2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含解析】，共7页。

A. 22 B. −33 C. 3 D. −3
2. 若A−2,3 ,B3,−2 ,C12,m 三点共线，则m= ( )
A. 12 B. −12 C. −2 D. 2
3.已知直线l 的斜率为3 ，在y 轴上的截距为另一条直线x−2y−4=0 的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3x−12 D. y=−3x−2
4. 如果AB>0 且BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0 不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 已知点A1,3 ，B−2,−1 .若直线l:y=kx−2+1 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )
A. k≥12 B. k≤−2 C. k≥12 或k≤−2 D. −2≤k≤12
6. （多选）已知直线xsinα+ycsα+1=0α∈R ，则下列命题正确的是( )
A. 直线的倾斜角是π−α
B. 无论α 如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
7. 已知直线l 经过点P0,1 且一个方向向量为2,1 ，则直线l 的方程为 .
8. 经过点B3,4 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为 .
9. 设直线l 的方程为2x+k−3y−2k+6=0k≠3 ，若直线l 的斜率为−1 ，则k= ；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k= .
10. 已知点M 是直线l:y=3x+3 与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30∘ ，则所得到的直线l' 的方程为 .
[B级 综合运用]
11. 已知A2,3 ,B−1,2 ，若点Px,y 在线段AB 上，则yx−3 的最大值为( )
A. 1 B. 35 C. −12 D. −3
12.已知两条直线l1 ，l2 的斜率分别为k1 ，k2 ，倾斜角分别为α ，β .若α<β ，则下列关系不可能成立的是( )
A. 013.已知点A1,0 ，B2,3 ，C （m ，2m ），若直线AC 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则实数m 的值为 .
14. 过点P4,1 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ，B.当OA+OB 取最小值时，直线l 的方程为 .
2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.已知直线l 与x 轴相交于点1,0 ，且直线l 向上的方向与x 轴负半轴的夹角为120∘ ，则直线l 的斜率是( C )
A. 22 B. −33 C. 3 D. −3
[解析]选C.由题意知，直线l 向上的方向与x 轴正半轴的夹角为60∘ ，则斜率为k=tan 60∘=3 .
2. 若A−2,3 ,B3,−2 ,C12,m 三点共线，则m= ( A )
A. 12 B. −12 C. −2 D. 2
[解析]选A.因为A−2,3 ,B3,−2 ,所以kAB=−1 .因为A ,B ,C 三点共线，所以kAB=kAC=m−312−−2=−1 ,故m=12 .故选A.
3.已知直线l 的斜率为3 ，在y 轴上的截距为另一条直线x−2y−4=0 的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3x−12 D. y=−3x−2
[解析]选A.直线x−2y−4=0 的斜率为12 ,所以直线l 在y 轴上的截距为2.
所以直线l 的方程为y=3x+2 .
4. 如果AB>0 且BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0 不经过( C )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
[解析]选C.由AB>0 且BC<0 ，可得A ,B 同号，B ,C 异号，所以A ,C 也是异号，令x=0 ，得y=−CB>0 ；令y=0 ，得x=−CA>0 ，所以直线Ax+By+C=0 不经过第三象限.
5. 已知点A1,3 ，B−2,−1 .若直线l:y=kx−2+1 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( D )
A. k≥12 B. k≤−2 C. k≥12 或k≤−2 D. −2≤k≤12
[解析]选D.直线l:y=kx−2+1 经过定点P2,1 ，因为kPA=3−11−2=−2 ,kPB=−1−1−2−2=12 ,又直线l 与线段AB 恒相交,所以−2≤k≤12 .
6. （多选）已知直线xsinα+ycsα+1=0α∈R ，则下列命题正确的是( BD )
A. 直线的倾斜角是π−α
B. 无论α 如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
[解析]选BD.根据直线倾斜角的范围为[0,π) ，而π−α∈R ，所以A不正确；当x=y=0 时，xsinα+ycsα+1=1≠0 ，所以直线必不过原点，所以B正确；当α=π2 时，直线斜率不存在，所以C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S=121−sinα⋅1−csα=1sin2α≥1 ,所以D正确.
7. 已知直线l 经过点P0,1 且一个方向向量为2,1 ，则直线l 的方程为y=12x+1 .
[解析]由题意得，直线l 的斜率为12 ，所以直线l 的方程为y−1=12x−0 ，即y=12x+1 .
8. 经过点B3,4 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为x−y+1=0 或x+y−7=0 .
[解析]由题意可知，所求直线的斜率为±1 .
又过点3,4 ，由点斜式得y−4=±x−3 .
即所求直线的方程为x−y+1=0 或x+y−7=0 .
9. 设直线l 的方程为2x+k−3y−2k+6=0k≠3 ，若直线l 的斜率为−1 ，则k= 5；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k= 1.
[解析]因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y=−2k−3x+2 ，由题意得−2k−3=−1 ,解得k=5 .
直线l 的方程可化为xk−3+y2=1 ,由题意得k−3+2=0 ，解得k=1 .
10. 已知点M 是直线l:y=3x+3 与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30∘ ，则所得到的直线l' 的方程为x=−3 或y=33x+3 .
[解析]在y=3x+3 中，令y=0 ，得x=−3 ，即M−3,0 .因为直线l 的斜率为3 ，所以其倾斜角为60∘ .
若直线l 绕点M 逆时针旋转30∘ ，则得到的直线l' 的倾斜角为90∘ ，此时直线l' 的斜率不存在，故其方程为x=−3 ;若直线l 绕点M 顺时针旋转30∘ ，则得到的直线l' 的倾斜角为30∘ ，此时直线l' 的斜率为tan 30∘=33 ，故其方程为y=33x+3 .
[B级 综合运用]
11. 已知A2,3 ,B−1,2 ，若点Px,y 在线段AB 上，则yx−3 的最大值为( C )
A. 1 B. 35 C. −12 D. −3
[解析]选C.设Q3,0 ，则kAQ=3−02−3=−3 ,kBQ=2−0−1−3=−12 ,因为点Px,y 是线段AB 上的任意一点，所以yx−3 的取值范围是[−3,−12] ，故yx−3 的最大值为−12 .故选C.
12.已知两条直线l1 ，l2 的斜率分别为k1 ，k2 ，倾斜角分别为α ，β .若α<β ，则下列关系不可能成立的是( C )
A. 0[解析]选C.若0<α<β<π2 ，因为y=tanθ 在0,π2 上单调递增，则0若π2<α<β<π ，因为y=tanθ 在π2,π 上单调递增，则tanα对于C选项，由k2若0<α<π2<β<π ，则tanα>0 ,tanβ<0 ，即k2<013.已知点A1,0 ，B2,3 ，C （m ，2m ），若直线AC 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则实数m 的值为23−3 .
[解析]设直线AB 的倾斜角为α ，则直线AC 的倾斜角为2α ，又tanα=3−02−1=3 ，0∘≤α<180∘ ，
所以α=60∘ ，2α=120∘ ，所以kAC=2mm−1=tan 120∘=−3 ，解得m=23−3 .
14. 过点P4,1 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ，B.当OA+OB 取最小值时，直线l 的方程为x+2y−6=0 .
[解析]设Aa,0 ,B0,b ,则直线l:xa+yb=1a>0,b>0 ，因为直线l 经过点P4,1 ,所以4a+1b=1 .
OA+OB=a+b=a+b4a+1b=5+ab+4ba≥9 ,
当且仅当a=6 ,b=3 时等号成立，所以当OA+OB 取最小值时，直线l 的方程为x+2y−6=0 .