2025高考数学一轮复习-8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含解析】，共13页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
2. 若直线m与平面α 平行，且直线a⊂α ，则直线m和直线a的位置关系不可能为（ ）.
A. 平行B. 异面C. 相交D. 没有公共点
3. 用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α 内”，正确的是（ ）.
A. A∉m，m⊂αB. A∉m，m∈αC. A⊄m，m⊂αD. A⊄m，m∈α
4. 已知点E,F,G,H分别在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，若EF//GH，则下列说法中正确的是（ ）.
A. 直线EH与FG一定平行B. 直线EH与FG一定相交
C. 直线EH与FG可能异面D. 直线EH与FG一定共面
5. 如图，在三棱锥A−BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）.
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
6. 已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，D,E分别是AB,AC的中点，则（ ）.
A. B1D与A1E相交，且B1D=A1E
B. B1D与A1E相交，且B1D≠A1E
C. B1D与A1E是异面直线，且B1D=A1E
D. B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1E
7. 下列说法正确的是（ ）.
A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点确定一个平面D. 两条相交直线确定一个平面
8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法中正确的是（ ）.
A. 直线AM与C1C是异面直线B. A，M，B，N四点共面
C. 直线BN与MB1是相交直线D. 直线MN与AC是相交直线
综合提升练
9. （多选题）已知A，B是平面α 外的任意两点，则（ ）.
A. 在α 内存在直线与直线AB异面B. 在α 内存在直线与直线AB相交
C. 存在过直线AB的平面与α 垂直D. 在α 内存在直线与直线AB平行
10. （多选题）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点，则（ ）.
A. M，N，B，D1四点共面
B. 异面直线PD1与MN所成角的余弦值为1010
C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D. 三棱锥P−MNB的体积为13
11. 已知在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=2BC，E为PD的中点，平面ABE交PC于点F，则PFFC=__________.
12. 已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=AB=AD=1，∠PAB=∠PAD=∠BAD=60∘ ，E为棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的大小为________
应用情境练
13. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，AB=4，AA1=BC=43，O是A1C的中点，在侧面AA1C1C上以O为圆心，2为半径作圆，P是圆O上一点，则BP的最小值为________
14. （双空题）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在体积为323π 的球O上，则该正方体的棱长为________；若动点P在四边形A1B1C1D1内运动，且满足直线CC1与直线AP所成角的正弦值为13，则OP的最小值为________.
创新拓展练
15. 在Rt△ABC中，∠BCA=π2,AC=1,BC=3,D是AB边上的动点，设BD=x，把△BDC沿DC翻折为△B1DC，如图所示，若存在某个位置，使得异面直线B1C与AD所成的角为π3，则实数x的取值范围是________
16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥ 底面ABCD,PA=AB=1.G为PC的中点，M为△PBD内一动点（不与P,B,D三点重合）.
（1）求直线BC与PD所成的角；
（2）若AM=22，求点M的轨迹所围成图形的面积.
8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【解析版】基础巩固练
1. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与直线A1D所成角的大小为（ A ）.
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
[解析]由于在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，BC1//AD1,A1D⊥AD1,所以直线BC1 与直线A1D 所成角为90∘ ，故选A.
2. 若直线m与平面α 平行，且直线a⊂α ，则直线m和直线a的位置关系不可能为（ C ）.
A. 平行B. 异面C. 相交D. 没有公共点
[解析]直线m 与平面α 平行，且直线a⊂α ，则直线m 和直线a 的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，也不可能相交，因为若直线m 和直线a 相交，则m⊂α 或m 与α 相交，均与已知条件矛盾.故选C.
3. 用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α 内”，正确的是（ A ）.
A. A∉m，m⊂αB. A∉m，m∈αC. A⊄m，m⊂αD. A⊄m，m∈α
[解析]由题意用符号表示“点A 不在直线m 上，直线m 在平面α 内”，即A∉m，m⊂α ，故选A.
4. 已知点E,F,G,H分别在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，若EF//GH，则下列说法中正确的是（ D ）.
A. 直线EH与FG一定平行B. 直线EH与FG一定相交
C. 直线EH与FG可能异面D. 直线EH与FG一定共面
[解析]如图1，由于EF//GH，所以E,F,G,H四点确定一个平面EFGH，所以直线EH 与FG 一定共面，故D 正确，C错误；
如图2，只有当EF//GH 且EF=GH 时，四边形EFGH 为平行四边形，此时EH//GF，故A 错误；
如图3，只有当EF//GH 但EF≠GH 时，四边形EFGH 为梯形，此时EH，GF相交于点O，故B 错误.故选D.
5. 如图，在三棱锥A−BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ B ）.
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
[解析]因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以EF//AC，EF=12AC，HG//AC，HG=12AC，所以EF//HG 且EF=HG，可知四边形EFGH 为平行四边形，故选B.
6. 已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，D,E分别是AB,AC的中点，则（ D ）.
A. B1D与A1E相交，且B1D=A1E
B. B1D与A1E相交，且B1D≠A1E
C. B1D与A1E是异面直线，且B1D=A1E
D. B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1E
[解析]如图，因为A1E∩ 平面AA1B1B=A1，B1D⊂ 平面AA1B1B,A1∉B1D，
所以B1D 与A1E 是异面直线，B1D=BB12+14AB2,A1E=AA12+14AC2.因为AA1=BB1,AB≠AC，所以B1D≠A1E. 故选D.
7. 下列说法正确的是（ D ）.
A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点确定一个平面D. 两条相交直线确定一个平面
[解析]对于A,空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A 错误;对于B，一条直线以及直线外一点可以确定一个平面,故B 错误;对于C，圆心和不与圆心在同一直线上的两个点才可以确定一个平面，故C 错误;对于D，两条相交直线可以确定一个平面，故D 正确.故选D.
8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法中正确的是（ A ）.
A. 直线AM与C1C是异面直线B. A，M，B，N四点共面
C. 直线BN与MB1是相交直线D. 直线MN与AC是相交直线
[解析]因为A∉ 平面CDD1C1，M∈ 平面CDD1C1，C1C⊂ 平面CDD1C1，M∉C1C，所以AM 与C1C 是异面直线，故A 正确；如图，连接AD1,BC1，因为N∉ 平面ABC1D1，B∈ 平面ABC1D1，AM⊂ 平面ABC1D1，B∉AM，所以AM 与BN 是异面直线，故B 错误；因为M∉ 平面BCC1B1，B1∈ 平面BCC1B1，BN⊂ 平面BCC1B1，B1∉BN，所以BN 与MB1 是异面直线，故C 错误；延长DC 与MN 交于点E，因为M∉ 平面ABCD，E∈ 平面ABCD，AC⊂ 平面ABCD，E∉AC，所以ME 与AC 是异面直线，即MN 与AC 是异面直线，故D 错误.故选A.
综合提升练
9. （多选题）已知A，B是平面α 外的任意两点，则（ AC ）.
A. 在α 内存在直线与直线AB异面B. 在α 内存在直线与直线AB相交
C. 存在过直线AB的平面与α 垂直D. 在α 内存在直线与直线AB平行
[解析]由A，B是不在平面α 内的任意两点，得直线AB//α 或直线AB 与平面α 相交.对于A，当直线AB//α 或直线AB 与平面α 相交时，在α 内存在直线与直线AB 异面，故A 正确；对于B，当直线AB//α 时，在α 内不存在直线与直线AB 相交，故B 错误；对于C，当直线AB//α 或直线AB 与平面α 相交时，存在过直线AB 的平面与α 垂直，故C 正确；对于D，当直线AB 与平面α 相交时，在α 内不存在直线与直线AB 平行，故D 错误.故选AC.
10. （多选题）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点，则（ BCD ）.
A. M，N，B，D1四点共面
B. 异面直线PD1与MN所成角的余弦值为1010
C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D. 三棱锥P−MNB的体积为13
[解析]对于A，连接BD1，如图所示，易知MN 与BD1 为异面直线，所以M，N，B，D1不可能四点共面，故A 错误；
对于B，连接CD1，CP，易得MN//CD1，所以∠PD1C 为异面直线PD1 与MN 所成的角或其补角，因为AB=2，所以CD1=22，D1P=5，PC=3，所以cs∠PD1C=222+52−322×22×5=1010，所以异面直线PD1 与MN 所成角的余弦值为1010，故B 正确；
对于C，连接A1B，A1M，易得A1B//MN，A1B≠MN,A1M=BN,所以平面BMN 截正方体所得截面为梯形MNBA1，故C 正确；
对于D，易得D1P//BN，因为D1P⊄ 平面MNB，BN⊂ 平面MNB，所以D1P// 平面MNB，所以V三棱锥P−MNB=V三棱锥D1−MNB=V三棱锥B−MND1=13×12×1×1×2=13，故D 正确.故选BCD.
11. 已知在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=2BC，E为PD的中点，平面ABE交PC于点F，则PFFC=2.
[解析]如图，延长DC，AB交于点G，连接PG，EG交PC 于点F，
∵AD//BC，且AD=2BC，∴B，C分别是AG，DG的中点.
又E 是PD 的中点，∴PC和GE 是△PDG 的中线，
∴ 点F 是△PDG 的重心，所以PFFC=2.
12. 已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=AB=AD=1，∠PAB=∠PAD=∠BAD=60∘ ，E为棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的大小为π4 .
[解析]如图,连接BD,AC交于点O，再连接OE，
因为O,E分别为AC,PC的中点，所以OE//PA，且OE=12PA=12，所以异面直线BE 与PA 所成的角为∠BEO.
因为△ABD 为等边三角形，
所以BD=1⇒OB=12，在△BEO 中，OE2+OB2=BE2,cs∠BEO=EOBE=1222=22,即∠BEO=π4，故异面直线BE 与PA 所成角的大小为π4.
应用情境练
13. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，AB=4，AA1=BC=43，O是A1C的中点，在侧面AA1C1C上以O为圆心，2为半径作圆，P是圆O上一点，则BP的最小值为4.
[解析]如图，取AC 的中点F，过点B 作BE⊥AC，垂足为E，连接OE，OF.
因为三棱柱ABC−A1B1C1 为直三棱柱，所以CC1⊥ 平面ABC.因为BE⊂ 平面ABC，所以CC1⊥BE.因为AC∩CC1=C，AC⊂ 平面ACC1A1,CC1⊂ 平面ACC1A1，所以BE⊥ 平面AA1C1C.因为EP⊂ 平面AA1C1C，所以BE⊥EP，得BP=BE2+EP2，当P∈OE 时，EP最小，此时BP 有最小值，
因为BA⊥BC，AB=4，BC=43，所以AC=AB2+BC2=8，∠EAB=60∘ ，易求得BE=23，AE=2，AF=4，所以EF=2，由OF⊥EF，OF=12AA1=23，得OE=4，所以EPmin=OE−2=2，所以BP 的最小值为12+4=4.
14. （双空题）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在体积为323π 的球O上，则该正方体的棱长为4；若动点P在四边形A1B1C1D1内运动，且满足直线CC1与直线AP所成角的正弦值为13，则OP的最小值为6 .
[解析]如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为a，则球O 的半径为32a，
故球O 的体积V=4π33a23=323π ，解得a=4.因为CC1//AA1，所以直线AA1 与直线AP 所成角的正弦值为13，即A1P42+A1P2=13，解得A1P=2，故点P 的轨迹是以A1 为圆心，2为半径的圆的四分之一（如图所示）,设正方形A1B1C1D1 的中心为O1，连接O1A1，OO1，
则OPmin=OO12+O1Pmin2=22+22−22=6.
创新拓展练
15. 在Rt△ABC中，∠BCA=π2,AC=1,BC=3,D是AB边上的动点，设BD=x，把△BDC沿DC翻折为△B1DC，如图所示，若存在某个位置，使得异面直线B1C与AD所成的角为π3，则实数x的取值范围是(3−32,2).
[解析]在Rt△ABC 中，∠BCA=π2,AC=1,BC=3，则∠ABC=π6，
△BDC 沿DC 翻折为△B1DC，则B1C 是以BCF 为轴截面的圆锥的母线，其中C,D,O共线，CO为圆锥的轴，B1与B,F不重合，如图，过点C 作CE//AD，则B1C 与AD 所成的角等于B1C 与CE 所成的角，设∠BCD=θ ，易知∠ECF=2θ+π6，如图，若存在某个位置，使得异面直线B1C 与AD 所成的角为π3，则2θ+π6>π3，
∴θ>π12，又∠ABC=π6，∴∠BDCsinπ12sin3π4=3−12，
∴x>3−32，又x