2023-2024学年湖南省株洲市荷塘区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市荷塘区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点P(3,2)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列平面直角坐标系内的曲线中，是中心对称图形的是( )
A. 心形线B. 笛卡尔叶形线
C. 三叶玫瑰线D. 四叶玫瑰线
3.以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是( )
A. 2，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 6，12，13
4.对某班50名同学的一次数学测验成绩进行统计，若频数分布直方图中80.5∼90.5分这一组的频数是18.则这个班的学生这次数学测验成绩在80.5∼90.5分之间的频率是( )
A. 18B. 0.3C. 0.35D. 0.36
5.如图，MC是∠AMB的角平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD=3，则点P到射线MB的距离是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 不能确定
6.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是( )
A. α=βB. α<β
C. α>βD. 无法比较α与β的大小
7.如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，∠A=α(0∘<α<180∘)，点E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形EFGH的形状的变化依次为( )
A. 平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
8.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=a2x+a经过点(1,2)，则该函数的图象为( )
A. B.
C. D.
9.弹簧秤中弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应关系如图所示，则这个弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为( )
A. 12cm
B. 11cm
C. 10cm
D. 9cm
10.第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE.若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，且有AF⋅BF=EF2，则n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.请你写出一个正比例函数表达式______.
12.将一次函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与y轴的交点坐标为______.
13.孔明同学用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，点A、B对应的刻度分别为0，9，点D、E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为______cm.
14.如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=100，则BC=______.
15.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为______.
16.一个六边形共有______条对角线．
17.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12，则阴影部分△ACF的面积是______.
18.矩形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N是边AD的中点，且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，DM的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系Oxy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−4,5)，C(−5,2).
(1)请画出将△ABC向右平移7个单位得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标______；
(2)请画出与△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标______.
20.(本小题6分)
如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE=CF，求证：AD平分∠BAC.
21.(本小题6分)
新学期开学时，某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格(说明：成绩大于或等于60分为合格)，学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图表：
部分学生测试成绩统计表
请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)表中a=______，b=______，c=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)根据该频数分布直方图，你获得哪些信息？
22.(本小题8分)
某玩具厂每天生产A、B两种玩具共60件，成本和售价如下表：
设每天生产A种玩具x件，每天获得的总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该玩具厂每天最多投入的成本为2000元，那么每天生产多少件A种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润.
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=8，AD=12，∠ABC=60∘，求线段DP的长.
24.(本小题10分)
某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y=|x−2|的图象和性质进行了研究.探究过程如下，请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数.下表是y与x的几组对应值：
其中，m=______；
(2)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______；
当x<2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而______；
(4)进一步探究，若关于x的方程|x−2|=kx(k≠0)只有一个解，则k的取值范围是______.
25.(本小题10分)
综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动.
操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
(1)当点M在EF上时，∠MBC的度数是______.
(2)如图2，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，延长PM交CD于点Q，连接BQ.
①求证：PQ=AP+CQ；
②若正方形纸片ABCD的边长为8cm，CQ=1cm，求AP的长.
26.(本小题12分)
如图，一次函数y1=−3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2=mx−6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E(2,−3).
(1)求y1，y2的解析式；
(2)若直线y2=mx−6上存在一点P，使S△ACP=4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
(3)若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵点P的横坐标为3>0，纵坐标为2>0，
∴点P在第一象限，
故选：A.
根据第一象限点的横坐标、纵坐标都为正数，即可解答．
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是明确第一象限点的横坐标、纵坐标都为正数．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：A中22+22=8≠32，不能构成直角三角形，故不符合要求；
B中22+32=13≠16=42，不能构成直角三角形，故不符合要求；
C中32+42=25=52，能构成直角三角形，故符合要求；
D中62+122=180≠169=132，不能构成直角三角形，故不符合要求；
故选：C.
根据勾股定理逆定理进行判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于正确的运算．
4.【答案】D
【解析】解：成绩在80.5∼90.5分之间的频率为1850=0.36.
故选：D.
根据频率、频数的关系：频率=频数数据总和求解即可．
本题主要考查频数(率)分布直方图，解答本题的关键要明确频率、频数的关系：频率=频数数据总和.
5.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PN⊥MB于点N，
又∵MC是∠AMB的角平分线，PD⊥MA，PD=3，
∴PD=PN=3，
即点P到射线MB的距离是3，
故选：C.
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可．
此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵任意多边形的外角和为360∘，
∴α=β=360∘.
故选：A.
利用多边形的外角和都等于360∘，即可得出结论．
本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360∘解答是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接AC、BD、EG、FH，
∵点E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD，EH=12BD，FG//BD，FG=12BD，EF//AC，EF=12AC，HG//AC，HG=12AC，
∴EH//FG，EH=FG=12BD，
∴EF=HG=12AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当a=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，AC=BD，
∴EH=FG=12BD=EF=HG=12AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∵FH=AB，EG=AD，AB≠AD，
∴FH≠EG，
∴平行四边形EFGH不可能是矩形或正方形，
故选：A.
根据三角形中位线，得到\(EHI\FG\)，\(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\)，\(EF=HG=\dfrac{1}{2}AC\)，进而得到四边形EFGH是平行四边形，当\(a=90°\)时，平行四边形ABCD是矩形，\(AC=BD\)，进而得到\(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD=EF=HG=\dfrac{1}{2}AC\)，此时平行四边形EFGH是菱形，由\(FH=AB\)，\(EG=AD\)，\(AB≠AD\)，得到\(FH≠EG\)，平行四边形EFGH不可能是矩形或正方形，即可求解，
本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理．
8.【答案】A
【解析】解：y=a2x+a，经过(1,2)，
∴把(1,2)代入y=a2x+a，
+a=32a，
∴a=43，
∴y=23x+43，
∴图象过P(1,2)且与y轴交于正半轴．
故选：A.
把(1,2)代入y=a2x+a，求出a的值，根据图象解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应函数关系式为：y=kx+b(k≠0)，
∵该函数经过点(5,12.5)和(20,20)，
∴12.5=5k+b20=20k+b，
解得：k=12b=10，
即弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应函数关系式为：y=12x+10，
当x=0时，y=10，即这个弹簧称不挂物体时弹簧的长度为10cm，
故选：C.
根据题意和函数图像中的数据，可以求得弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应函数关系式，然后将x=0代入所求函数关系式即可求解．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的对应函数关系式．
10.【答案】B
【解析】解：设BF=a，AF=b，
依题意得：EF=b−a，
则EF2=(b−a)2，
∵AF⋅BF=EF2，
∴(b−a)2=ab，
∴a2+b2=3ab，
即S正方形EFGH=(b−a)2=ab，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2=a2+b2=3ab，
∴S正方形ABCD=AB2=3ab，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD=1：3，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，
∴n=3.
故选：B.
设BF=a，AF=b，则EF=b−a，根据AF⋅BF=EF2得(b−a)2=ab，则a2+b2=3ab，进而得S正方形EFGH=(b−a)2=ab，由勾股定理得：AB2=a2+b2=3ab，则S正方形ABCD=AB2=3ab，进而得S正方形EFGH：S正方形ABCD=1：3，然后正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n即可得出n的值．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，完全平方公式的应用，理解正方形的性质，熟练掌握勾股定理，完全平方公式的应用是解决问题的关键．
11.【答案】y=2x
【解析】解：y=2x是正比例函数，
故答案为：y=2x.
根据正比例函数的定义可以写出一个符合要求的函数解析式．
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，本题是一道开放性的题目，只要符合题意即可．
12.【答案】(0,−1)
【解析】解：∵一次函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，所得新的一次函数的解析式为y=2x−1，
∴当x=0时，y=−1，
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,−1).
故答案为：(0,−1).
根据函数图象平移的法则得出函数的解析式，再令x=0求出y的值即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
13.【答案】4.5
【解析】解：∵点A、B对应的刻度分别为0，9，
∴AB=9cm，
∵点D、E分别为边AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=4.5cm，
故答案为：4.5.
根据题意求出AB，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF=100，
∴AM2=100，
∵AM>0，
∴AM=10，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴BC=2AM=20，
故答案为：20.
先根据正方形的面积求出AM=10，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC=20.
本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
15.【答案】120∘
【解析】解：如图：
∵ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=EF，∠BAF=16(6−2)×180∘=120∘
∴∠ABF=∠AFB=189∘−120∘2=30∘，
同理∠EAF=30∘，
∴∠1=180∘−30∘−30∘=120∘.
故答案为：120∘.
根据多边形的内角和公式求出∠BAF的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠EAF和∠ABF的值即可得出∠1.
本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】9
【解析】解：六边形的对角线的条数n=6×(6−3)2=9.
故答案为：9.
直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：n(n−3)2(n≥3,且n为整数).
17.【答案】18
【解析】解：∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，AB=12，
∴AC=12AB=12×12=6，
∵∠ACB=∠AED=90∘，
∴CF//DE，
∴∠AFC=∠D=45∘，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF=AC=6，
∴阴影部分△ACF的面积是12×6×6=18，
故答案为：18.
先根据直角三角形中30∘的角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再根据同位角相等，两直线平行得出CF//DE，再根据两直线平行，同位角相等得出∠AFC=∠D=45∘，于是得到△ACF是等腰直角三角形，即可求解．
本题考查了平行线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30∘角的直角三角形，三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18.【答案】 52或2 55
【解析】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND=90∘时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∴MN//AB，
∵点N是边AD的中点，
∴M为对角线BD的中点，AN=DN，
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2，
∴DB= AB2+AD2= 12+22= 5，
∴DM=12DB= 52；
如图2，当∠NMD=90∘时，
则MN⊥BD，
∵点N是边AD的中点，
∴AN=DN=AB=1，
∵∠A=90∘，AB=AN=1，
∴BN= 2AB= 2，
∵AD=2AN=2，
∴DB= AB2+AD2= 12+22= 5，
设DM=x，
则BM=BD−DM= 5−x，
∵BN2−BM2=DN2−DM2，
∴ 22−( 5−x)2=12−x2，
∴x=2 55，
综上所述，DM的长为 52或2 55.
故答案为： 52或2 55.
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND=90∘时，根据点N是边AD的中点，得M为对角线BD的中点，如图2，当∠NMD=90∘时，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
19.【答案】(3,5)(−4,−5)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，B1的坐标为(3,5).
故答案为：(3,5).
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，B2的坐标为(−4,−5).
故答案为：(−4,−5).
(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED=∠CFD=90∘.
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDFBE=CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC.
【解析】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF=DE，由此可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为36÷0.4=90，
∴a=9÷90=0.1、b=27÷90=0.3、c=90×0.2=18，
故答案为：0.1、0.3、18；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)由频数分布直方图可知，70≤x<80的人数最多．
(1)先由70≤x<80分数段的频数及其频率求得总人数，再根据“频率=频数÷总数”可分别求得a、b、c的值；
(2)根据以上所求结果即可补全直方图；
(3)根据频数即可得．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据．
22.【答案】解：(1)根据题意得：y=(60−40)x+(45−30)(60−x)=5x+900；
∴y与x之间的函数关系式为y=5x+900；
(2)∵玩具厂每天最多投入的成本为2000元，
∴40x+30(60−x)≤2000，
解得x≤20，
在y=5x+900中，y随x增大而增大，
∴当x=20时，y取最大值5×20+900=1000，
∴每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润是1000元．
【解析】(1)根据表格可得：y=(60−40)x+(45−30)(60−x)=5x+900；
(2)根据玩具厂每天最多投入的成本为2000元，得40x+30(60−x)≤2000，x≤20，再由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
同理：AB=AF.
∴AF=BE.
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)解：∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC=60∘，
∴∠ABF=30∘，∠BAP=∠FAP=60∘，△ABE为等边三角形，
∴AB=AE=8，
∵AB=8，
∴AP=4，
过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM=2 3，AM=2，
∵AD=12，
∴DM=10，
∴PD= PM2+DM2= (2 3)2+102=4 7.
【解析】(1)根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；
(2)由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF=30∘，∠BAP=∠FAP=60∘从而得出AB=AE=8，AP=4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM=2 3，AM=2，从而得到DM=10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果．
本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30∘角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
24.【答案】3(2,0)增大 x≤0.5或x≥3.5
【解析】解：(1)当x=−1时，y=|x−2|=3，
∴m=3，
故答案为：3；
(2)画出该函数图象的另一部分如图；
(3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是(2,0)；当x<2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大；
故答案为：(2,0)，增大；
(4)观察图象，
若关于x的方程|x−2|=kx(k≠0)只有一个解，则k的取值范围是k<−1或k≥1；
故答案为：k<−1或k≥1.
(1)根据函数y=|x−2|，计算出当x=−1对应的函数值，从而可以求得m的值；
(2)根据(1)中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
(3)根据函数图象即可求得；
(4)观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围；
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题．
25.【答案】30∘
【解析】(1)解：根据题意可知，连接AM，如图所示，
∵AE=BE，∠AEM=∠BEM=90∘，EM=EM，
∴△MEA≌△MEB(SAS)，
∴MA=MB，
∵AB=BM，
∴MA=MB=AB，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60∘，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，
∴∠MBC=90∘−∠ABM=90∘−60∘=30∘，
故答案为：30∘.
(2)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠C=90∘，
由折叠可得AB=BM，∠BAD=∠BMP=90∘，AP=PM，
∴BM=BC，∠BMQ=∠C=90∘，
又∵BQ=BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，
∴MQ=CQ，
∴PQ=PM+MQ=AP+CQ；
②解：由①可知MQ=CQ=1，四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴AD=DC=8，∠ADC=90∘，DQ=DC−CQ=8−1=7，
设AP=x，则PD=8−x，
又∵AP=PM，
∴PQ=PM+MQ=x+1，
∵PQ2=PD2+DQ2，
∴(x+1)2=(8−x)2+72，
解得x=569，
∴AP的长为569cm.
(1)连接AM，先证明△MEA≌△MEB，得到MA=MB=AB，推出∠ABM=60∘，结合∠ABC=90∘，即可得到答案；
(2)①由正方形的性质和折叠的性质得AP=PM，BM=BC，∠BMQ=∠C=90∘，可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，从而推出MQ=CQ，最后由PQ=PM+MQ，即可得证；
②由正方形的性质和折叠的性质，设AP=x，则PD=8−x，PQ=x+1，DQ=7，然后利用勾股定理PQ2=PD2+DQ2，即可得到AP的长．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将E(2,−3)代入y1=−3x+b，得−3=−3×2+b，
解得b=3.
将E(2,−3)代入y2=mx−6，得−3=2m−6，
解得m=32.
∴y1，y2的解析式分别为y1=−3x+3，y2=32x−6；
(2)对于y1=−3x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1，
∴点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(1,0)，
对于y2=32x−6，当x=0时，y=−6；当y=0时，x=4，
∴点C的坐标为(0,−6)，点D的坐标为(4,0)，
∴BD=3，AC=9，
∴S△BDE=12BD×|yE|=92，
设点P的坐标为(n,32n−6)，
则S△ACP=12AC×|xp|=92×|n|，
∵S△ACP=4S△BDE，
∴92×|n|=4×92，
解得n=4或n=−4，
∴符合条件的点P的坐标为(4,0)或(−4,−12)；
(3)存在，点M的坐标为(2,6)或(−2,0)或(6,−6).
如图，由(1)(2)可知A(0,3)，D(4,0)，E(2,−3)，
设点M的坐标为(m,n).
①当AD为对角线时，0+42=2+m2，3+02=−3+n2，
解得m=2，n=6.
∴点M的坐标为(2,6)；
②当AE为对角线时，0+22=4+m2，3−32=0+n2，
解得m=−2，n=0.
∴点M的坐标为(−2,0)；
③当ED为对角线时，2+42=0+m2，−3+02=3+n2，
解得m=6，n=−6.
∴点M的坐标为(6,−6).
综上所述，当点M的坐标为(2,6)或(−2,0)或(6,−6)时，以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)首先求出点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,−6)，点D的坐标为(4,0)，得到BD=3，AC=9，然后根据S△ACP=4S△BDE列方程求解即可；
(3)首先得到A(0,3)，D(4,0)，E(2,−3)，然后分3种情况讨论：①当AD为对角线时；②当AE为对角线时；③当ED为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；(3)利用平行四边形的性质求解．分数段
频数
频率
60≤x<70
9
a
70≤x<80
36
0.4
80≤x<90
27
b
90≤x≤100
c
0.2
成本/(元/件)
售价/(元/件)
A种玩具
40
60
B种玩具
30
45
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
m
2
1
0
1
2
3
…