2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A．12 B．23
C．32 D．2
2．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋9π4(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋5π4(k∈Z)
3．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为( )
A．1cs1 B．2sin1
C．2 D．5
4．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
5．在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点sin2π3，cs2π3，则sin α＝( )
A．32 B．－12
C．－32 D．12
6．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为( )
A．π≈n2sin 360°n
B．π≈n sin 180°n
C．π≈n21−cs360°n
D．π≈n21−cs180°n
二、多项选择题
7．已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝－217
B．α为钝角
C．cs α＝－277
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
8．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是( )
A．若∠AOB＝α，则ACB＝α
B．若y1＝sin x0，则x1＝x0
C．若y1＝sin x0，则ACB＝x0
D．若ACB＝x0，则y1＝sin x0
三、填空题
9．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cs α＋4tan α＝________.
10．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________．
四、解答题
11．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－12，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈0，π2，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
12．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，求其面积．
13．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0(1)求θ关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
参考答案
1．C [设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3，12αr2=3，
解得r=2，α=32.故选C.]
2．C [对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；
对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；
对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误，故选C.]
3．D [展开过程中： BM＝AB＝φ·R＝2，BO＝1，
MO＝BM2+BO2＝5.故选D.]
4．A [因为π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cs 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cs 3·tan 4＜0．]
5．B [依题意，因为sin 2π3＝32，cs 2π3＝－12，所以终边经过的点为32，−12，所以终边在第四象限，所以sin α＝−12322+−122＝－12.故选B.]
6．A [设圆的半径为r，将内接正n边形分成n个小三角形，由内接正n边形的面积无限接近圆的面积，即可得：πr2≈n·12·r2·sin 360°n，解得π≈n2sin 360°n.故选A.]
7．ACD [角θ的终边经过点(－2，－3)，sin θ＝－217，A正确；
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cs α＝－277，B错误，C正确；
因为tan θ＝32>0，sin α＝217>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．]
8．AD [由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有ACB＝1·α＝α，所以A正确；
由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cs x0，所以B错误；
当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；
反过来，当∠AOB＝x0，即ACB＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确．故选AD.]
9．－4或－2 [设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝|5a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝35，cs α＝－45，tan α＝－34，
∴5sin α＋5cs α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
当a<0时，r＝－5a，sin α＝－35，cs α＝45，tan α＝－34，
∴5sin α＋5cs α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2.
综上可知，5sin α＋5cs α＋4tan α＝－4或－2．]
10．9π4(答案不唯一) π4(答案不唯一) [取α＝π4＋2π，β＝π4，
则α>β，但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β，
∴命题p为假命题， ∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝9π4，β＝π4.]
11．解：(1)由题意知，若点B的横坐标为－12，可得B的坐标为−12，32，∴sin α＝32，
于是α＝2π3＋2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为ββ=2π3+2kπ，k∈Z.
(2)△AOB的高为1×cs α2 ，AB＝2sin α2，
故S△AOB＝12×2sin α2×cs α2＝12sin α，
故弓形AB的面积S＝12·α·12－12sin α＝12(α－sin α)，α∈0，π2.
12．解：由条件可知，弧长AB＝BC＝AC＝2π3，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝2π3π3＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为12×2π3×2＝2π3，中间等边△ABC的面积S＝12×2×3＝3.
所以莱洛三角形的面积是3×2π3－23＝2π－23.
13．解：(1)根据题意，可算得BC＝θx，AD＝10θ.
因为AB＋CD＋BC+AD＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝2x+10x+10(0(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝12θ·(102－x2)＝12×2x+5102−x2x+10＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－x−522＋2254，当x＝52时，ymax＝2254.
综上所述，当x＝52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254