肇庆鼎湖中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份肇庆鼎湖中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.30B.40C.50D.70
2．已知函数,则( )
A.1B.2C.D.
3．的展开式中含的项的系数是( )
A.30B.32C.34D.36
4．甲,乙两类水果的质量（单位:kg）分别服从正态分布,,其相应的分布密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C.水果的质量服从的正态分布的参数
D.甲类水果的平均质量
5．已知函数,求( )
A.0B.C.D.120
6．某旅游景区有如图所示的A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )
A.288B.336C.576D.1680
7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛,要求每位同学参加一项比赛,每项比赛至少一位同学参加,事件“甲参加跳高比赛”,事件“乙参加跳高比赛”,事件“乙参加跳远比赛”,则( )
A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件
C.D.
8．在概率论中,马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界,它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名,由马尔可夫不等式知,若是只取非负值的随机变量,则对,都有.某市去年的人均年收入为10万元,记“从该市任意选取3名市民,则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A,其概率为.则的最大值为( )
A.B.C.D.49
二、多项选择题
9．千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状,走向,速度,厚度,颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表:
附表:
经计算得到,下列对地区A天气的判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为
C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”,有99.9%的把握认为夜晚会下雨
10．甲箱中有2个白球和4个黑球,乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,以,分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以B表示从乙箱中取出的是白球,则下列结论正确的是( )
A.B.C.,互斥D.
11．若,a,b,c,d,e,f均为常数,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量,如下表所示：
若y与x线性相关,且线性回归方程为,则__________.
13．从0,1,2,3,4,5六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数,且3不在百位,共有________种.
14．函数,,若对,,使得成立,则实数a的范围是________.
四、解答题
15．广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位:百万元）和年销售量（单位:百万辆）关系如图所示:
令,数据经过初步处理得:
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x回归分析模型,其中a,b,c,d均为常数.
（1）请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?（不能整除的相关系数保留2位小数）
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6（百万元）时,产品的年销售量是多少?
附:①相关系数,回归直线中公式分别为,,
②参考数据:,,,.
16．某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况,举行了一次“成语测试”比赛.从中随机抽取120名学生,统计结果如下:获奖人数与不获奖人数之比为,其中获奖人数中,女生占,不获奖人数中,女生占.
（1）现从这120名学生中随机抽取1名学生,求恰好是女生的概率;
（2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人,参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人.
①求在2人中有女生入选的条件下,恰好选到1名男生和1名女生的概率;
②记X为入选的2人中的女生人数,求随机变量X的分布列及数学期望.
17．某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主,统计得到以下列联表,经过计算可得.
（1）完成表格并求出n值,并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人,再从抽取的12人中抽取4人,设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为X,求X的分布列及数学期望.
附：,其中.
18．为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元?
（2）现要从这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电,现从全市中依次抽取10户,记取到第一阶梯电量的户数为Y,当时对应的概率为,求取得最大值时k的值.
19．已知.
（1）讨论函数的单调性.
（2）设,若在时恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析:由排列数与组合数的计算公式,可得.
故选:D.
2．答案：C
解析:因为,
所以,
所以,解得
故选:C.
3．答案：C
解析:因为,
且展开式的通项为,,
所以展开式中含的项的系数为.
故选:C.
4．答案：D
解析:由图象可知甲类水果的平均质量为kg,D正确,
乙类水果的平均质量为kg,
故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小,A错误;
由于甲曲线比乙曲线更“高瘦”,故
故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右,B,C错误;
故选:D
5．答案：B
解析:令,则,两边求导得到,令,得到.
故选:B.
6．答案：B
解析：第一步：只停白车，第一行选一个位置，有4种选法，则第二行有三个位置可选，由于两辆白车是不相同的，故白车的停法有（种），
第二步，再停黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，由于两辆黑车是不相同的，故黑车的停法有（种）.
根据分步乘法计数原理，共有（种）停车方法，故选B.
7．答案：C
解析：对于A,每项比赛至少一位同学参加,则有不同的安排方法,
事件“甲参加跳高比赛”,若跳高比赛安排2人,则有种方法;
若跳高比赛安排1人,则有种方法,所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种,则,同理,
若安排甲、乙同时参加跳高比赛,则跳高比赛安排2人为甲和乙,跳远、投铅球比赛各安排1人,有种不同的安排方法,所以,
因为,事件A与B不相互独立故A错误;
对于B,在一次试验中,不可能同时发生的两个事件称为互斥事件,事件A与C可以同时发生,故事件A与C不是互斥事件,故B错误;
对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种,所以,所以,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选：C.
8．答案：B
解析:记该市去年人均收入为X万元,从该市任意选取3名市民,年收入超过100万元的人数为Y.
设从该市任选1名市民,年收入超过100万元的概率为p,
则根据马尔可夫不等式可得,
,
因为,
所以,
令,则,
,,,即,
在上单调递增.
,即.
故选:B
9．答案：ABC
解析:用频率估计概率可得,夜晩下雨的概率约为,所以A正确;
未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为,所以B正确;
由,可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”
与“当晚是否下雨”有关,所以C正确,D错误.
故选:ABC.
10．答案：BCD
解析:由题意,,所以,A不正确;
从甲箱中取出一个白球放入乙箱,则乙箱有5个白球和2个黑球,所以,B正确;
由互斥事件的概念可知,,互斥,C正确;
,D正确.
故选:BCD
11．答案：ABD
解析:
,
令,可得,,故A正确;
由于的展开式的通项公式为,
令,得项的系数为,即,,
令,得项的系数为,即,,
令,得项的系数为,即,,
令,得项的系数为,即,,
令,得x项的系数为,即,,
即解得,,,,,
,,
故B正确;C错误;D正确.
故选:ABD.
12．答案：0.28
解析：
所以,
故答案为:0.28.
13．答案：252
解析:第一种情况,5个数字没有3时,
0在个位有种方法,
0不在个位有种方法,
共种方法,
第二种情况,有3无0,有种方法,
第三种情况,有3无2,
个位排0,有种方法,
个位不排0,3排首位有种方法,
个位不排0,3不排首位,有种方法,
共有种方法,
第四种情况,有3无4,这种情况和有3无2一样,所以也有32种方法,
第五种情况,有3无1,
个位排0,有种方法,
个位不排0,3排首位有种方法,
个位不排0,3不排首位,有种方法,
所以共有种方法,
第六种情况,有3无5,和有3无1的情况一样,所以也是46种情况,
综上可知,共有种方法.
故答案为:252
14．答案：
解析:,得,
所以当时,,在单调递增,的最小值为,
,在区间单调递增,的最小值为,
由题意可知,,即,则.
故答案为:
15．答案：（1）模型②的拟合程度更好
（2）,13（百万辆）
解析:（1）设模型①和②的相关系数分别为,.
由题意可得:,
（说明:若化简成,再比较与的大小亦可）
令,则,
则,
所以,由相关系数的相关性质可得,模型②的拟合程度更好;
（2）由条件得:,
又由,,得,
所以,即回归方程为,
当时,,
因此当年广告费为6（百万元）时,产品的销售量大概是13（百万辆）.
16．答案：（1）
（2）①;
②分布列见解析;期望为
解析:（1）记事件,分别为抽取的1名学生获奖与不获奖,事件B为抽取的1名学生是女生,
则,且,互斥,,
由题意可知,,,
且,,
由全概率公式可知,
即从120名学生中随机抽取1名学生,恰好是女生的概率为;
（2）由题意得120名学生的获奖情况如表所示.
①根据分层随机抽样方法得,选取的8人中,男生有（人）,女生有（人）,
记事件C为“选出的2人中有女生”,共有（种）不同的选法,
事件D为“选出的2人为1名男生,1名女生”,共有（种）不同的选法,
则,
②根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,
则,,
,
所以X的分布列为:
则.
17．答案：(1)有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关
(2)1
解析：（1）补充表格数据如下：
根据数表可得,又,得；
由题意,,
故有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
（2）抽取喜欢新能源汽车有：9人抽取不喜欢新能源汽车有：3人
由题X的可能值为：0,1,2,3
,
,
所以X的分布列为：
X的数学期望.
所以X的数学期望1.
18．答案：（1）259元
（2）分布列见解析,期望为65
（3）4
解析:（1）（元）.
（2）设取到第二阶梯电量的户数为,可知第二阶梯电量的用户有4户,
则可取0,1,2,3,4
,
,,
故X的分布列为
.
（3）据题意,从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有Y户,则Y服从二项分布,
可知,
（注:两个不等式写出一个即可.）
解得,,.
当时用电量为第一阶梯的可能性最大.
19．答案：（1）见解析;
（2）见解析
解析:（1）由于,,
当时,,在上单调递减;
当时,由得,由得,所以在上单调递减,上单调递增.
（2）令,显然时.
当时,.
所以在上单调递增.
又因为,所以时,;时,.
综上,时,;时,.
要使在上恒成立,只需在上恒成立即可.
又.
令,则.
由知在上单调递减;
由知在上单调递增.
所以,则.
夜晚天气
“日落云里走”
下雨
未下雨
出现的天数
25
5
未出现的天数
25
45
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
喜欢
不喜欢
总计
男性
女性
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围（度）
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
214
215
220
225
420
430
获奖
不获奖
男生
60
20
女生
20
20
X
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