2023-2024学年湖北省恩施州八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖北省恩施州八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a<1D. a≤1
2.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为( )
A. 5B. 4C. 3D. 7
4.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.一俱乐部的篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下统计表，表格不小心被某同学用水打湿了，看不清18岁和20岁队员的具体人数.
下列统计量中，不受影响的是( )
A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数
6.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 8D. 24
7.已知正比例函数y=−x，下列结论正确的是( )
A. 图象经过第一、三象限B. 图象是一条射线
C. 不论x取何值，总有y<0D. y随x的增大而减小
8.下列命题中，其逆命题是真命题的是( )
A. 如果两个角是直角，那么它们相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 两直线平行，同位角相等D. 若a=b，那么a2=b2
9.如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO.若AB=12，AD=16，则DO的长为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.关于函数y=(k−3)x+k，给出下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0其中正确结论的序号是( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： 3× 5=______.
12.一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm.在弹性限度内，挂上重物后弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.则弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式为______.
13.某班准备从甲、乙、丙三名学生中选取一名成绩稳定的同学参加学校跳远比赛.这三名学生5次测试的平均成绩恰好相同，方差分别是：S甲2=0.55，S乙2=0.53，S丙2=0.51，那么应选______(选填“甲”“乙”或“丙”)去参加比赛.
14.某日早晨9：00甲渔船以12海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，10：00乙渔船以10海里/时的速度离开港口O沿某一方向航行.上午11：00两渔船相距26海里.则乙渔船航行的方向是______.
15.如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，连接BE，AF⊥BE于点F，连接DF.则DF=______.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1) 45−( 20− 5)；
(2)( 3+ 2)( 3− 2)−1.
17.(本小题6分)
如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上.求∠BAC的度数.
18.(本小题6分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E和点F在BD上，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形.
19.(本小题8分)
为增强青少年的安全意识，某中学举行“防溺水知识竞赛”活动.随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按A、B、C、D四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图，如图所示：请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)请补全条形统计图，扇形统计图中C等级所对圆心角的度数为______；
(3)该中学共有3000名学生，估计此次竞赛该校获A和B等级的总人数约有多少.
20.(本小题8分)
如图，一次函数y1=3x+3的图象交x轴于点A，y2=kx+7的图象交x轴于点B，且两条直线交于点C(m,9).
(1)求△ABC的面积；
(2)结合图象，直接写出不等式3x+3≤kx+7的解集.
21.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，且AF=DE.
(1)求证：AE=BF；
(2)若△ABE的面积为8，求AB的长.
22.(本小题10分)
在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便.比如：运用公式法，整体代入法等.
例1：计算 3+2 2，可以用公式a2±2ab+b2=(a±b)2来进行运算.即：
3+2 2= 2+2 2+1= ( 2)2+2× 2×1+12= ( 2+1)2= 2+1.
例2：已知x= 5−2，求代数式x2+4x−10的值.
解：由x= 5−2得：x+2= 5，所以(x+2)2=5，所以x2+4x+4=5，所以x2+4x=1，整体代入得：x2+4x−10=1−10=−9.
结合上述解题过程，完成下列题目：
(1) 3−2 2=______；
(2)已知m=2 5−3，求代数式m2+6m−8的值；
(3)已知x=2− 3，求代数式(7+4 3)x2+(2+ 3)x+ 3的值.
23.(本小题11分)
在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，点E、F在CD上.
(1)如图1，当点E、F重合时，请你经过推理后直接填空：
①DE与CF的数量关系为：______；
②AE与BF的位置关系为：______；
③AE2、BF2、4AD2的关系式为：______；
(2)如图2，当点E在点F左侧时，证明(1)中③的结论仍然成立；
(3)如图3，当点E在点F右侧时，若AE+BF=6，AD=2，则四边形AFEB的面积=______.
24.(本小题12分)
如图1，将底角为30∘，腰长为2的等腰△OAB置于平面直角坐标系中，腰OB与x轴重合，底边AB与y轴交于点D.
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)如图2，将△OAB沿AB对折，点O落在点C处，判断四边形OBCA的形状并求出点C的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E、F为线段BD上的两动点(不与点B、D重合)，且BE=DF，连接CE、CF，请求出CE+CF的最小值及点E的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知a−1≥0，
∴a≥1.
故选：B.
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：A、能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、不能表示y是x的函数，故本选项符合题意；
C、能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
D、能表示y是x的函数，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据函数的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了函数图象的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3.【答案】A
【解析】解：由直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长= 32+42=5.
故选：A.
由直角三角形两直角边长分别为3和4，由勾股定理即可得它的斜边长= 32+42=5.
本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．
根据三角形的中位线定理得到CB=2DE，代入BC的长即可求出DE.
【解答】
解：∵D，E分别是边AB、AC的中点，
∴BC=2DE，
∵BC=6，
∴DE=3.
故选：B.
5.【答案】D
【解析】解：统计表可知，年龄为18岁与年龄为21岁的人数和为20−2−8−3=7人，
故该组数据的众数为21岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为21，21，
则中位数为：21+212=21(岁)，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D.
根据统计表可知，年龄为18岁与年龄为21岁的人数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、 3是最简二次根式，符合题意；
B、 4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 8=2 2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 24=2 6，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．图象经过第二、四象限，图象是一条直线，故选项A，B错误，选项D正确，
当x>0时，y<0，故选项C错误，
故选：D.
由k=−1<0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角．相等的角并不一定是直角，故是假命题；
B.逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形．判定两个三角形全等没有AAA这种判定方法，故是假命题；
C.逆命题是：同位角相等，两直线平行．由平行线的判定方法知，是真命题；
D.逆命题是：则a2=b2是a=b.∵a2=b2，∴a=±b，故是假命题．
故选：C.
先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查的知识点是命题与定理，能够根据题意写出逆命题是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90∘，AB=CD，AD=BC，
∵AB=12，AD=16，
∴AC= AB2+BC2= 122+162=20，
∴DO=12AC=10，
故选：D.
根据矩形的性质可知AB=CD，AD=BC，再根据勾股定理可求出AC的长，进而即可求出DO的长．
本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：①根据一次函数定义：k≠3时，此函数为一次函数，故正确；
②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，故函数过(−1,3)，故正确；
③图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解得：k<0，故正确；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x=k3−k>0，解得：0故选：D.
①根据一次函数定义即可求解；
②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，即可求解；
③图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解即可求解；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x=k3−k>0，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解．
11.【答案】 15
【解析】解：原式= 3×5= 15，
故答案为： 15
原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解本题的关键．
12.【答案】y=2x+12
【解析】解：设函数解析式为y=kx+b，
由题意知，点(0,12)，(1,14)，
b=12k+b=14，
解得：b=12k=2，
∴函数解析式为y=2x+12，
故答案为：y=2x+12.
根据题意找出弹簧伸长的长度与重物质量的关系：伸长的长度是所挂重物质量的2倍和弹簧总长等于弹簧原长加上不挂重物长度时长度，列出函数解析式即可．
本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
13.【答案】丙
【解析】解：∵S甲2=0.55，S乙2=0.53，S丙2=0.51，
∴S甲>S乙>S丙，
∴这三名同学中成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
直接根据方差的意义即可得出答案．
本题考查了方差，正确记忆方差越小，表示成绩越稳定；方差越大，表示成绩波动越大，越不稳定是解题关键．
14.【答案】东南方向或西北方向
【解析】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，
由题意，得OA=12×(11−9)=24(海里)，OB=10×(11−10)=10(海里)，AB=26海里，
∵OA2+OB2=242+102=262=AB2，
∴∠AOB=90∘，
∴OA⊥OB，
∵OA表示东北方向，
∴OB表示东南方向或西北方向．如图，
故答案为：东南方向或西北方向．
设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则OA=12×(11−9)=24(海里)，OB=10×(11−10)=10(海里)，AB=26海里，由勾股定理的逆定理，判定出∠AOB=90∘，再由OA表示东北方向，即可得出OB表示的方向．
本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：延长AD、BE交于点H，
∵E为CD的中点，
∴DE=EC，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，AD//BC，
∴∠H=∠CBE，
在△BEC和△HED中
DE=CE∠H=∠CBE∠BEC=∠HED，
∴△BEC≌△HED，
∴BC=HD，
∴AD=HD，
∴点D为AH的中点，
∵AF⊥BE，
∴∠AFH=90∘，
在Rt△AFH中，FD为斜边AH的中线，
∴DF=12AH=AD=3，
故答案为：3.
延长AD、BE交于点H，根据中点定义和正方形的性质，证明△BEC≌△HED，得AD=HD，再根据直角三角形斜边中线定理即可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3 5−2 5+ 5
=2 5；
(2)原式=( 3)2−( 2)2−1
=3−2−1
=0.
【解析】(1)先化简二次根式，再进行加减运算；
(2)利用平方差公式化简，再进行加减运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，正确化简二次根式是解题的关键．
17.【答案】解：AB2=22+12=5，
AC2=42+22=20，
BC2=52=25，
∵AB2+AC2=20+5=25=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90∘.
【解析】根据勾股定理求得AB2，AC2，BC2，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形．
【解析】由平行四边形的性质得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，再证明OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
19.【答案】10036∘
【解析】解：(1)45÷45%=100；
故答案为：100；
(2)B等级的人数为：100−45−10−5=40，补全条形图如图：
360∘×10100=36∘；
故答案为：36∘；
(3)3000×45+40100=2550(名).
(1)用A等级的人数除以所占的百分比求出调查的人数即可；
(2)求出B等级的人数，补全条形图即，用360度乘以C等级的人数所占的比例，求出圆心角的度数即可；
(3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总体，总体、个体、样本、样本容量，从统计图中有效的获取信息是解题得的关键．
20.【答案】解：(1)将C(m,9)代入y1=3x+3得，3m+3=9，
解得，m=2，
∴C(2,9)
将C(2,9)代入y2=kx+7得，2k+7=9，
解得，k=1
∴y2=x+7，
对于y1=3x+3，当y1=0时，3x+3=0，
解得：x=−1，
对于y2=x+7，当y2=0时，x+7=0，
解得：x=−7，
∴A(−1,0)，B(−7,0)
∴S△ABC=12×|−7+1|×9=27；
(2)联立y1=3x+3y2=x+7，
解得，x=2，
∵3x+3≤kx+7，
即一次函数y1=3x+3的图象在y2=kx+7的图象下方时对应交点的横坐标的取值范围，
∴x≤2，
∴3x+3≤kx+7的解集是x≤2.
【解析】(1)先求出直线y2=kx+7的解析式，再求出与x轴的交点，即可面积；
(2)联立两条直线的解析式，求出交点的横坐标，那么问题就转化为交点的横坐标的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两条一次函数图象的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中；
∠DAB=∠ADE=90∘，AB=AD；
在△ABF和△DAE中，
AB=AD∠DAB=∠ADEAF=DE，
△ABF≌△DAE(SAS)；
即AE=BF；
(2)解：由(1)得∠DAB=90∘；
∴S△ABE=AB⋅AD2=8；
∵AB=AD；
∴AB⋅AB=16，得AB=4.
即AB的长为4.
【解析】(1)由正方形的性质得∠DAB=∠ADE=90∘，AB=AD，再证△ABF≌△DAE即可求证；
(2)由∠DAB=90∘，可得△ABE的高为AD，再由三角形面积公式即可求解．
本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两平行线间的距离相等，熟练的证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】 2−1
【解析】解：(1)参照例1得：原式= 3−2 2，
= ( 2)2−2 2+12
= ( 2−1)2
= 2−1
故答案为 2−1.
(2)由m=2 5−3得：m+3=2 5，
∴(m+3)2=20，
∴m2+6m+9=20，
即m2+6m=11，
∴m2+6m−8=11−8=3.
(3)参照例1得：7+4 3=22+4 3+( 3)2=(2+ 3)2，
∴原式=(2+ 3)2×(2− 3)2+(2+ 3)×(2− 3)+ 3
=(4−3)2+(4−3)+ 3
=1+1+ 3
=2+ 3.
(1)参照例1，用完全平方公式即可得出结果
(2)将m=2 5−3，化为m+3=2 5，再将等号左右两边进行平方，变形即可得到m2+6m−8的值
(3)参照例1可将7+4 3化为(2+ 3)2，代入原式，利用平方差公式，最后化简即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用、完全平方公式的应用，二次根式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识，准确计算．
23.【答案】DE=CFAE⊥BFAE2+BF2=4AD2 5
【解析】(1)解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC//AB，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠CFB，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE=∠DEA，∠CBE=∠CFB，
∴∠BAE=∠DAE，∠ABF=∠CBF，
∴ED=AD，CF=BC，
∵AD=BC，
∴DE=CF，
故答案为：DE=CF；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=DC，
∴∠D+∠C=180∘，
则180∘−2∠DEA+180∘−2∠CFB=180∘，
∴∠DEA+∠CFB=90∘，
则∠AFB=180∘−(∠DEA+∠CFB)=90∘，
∴AE⊥BF，
故答案为：AE⊥BF；
③由勾股定理可得AE2+BF2=AB2=DC2=(ED+CF)2=(AD+CB)2=4AD2，
即AE2+BF2=4AD2，
故答案为：AE2+BF2=4AD2；
(2)证明：过点E作EG//BF，交AB于点G，如图2，
在平行四边形ABCD中，
AB//CD，AB=CD，AD=BC，AD//BC，
∵EG//BF，AB//CD，
∴四边形EGBF为平行四边形，
∴EF=BG，EG=BF，EG//BF，
∵AB//CD，AE平分∠DAB，
∴∠2=∠3，∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DE，
同理可证：CB=CF，
∴AD=DE=CB=CF，
∵AB=CD，EF=BG，
∴DE+FC=AG=2AD，
∵AD//BC，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠2+∠4=90∘，
∵EG//BF，
∴∠5=∠4，
∴∠2+∠5=90∘，
∴∠AEG=90∘，
∴AE2+EG2=AG2，则AE2+BF2=(2AG)2=4AD2，
∴(1)中③的结论仍然成立；
(3)解：如图3：过点E作EH//FB交直线AB于一点H，过点H作HN//BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，EH//FB，HN//BC，
∴四边形ADNH是平行四边形，四边形FBHE是平行四边形，
∴EH=FB，EF=BH，
∵在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，点E、F在CD上．
∴在平行四边形ADNH中，AE平分∠DAB，EH平分∠AHN，
与(1)同理，得出DE=AD，EN=HN，DE=EN，AE⊥EH，
则AE⊥EH，
∴AE2+BF2=AE2+EH2=4AD2，
∵AE+BF=6，AD=2，
∴AE+EH=6，AE2+BF2=16，
则(AE+BF)2=36，
∴2AE⋅BF=36−16=20，
则AE⋅BF=10，
∵AE⊥EH，
∴S△AEH=12AE×EH=5，
∵四边形AFEB的面积=12(EF+AB)×高，平行线的距离处处相等，
∴四边形AFEB的面积=12(BH+AB)×高=12AH×高，
∴四边形AFEB的面积=S△AEH=5，
故答案为：5.
(1)四边形ABCD是平行四边形以及AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，得出∠DAE=∠DEA，∠CBE=∠CFB，再进行等角对等边，得出DE=CF，结合三角形内角和性质以及平角的性质，得出∠AFB=180∘−(∠DEA+∠CFB)=90∘，运用勾股定理列式化简，即可作答．
(2)过点E作EG//BF，交AB于点G，先证明四边形EGBF为平行四边形，结合平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出AD=DE，同理得CB=CF，结合三角形内角和性质以及平角的性质，得出∠AEG=90∘，运用勾股定理列式化简，即可作答．
(3)先证明四边形ADNH是平行四边形，四边形FBHE是平行四边形，得出在平行四边形ADNH中，AE平分∠DAB，EH平分∠AHN，与(1)同理得DE=AD，EN=HN，DE=EN，AE⊥EH，结合AE+BF=6，AD=2，分别代入化简得(AE+BF)2=36，再分析四边形AFEB的面积=12(BH+AB)×高=12AH×高，即可作答．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AH⊥x轴于点H，如图1，
∵∠AOH=∠ABO+∠BAO=30∘+30∘=60∘，
∴∠OAH=90∘−60∘=30∘，
∴OH=12OA=1，
∴AH= OA2−OH2= 22−12= 3，
∴A点坐标为(1, 3).
又∵B为(−2,0).
设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，得：
−2k+b=0k+b= 3，
解得：k= 33b=2 33，
∴直线AB的解析式为：y= 33x+2 33；
(2)四边形OBCA是菱形；理由如下：
∵△AOB为等腰三角形，
∴OA=OB，
又∵△CAB由△OAB折叠而成，
∴AC=OA，BC=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OBCA是菱形；
作CM⊥x轴于点M，如图2，
∵∠CBM=2∠ABO=2×30∘=60∘，
∴∠BCM=90∘−60∘=30∘，
∴BM=12BC=12×2=1.
OM=OB−MB=2−1=1，
∴xC=−1.
∵四边形OBCA为菱形，
∴AC//OB，
∴yC=yA= 3，
∴C为(−1, 3)；
(3)过点B作BN//CD，且BN=CD，连接DN，EN，
∵BE=DF，∠EBN=∠FDC，BN=CD，
∴△EBN≌△FDC(SAS).
∴EN=CF，
当C、E、N在同一条直线上时，CE+EN最小，即CE+CF最小．
∵点C、O关于AB对称，
∴∠BCD=∠BOD=90∘，
∴四边形BNDC为矩形，
∴CN=BD.
在Rt△BOD中，∠OBD=30∘，
设OD=x，BD=2x，
∴(2x)2−x2=22，
解得：x=23 3.
∴CN=BD=2OD=43 3，
∴CE+CF的最小值为43 3.
∴xE=xB+xD2=−2+02=−1，yE=yB+yD2=0+23 32= 33.
∴点E的坐标为：(−1, 33).
【解析】(1)过点A作AH⊥x轴于点H，如图1，在直角三角形中求得OH=12OA=1，然后利用勾股定理求得AH= 3，进而推导出A点坐标为(1, 3)，设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法求得AB解析式即可；
(2)通过推导OA=OB=BC=AC，得出四边形OBCA是菱形；作CM⊥x轴于点M，如图2，进一步推导出BM=12BC=12×2=1.OM=1，利用四边形OBCA为菱形，得出C点坐标即可；
(3)过点B作BN//CD，且BN=CD，连接DN，EN，推导出△EBN≌△FDC(SAS)，得到EN=CF，当C、E、N在同一条直线上时，CE+EN最小，即CE+CF最小．推导出四边形BNDC为矩形，得到CN=BD.设OD=x，BD=2x，利用勾股定理求得x=23 3.CN=BD=2OD=43 3，CE+CF的最小值为43 3.进一步求得点E的横坐标与纵坐标，即可得解．
本题考查了待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．年龄(岁)
18岁
19岁
20岁
21岁
22岁
人数(个)
2
8
3