合应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
23.【答案】(120,360)
【解析】解：(1)∵甲同学比乙同学晚40s到达C地，
∴乙同学到C地时间为300−40=260s，
即D(260,0)，
∵乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰与甲同学相遇，乙停留20s，
∴乙同学从C地到B地所用时间为260−202=120s，即M的横坐标为120，
由图可知，甲同学速度为600300=2m/s，
∵600−2×120=360，
∴点M的坐标为(120,360)；
故答案为：(120,360)；
(2)∵乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰与甲同学相遇，乙停留20s，点M的坐标为(120,360)，
∴N(140,360)，
设乙同学从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把N(140,360)，D(260,0)代入得：
140k+b=360260k+b=0，
解得：k=−3b=780，
∴乙同学从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=−3x+780；
(3)乙的速度为600−120×2120=3m/s，
若两人相遇前距40m，x=600−402+3=112s；
两人相遇后，乙停留20s，此时甲走20×2=40m，
此时x=140，甲、乙两同学相距40m；
乙同学从B地返回C地时，乙同学离C地比甲同学少40m，
∴−3x+780+40=600−2x，
解得x=220；
乙同学到达C地后，600−2x=40，
解得x=280；
综上所述，经过112或140或220或280秒，甲、乙两同学相距40m.
(1)求出乙同学从C地到B地所用时间，即可求解；
(2)求出N(140,360)再利用待定系数法解答，即可求解；
(3)分四种情况讨论，即可求解．
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象总获取有用的信息．
24.【答案】AF−BF=EF
【解析】解：【例题探索】AF−BF=EF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90∘，
∵DE⊥AG，BF//DE，
∴∠AFB=90∘=∠DEA，
∵∠ABF+∠BAF=90∘=∠DAE+∠BAF，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠ABF=∠DAE，∠AFB=90∘=∠DEA，AB=AD，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AE=BF，
∴AF−AE=EF，即AF−BF=EF，
故答案为：AF−BF=EF；
【类比探究】AF+BF=EF，证明如下；
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∵DE⊥AG，BF//DE，
∴∠AFB=90∘=∠DEA，
∵∠ABF+∠BAF=90∘=∠DAE+∠BAF，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠ABF=∠DAE，∠AFB=90∘=∠DEA，AB=AD，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AE=BF，
∴AF+AE=EF，即AF+BF=EF；
【问题解决】(1)按要求作图如图1；
(2)如图2，作BM⊥AG于M，
同理(1)可得，△ABM≌△DAE(AAS)，
∴BM=AE=6，
∴S△ABE=12AE×BM=18，
∴△ABE的面积为18.
【例题探索】解证明△ABF≌△DAE(AAS)，则AE=BF，AF−AE=EF，即AF−BF=EF；
【类比探究】证明△ABF≌△DAE(AAS)，则AE=BF，AF+AE=EF，即AF+BF=EF；
【问题解决】(1)按要求作图即可；
(2)如图2，作BM⊥AG于M，同理(1)可得，△ABM≌△DAE(AAS)，则BM=AE=6，根据S△ABE=12AE×BM，计算求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．组别
平均数
中位数
众数
方差
合格率
优秀率
七年级
74
a
60
324
90%
c
八年级
74
75
b
204
90%
20%