云南省昭通市2024届高三上学期毕业生诊断性检测数学试卷(含答案)

这是一份云南省昭通市2024届高三上学期毕业生诊断性检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,复数,则( )
A.B.C.D.
3．一个正方体木块的六个面分别标注1,2,3,4,5,6,将它抛掷一次后,已知朝上的点数为奇数.则在此情况下,朝上的点数为5的概率是( )
A.B.C.D.
4．已知直线和圆交于A,B两点,则( )
A.B.C.D.
5．折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”,它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分,若两个圆孤,所在圆的半径分别是12和27,且.若图乙是某圆台的侧面展开图,则该圆台的侧面积是( )
A.B.C.D.
6．函数向左平移个单位得到,若是偶函数,则( )
A.B.C.D.
7．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,,若函数图象上存在点M且图象上存在点N,使得点M和点N关于坐标原点对称,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆,直线l与椭圆C相交于A,B两点,下列结论正确的是( )
A.椭圆的离心率为
B.椭圆的长轴长为2
C.若直线l的方程为,则右焦点到l的距离为
D.若直线l过点,且与y轴平行,则
10．已知是定义在R上的奇函数,是定义在R上的偶函数,若,则( )
A.B.
C.D.
11．数列满足:,,则下列结论中正确的是( )
A.B.是等比数列
C.,D.
12．阅读材料:在空间直角坐标系中,过点且一个法向量为(a,b,c不全为零的平面的方程为.根据阅读材料,解决下面问题:已知平面,,的方程依次为,,,,则( )
A.直线l与平面垂直
B.直线l的一个方向向量为
C.平面垂直于平面
D.直线l与平面所成角的正弦值为
三、填空题
13．在的展开式中,含的项的系数是__________.（用数字作答）
14．应越共中央总书记阮富仲､越南国家主席武文赏邀请,中共中央总书记､中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问,期间,共同探讨了经济､政治等领域的诸多问题,构建了具有战略意义的中越命运共同体,访问受到了越南各层各界的隆重欢迎,引起了全世界的广泛关注.“访､越､南”三个汉字的笔画数,经过适当调整能构成一个等差数列,则此等差数列的公差为__________.
15．函数的最小值是__________.
16．已知O为坐标原点,双曲线的左､右焦点分别是,,离心率为,点是C的右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足为M,,若点满足,则的最小值为__________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）若,求面积的最大值.
18．已知数列满足,,.
（1）证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
（2）记,求数列的前n项和.
19．为研究儿童性别是否与患某种疾病有关,某儿童医院采用简单随机抽样的方法抽取了66名儿童.其中:男童36人中有18人患病,女童30人中有6人患病.
（1）完成列联表,并根据小概率值的独立性检验,分析儿童性别与患病是否有关;
（2）给患病的女童服用某种药物,治愈的概率为,则恰有3名被治愈的概率为,求的最大值和最大值点的值.
附:.
20．如图,在多面体中,四边形是正方形,平面,,,.
（1）求证:;
（2）若,求二面角的正弦值.
21．若抛物线上的点到其焦点的距离是点P到y轴距离的2倍.
（1）求抛物线的标准方程;
（2）已知点,过抛物线C的焦点的直线l交C于M,N两点,当取最小值时,求的面积.
22．已知函数.
（1）讨论的单调区间;
（2）已知在上单调递增,且,求证:.
参考答案
1．答案：C
解析：,所以,故选C.
2．答案：A
解析：,故选A.
3．答案：B
解析：由题意知,向上的点为奇数共有3种可能,分别为.又因为向上的点数为5,所以,故选B.
4．答案：D
解析：由题意知,圆心C的坐标为,所以,圆心到直线l的距离,所以,,故选D.
5．答案：C
解析：设圆台的上底面半径为,下底面半径为,则,,又圆台的母线成为,所以圆台的侧面积,故选C.
6．答案：D
解析：向左平移得到,所以,因为为偶函数,所以,又因为,所以,故选D.
7．答案：B
解析：已知非零向量与满足,
因为和分别表示向量和向量
方向上的单位向量,由,
可得的角平分线与垂直,
所以为等腰三角形,且,
又,
得,
所以,
又,
所以,
所以为等边三角形,
所以向量在向量上的投影向量为
故选:B.
8．答案：A
解析：设,则点N在的图象上,,即,.令,则,令,则,此时递增,令,则,此时递减,最小值为,,故选A.
9．答案：AC
解析：由题意知,,,对于A选项:或;对于B选项:长轴为:;对于选项:的方程为,右焦点到l的距离为;对于选项:方法过且与y轴平行,为通径,.
方法2.过且与y轴平行,的方程为,由,,故选AC.
10．答案：AB
解析：①,
,②
①+②得,,,①-②得,,
,故选AB.
11．答案：AC
解析：由题,令,,,A正确;当时,将与两式相减得,,即,而,
所以C正确,B不正确;因,所以D错误,故选AC.
12．答案：BD
解析：由题意知,设平面的法向量为,平面的法向量为,平面的法向量为.设两平面,的交线l的方向向量为,因为,,所以,对于A选项:因为,所以与不垂直,故与平面不垂直,所以A错误,N选项正确;因为,所以C选项错误;设直线与平面所成角为,,所以D选项正确,故选BD.
13．答案：
解析：因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是.
14．答案：
解析：由题意知“访､越､南”三个汉字的笔画数分别为6,12,9,又因为三个汉字的笔画数调整顺序能构成一个等差数列,故这三个数组成的等差数列可以为6,9,12或12,9,6,因此.
15．答案：9
解析：,当且仅当,即时,有最小值9.
16．答案：1
解析：设半焦距为c,延长交于点N,由于PM是的平分线,,所以是等腰三角形,所以,且M是的中点.根据双曲线的定义可知,即,由于是的中点,所以MO是的中位线,所以.又双曲线的离心率为,所以,,所以双曲线C的方程为,根据题意知,所求的是双曲线右支上一点到直线的距离的最小值的平方.设与直线平行的直线方程为,联立消去y,可得,所以,所以或（舍去）,所以切点到直线的距离为,所以的最小值为1.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由正弦定理得,
又,
.
,,
,
,
或.
,
.
（2）由余弦定理有,
,
,
当且仅当时取等号.
.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,
所以,即
又,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,所以.
（2）由（1）知,所以,
所以
,
故.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）零假设为:性别与患病相互独立,即性别与患病无关将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据的列联表,
根据列联表中的数据,经计算得到.
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即性别与患病无关.
（2）法一:,,
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减,
故在处取得最大值,最大值.
法二:
,
当且仅当时,有最大值.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:法一:因为四边形为正方形,如图1,
连接,所以.
又因为平面,平面,
所以.
又因为,且,平面,
所以平面.
又因为平面,
所以.
法二:因为平面,四边形为正方形,所以.
所以以点为原点,如图建系.
因为,
所以,,,,
即,,
因为,所以.
（2）因为平面,四边形为正方形,
所以
所以以点A为原点,如图2建系.
设平面的法向量为;
设平面的法向量为,二面角的大小
为,
因为,
所以,,,,即.
因为且,
所以.
又因为,所以,
即.
因为;
,
所以.
故,
所以,二面角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
,
抛物线的标准方程为.
（2）设点,,抛物线的焦点坐标为.
当直线l的斜率等于0时,不符合题意;
当直线l的斜率不等于0时,设过抛物线焦点的直线l的方程为:,
由消去x得:,,得,
由韦达定理得,,
因为
,
所以当时,取得最小值为0,此时直线l的方程为.
根据弦长公式有:
点到直线l的距离为;
故面积为.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）的定义域为.
.
①当时,由得,,单调递增,
由得,,单调递减,
在区间上单调递增,在区间上单调递减;
②当时,由得,或,
在区间上单调递减,在区间,上单调递增;
③当时,,在上单调递增;
④当时,由得,或,
由得,,
在区间上单调递减,在区间,上单调递增.
综上,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减
当时,在区间上单调递减,在区间,上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在区间上单调递减,在区间,上单调递增.
（2）证明:由（1）知,当且仅当时,在上单调递增,
即:
.
,
又且在上单调递增,
和均不成立.
故不妨设,
因此要证,即证,
因为在上单调递增,
所以即证,.
又,,
故只需证,
即证.
设,
.
,,,故.
因此在上单调递增,所以.
故,又因为在上单调递增,
.
性别
是否患病
合计
是
否
男
女
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否患病
合计
是
否
男
18
18
36
女
6
24
30
合计
24
42
66