2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成( )
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
2．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )
A．24 B．64
C．22 D．26
3．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为32 m，侧棱长为5 m，则其体积为( )
A．242 m3 B．24 m3
C．722 m3 D．72 m3
4．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9 050 m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为(参考数据：4 2582≈32.6，π≈3.14)( )
A．2 480 m2 B．2 498 m2
C．2 502 m2 D．2 508 m2
5．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15 cm，高为10 cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为( )
A．10 B．15
C．4 D．5
6．长方体的体对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为( )
A．2108 B．227
C．29 D．26
7．在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝13PC，线段PB上的点N满足PN＝23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为( )
A．19 B．29
C．13 D．49
8．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙＝2，则V甲V乙＝( )
A．5 B．22
C．10 D．5104
二、多项选择题
9．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A．V3＝2V2 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则( )
A．该圆台的高为1 cm
B．该圆台轴截面面积为33 cm2
C．该圆台的体积为73π3 cm3
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm
三、填空题
11．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短为50 cm，最长为80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．
12．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
13．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为( )
A．6423 cm3 B．12823 cm3
C．25623 cm3 D．51223 cm3
14．已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为( )
A．π B．6π
C．3π D．36π
15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A．圆锥的母线长为9
B．圆锥的表面积为36π
C．圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°
D．圆锥的体积为122π
16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为163 cm2的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱形冰块的侧面积的最大值为________cm2.
参考答案
1．D [正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立；
正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立；
正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立；
因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，
所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立．
故选D.]
2．B [由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S直观图S原图＝24，
∴该三角形直观图的面积为24×34×22＝64.故选B.]
3．B [如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，则点O为正方形ABCD的中心，
连接OP，则底面边长AB＝32(m)，对角线BD＝2AB＝6(m)，BO＝12BD＝3(m)．
又BP＝5(m)，故高OP＝BP2−BO2＝4(m)．
故该正四棱锥的体积为V＝13×322×4＝24(m3)．]
4．A [由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝192＝9.5(m)，
而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)，
圆台的母线长为l＝1722+31.52＝4 2582≈32.6(m)，则S半球＝12×4×π×9.52＝180.5π(m2)，S圆柱侧＝2π×9.5×14＝266π(m2)，
S圆台侧≈π1+192×32.6＝342.3π(m2)，S圆台底＝π(m2)，
所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2 480(m2)．
故选A.]
5．D [大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，
小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积之和为2πr2，
所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.]
6．B [不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，
则底面的对角线为a2+a2＝2a，
∵长方体的体对角线长为1，表面积为1，
∴4ab+2a2=1， 2a2+b2=1，解得a=26，b=223，
∴长方体体积为a2b＝227.
故选B.]
7．B [如图，因为PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝29，所以VP−AMNVP−ABC＝VA−PMNVA−PBC＝13S△PMN·d13S△PBC·d＝S△PMNS△PBC＝29(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B.]
8．C [设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则S甲S乙＝πr1lπr2l＝r1r2＝2，所以r1＝2r2.
又2πr1l+2πr2l＝2π，
则r1+r2l＝1，
所以r1＝23l，r2＝13l，
所以甲圆锥的高h1＝l2−49 l2＝53l，
乙圆锥的高h2＝l2−19 l2＝223l，
所以V甲V乙＝13πr12ℎ113πr22ℎ2＝49l2×53l19l2×223l＝10.故选C.]
9．CD [设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝13×12×2×2×2＝43，V2＝13×12×2×2×1＝23.连接BD交AC于M，连接EM、FM(图略)，则FM＝3，EM＝6，EF＝3，故S△EMF＝12×3×6＝322，V3＝13S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD.]
10．BCD [如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝CD−AB2＝1(cm)，则BE＝22−12＝3(cm)，则圆台的高为3 cm，A错误；
圆台的轴截面面积为12×(2＋4)×3＝33(cm2)，B正确；
圆台的体积为13×3×(π＋4π＋π·4π)＝73π3(cm3)，C正确；
将圆台的一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2 cm，则OC＝4 cm，∠COD＝4π24＝π2，又OP＝OA＋AD2＝3(cm)，则CP＝42+32＝5(cm)，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm，D正确．故选BCD.]
11．2 600π [将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
12．28 [如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝13×3×(22＋2×4＋42)＝28．]
13．C [依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm，
所以该正方体棱长为42 cm，盲盒内剩余空间的体积为4×13×12×42×42×42＝25623(cm3)．故选C.]
14．B [在△AOB中，AO＝BO＝3，∠AOB＝2π3，由余弦定理得AB＝3+3−2×3×3×−12＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝12×3h＝934，解得h＝332，由勾股定理得母线PA＝322+3322＝3，则该圆锥的高PO＝PA2−OA2＝6，所以该圆锥的体积为13×3π×6＝6π，故选B.]
15．AB [设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，
圆锥的侧面积为πrl＝3πl，
当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的母线长为l＝9，A正确；
圆锥的表面积3π×9＋π×32＝36π，B正确；
圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α rad，
则6π＝9α，解得α＝2π3，即α＝120°，C错误；
圆锥的高h＝l2−r2＝92−32＝62，所以圆锥的体积为V＝13πr2h＝13π×32×62＝182π，D错误．
故选AB.]
16．83π [设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a cm，由该圆锥轴截面的面积为163 cm2，得12a2sin 60°＝163，所以a＝8(cm)，所以该圆锥底面圆半径为4 cm，高为43 cm.
设圆锥中放置的圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，其中0＜x＜4，0＜h＜43.
如图所示，
由CD∥OB可得，CDOB＝ACAO，
即x4＝43−ℎ43，所以h＝3(4－x)．
所以圆柱形冰块的侧面积为S＝2πx·h＝2πx·3(4－x)＝－23π(x－2)2＋83π.
由二次函数的性质可得，当x＝2时，Smax＝83π，即圆柱形冰块的侧面积的最大值为83π cm2．