河北省邢台市四校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省邢台市四校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列直线方程是两点式方程的是( )
A.B.
C.D.
2．在棱长为2的正方体中,以某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系,则点A,的坐标可能为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．点到直线的距离为( )
A.B.C.D.
4．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．已知圆与圆相交,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．一条光线从点射出,与x轴相交于点,则反射光线所在直线在y轴上的截距为( )
A.B.C.D.
7．某学校塑胶跑道的宽为2米,以跑道最左侧内轮廓半圆弧的中点为坐标原点O,建立如图所示的直角坐标系,跑道内轮廊上半部分图象对应的函数解析式为,跑道由两个半圆环和两个矩形组成,现需要重新翻新塑胶跑道,每平方米的价格为100元,则翻新跑道共需要投入的资金为( )
A.万元B.万元
C.万元D.万元
8．在四棱锥中,底面ABCD为菱形,底面ABCD,,,E为棱PB的中点,F为线段CE的中点,则点F到平面PAD的距离为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．若直线l的斜率为,则直线l的倾斜角可能为( )
A.B.C.D.
10．在空间直角坐标系Oxyz中,若,,,D四点可以构成一个平行四边形,则D的坐标可以为( )
A.B.C.D.
11．在正四面体ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,,则( )
A.B.
C.D.异面直线MN与BD所成的角为
12．一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心､半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西25km处,为确保轮船没有触礁危险,则该轮船的行驶路线可以是( )
A.南偏西方向B.南偏西方向C.北偏西方向D.北偏西方向
三、填空题
13．若直线与直线垂直,则__________.
14．在空间直角坐标系Oxyz中,,则点B到直线AC的距离为__________.
15．写出一个既与y轴相切又与直线相切的圆的标准方程:__________.
16．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为的正四棱柱构成,在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系,则点的坐标为__________.
四、解答题
17．已知点,.
（1）求圆心为点M,且过点N的圆的标准方程;
（2）求过点M且与直线平行的直线方程（结果用一般式方程表示）.
18．在如图所示的斜三棱柱中,.
（1）设,,,用,,表示,;
（2）若,,求的长.
19．在中,点B的坐标为,点C的坐标为,BC边上的中线所在直线的方程为,直线AC的倾斜角为.
（1）求点A的坐标;
（2）过点A的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于M,N两点,求（O为坐标原点）面积的最小值.
20．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,.
（1）证明:平面平面PBC.
（2）若,求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
21．已知圆.
（1）证明:圆C过定点.
（2）当时,求直线被圆C截得的弦长.
（3）当时,若直线与圆C交于M,N两点,且,其中O为坐标原点,求k的取值范围.
22．如图,A,B,C为圆柱底面圆周上三个不同的点,,,分别为半圆柱的三条母线,且C是的中点,O,E分别为AB,的中点.
（1）证明:平面ACE.
（2）若,F是上的动点（含弧的端点）,求OF与平面ACE所成角的正弦值的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：是斜截式方程,是点斜式方程,是截距式方程,是两点式方程.
2．答案：C
解析：在棱长为2的正方体中,,故选C.
3．答案：A
解析：点到直线的距离为.
4．答案：B
解析：因为,,,所以,,共面,,,共面,,,,共面.
不存在实数x,y,使得,所以,,不共面.
5．答案：D
解析：圆M的圆心为,半径为,圆N的圆心为,半径为.依题意可得,即,解得.
6．答案：C
解析：关于x轴的对称点为,则反射光线所在直线为.因为,所以反射光线所在直线的方程为.令,得反射光线所在直线在y轴上的截距为.
7．答案：B
解析：当时,由,得,则曲线表示半径为36的四分之一个圆;
当时,由,得,则曲线表示半径为36的四分之一个圆.
所以塑胶跑道的面积,则翻新跑道共需要投入的资金为万元.
8．答案：C
解析：设AC与BD交于点O,连接DF.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,.设平面PAD的法向量为,则令,得.因为点F的坐标为,所以,故点F到平面PAD的距离为.
9．答案：ACD
解析：因为,所以直线l的倾斜角.
10．答案：ABC
解析：,,.设D的坐标为.
若四边形ABDC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.若四边形ABCD为平行四边形,则,则,,此时D的坐标为.
若四边形ADBC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.
11．答案：BC
解析：
,A错误,B正确.
在正四面体ABCD中,可证,则,则,所以,C正确.
取CD的中点为E,连接ME,NE,则,,
且,.因为,所以,所以是以为直角的等腰直角三角形,所以异面直线MN与BD所成的角为,且,D错误.
12．答案：BCD
解析：如图,以小岛的中心为原点O,正东方向为x轴,1km为单位长度,建立如图所示的直角坐标系,
则轮船所在的位置为,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为400.设轮船航线所在直线的方程为,即.由,得或,因为,所以该轮船的行驶路线可以是南偏西方向,北偏西方向,北偏西方向.
13．答案：
解析：因为直线与直线垂直,所以,解得.
14．答案：
解析：取,,则,,
所以点B到直线AC的距离为.
故答案为：.
15．答案：
解析：本题答案不唯一,只要所写方程形如或即可.
16．答案：
解析：其俯视图如图所示,可得点C的坐标为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以所求圆的标准方程为.
（2）设所求直线方程为,
将点M的坐标代入得,解得,
所以所求直线方程为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在三棱柱中,侧面为平行四边形,
所以,
则.
（2）依题意可得,,
则
,
所以的长为.
19．答案：（1）
（2）2
解析：（1）因为直线AC的倾斜角为,所以直线AC的斜率为.
又点C的坐标为,所以直线AC的方程为,
即.
由与,解得,
因为BC边上的中线经过点A,所以点A的坐标为.
（2）依题意可设直线l的方程为,
则.
因为,,所以,
则,
当且仅当时,等号成立,
所以面积的最小值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为平面ABCD,所以.
在中可求得.
在中,因为,,所以,
所以.
又平面ABCD,所以.
因为,所以平面PBC.
又平面PAC,所以平面平面PBC.
（2）因为,平面ABCD,所以分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.
由（1）知平面PBC,所以为平面PBC的一个法向量.
设平面PAD的法向量为,可得
令,得.
设平面PBC与平面PAD的夹角为,
则.
21．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明:由,
得,
令,得,解得,,
所以圆C过定点,且定点的坐标为.
（2）当时,圆C的标准方程为,则圆C的圆心到直线
的距离,
所以直线被圆C截得的弦长为.
（3）将代入,得.
设,,则,,
恒成立,
所以
,整理得,
所以k的取值范围是.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,分别为半圆柱的三条母线,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,所以.
又因为平面ACE,平面ACE,
所以平面ACE.
（2）记的中点为,点F在平面ABC内的投影记为,连接OC,,BC.
因为C是半圆的中点,所以,.
易知平面ACB,OB,OC,两两相互垂直,且.
以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,.
点在xOy平面内的单位圆上,其坐标不妨记为,,则,.
设平面ACE的法向量为,
则即令,得.
设OF与平面ACE所成的角为,
则,
当且仅当时,OF与平面ACE所成角的正弦值取得最大值,且最大值为.