2025高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了已知直线l，如图，椭圆x2a2＋y2＝1，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆x24＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
2.直线x－y＋1＝0被椭圆x23＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（ ）
A.322 B.2
C.22 D.32
3.如图，椭圆x2a2＋y2＝1（a＞1）与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为（ ）
A.3 B.23
C.1 D.2
4.已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（ ）
A.23 B.23
C.－23 D.－23
5.在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，则点P的坐标为（ ）
A.（32，－74） B.（－32，74）
C.（0，1） D.（1，0）
6.（多选）已知椭圆的方程为x22＋y24＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AB与OM垂直
B.若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0
C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（13，43）
D.若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝423
7.已知椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF2的面积为 .
8.已知直线l：y＝kx＋1与椭圆x22＋y2＝1交于M，N两点，且｜MN｜＝423，则k＝ .
9.（2024·临泉一模）直线x＋4y＋m＝0交椭圆x216＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝ .
10.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
11.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆x264＋y216＝1中，过点M（43，0）的所有“好弦”的长度之和为（ ）
A.120 B.130
C.240 D.260
12.（多选）设椭圆x29＋y23＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜3）与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A.｜AF｜＋｜BF｜为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝32时，△ABF为直角三角形D.当m＝1时，△ABF的面积为6
13.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程.
14.已知椭圆x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是 ，△F1AB内切圆面积的最大值是 .
15.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：x26＋y23＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2.
参考答案与解析
1.C 联立x24＋y2=1，x＋y－3=0消去y，整理得，5x2－24x＋32＝0，该方程判别式Δ＝（－24）2－4×5×32＝576－640＝－64＜0，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选C.
2.A 由x－y+1=0，x23＋y2=1得交点为（0，1），（－32，－12），则｜AB｜＝322＋1+122＝322.
3.D 由题意知，F1（－c，0），A（a，0），B（0，1），则点P（－c，1a），所以直线BA的斜率kBA＝－1a，直线PO的斜率kPO＝1a－c＝－1ac.由BA∥PO，得kBA＝kPO，所以－1a＝－1ac，则c＝1，所以椭圆的焦距为2c＝2.故选D.
4.C 由题意，F1（－2，0），F2（2，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|−2＋m｜2＝2×｜2＋m｜2，解得m＝－23或m＝－32（舍去），故选C.
5.A 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4，故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近，由x24＋y27=1，y＝32x－4得x＝32，y＝－74，即P（32，－74）.
6.BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－42＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M（13，43），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程x22＋y24＝1联立，得到2x2＋（x＋2）2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－43，所以｜AB｜＝1+12－43－0＝423，所以D项正确.
7.43 解析：由题意知A（0，1），F1（－1，0），F2（1，0），直线AF1的方程为y＝x＋1，联立方程组x22＋y2=1，y＝x+1，解得x=0，y=1或x＝－43，y＝－13，即B（－43，－13），所以S△ABF2＝12×2×（1＋13）＝43.
8.±1 解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝kx+1，x22＋y2=1消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－4k1+2k2，x1x2＝0.由｜MN｜＝423，得（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝329，所以（1＋k2）（x1－x2）2＝329，所以（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝329，即（1＋k2）·－4k1+2k22＝329.化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
9.－2 解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－14x－m4，设A（x1，y1），B（x2，y2），由x1216＋y12=1，x2216＋y22=1，两式相减得，y1－y2x1－x2＝－x1＋x216（y1＋y2）＝－14，由x1＋x2＝2，得y1＋y2＝12，则AB中点的纵坐标为14，将（1，14）代入直线y＝－14x－m4，解得m＝－2.
10.解：（1）由4x2＋y2=1，y＝x＋m消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20（m2－1）≥0，解得－52≤m≤52，
即实数m的取值范围是［－52，52］.
（2）设所截弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）可得x1＋x2＝－2m5，x1x2＝m2－15，
所以弦长｜AB｜＝1+k2（x1＋x2）2－4x1x2＝2×4m225－4m2－45＝225×5－4m2，
因此当m＝0时，弦长最大，此时所求直线的方程为y＝x.
11.C 由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝43，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝43时，最短的弦长为2b2a＝2×168＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4，16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋（5＋6＋7 ＋…＋15）×2＝240.
12.ACD 设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，∴｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，∵｜AF｜＋｜BF｜为定值6，且｜AB｜的取值范围是（0，6），∴△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；设点A在点B的左侧，将y＝32与椭圆方程联立，可解得A－332，32，B332，32，又∵F（6，0），∴AF·BF＝6＋332×6－332＋322＝0.∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－6，1），B（6，1），∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确.故选A、C、D.
13.解：（1）由题意，可得a=2b，c2+4=10，b2＋c2＝a2，解得a=22，b＝2，故椭圆C的方程为x28＋y22＝1.
（2）根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜.
当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－2，｜BN｜＝2，｜AM｜≠｜BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在.
设l的方程为y＝kx＋2，由x28＋y22=1，y＝kx+2得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝0，
则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞14.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－16k1+4k2，x1x2＝81+4k2.
设N（x0，y0），则x0＝x1＋x22＝－8k1+4k2.
由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜，
∴1+k2｜x1－x2｜＝1+k2｜x0－0｜，
则（x1＋x2）2－4x1x2＝｜x0｜，
即42×4k2－11+4k2＝｜－8k1+4k2｜，
整理得k2＝12＞14，故k＝±22，
∴直线l的方程为y＝±22x＋2.
14.42 π4 解析：根据椭圆定义可知△F1AB的周长C＝4a＝42；在△F1AB内，S＝12Cr＝22r，问题转化为求△F1AB面积最大值，设AB：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），则（m2＋2）y2＋2my－1＝0⇒ y1＋y2＝－2mm2+2，y1y2＝－1m2+2，于是S＝12｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝－2mm2+22＋4m2+2＝22m2+1m2+2＝22m2+1＋1m2+1≤ 222m2+1·1m2+1＝2，则22r≤2⇒r≤12⇒πr2≤π4，等号在m＝0时取到.
15.解：（1）椭圆C1：x26＋y23＝1的离心率为e＝ca＝1－b2a2＝22，
设椭圆C2的方程为y2a'2＋x2b'2＝1（a'＞b'＞0），且b'＝6，
因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝1－6a'2＝22，解得a'2＝12，
所以椭圆C2的方程为y212＋x26＝1.
（2）证明：不妨设P（m，n），其中n＞0，则n212＋m26＝1，可得m2＝6－n22，
把x＝m代入椭圆C1：x26＋y23＝1，可得y＝3－m22，所以H（m，3－m22），
所以kA1H＝3－m22m＋6，kPA2＝nm－6，
所以kA1H·kPA2＝3－m22m＋6×nm－6＝n·3－m22m2－6＝－n2·6－m2＝－n2·6－（6－n22）＝－1.
所以A1H⊥PA2.