2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含解析】，共13页。
A. 19 B. 9 C. 13 D. 3
2.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+y2m=1 的离心率是( )
A. 32 或5 B. 5 C. 32 D. 32 或52
3.已知F1 ，F2 分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过F2 且垂直于x 轴的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF1 是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=±2x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±5x
4. （多选）已知双曲线E:x2a2−y24=1a>0 经过点P22,2 ，则( )
A. E 的实轴长为2B. E 的焦距为42
C. E 的离心率为2 D. E 的渐近线方程是y=±12x
5.（多选）已知曲线C 的方程为y2m−x2n=1 ，下列说法正确的是( )
A. 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则m>−n>0
B. 曲线C 可能是圆
C. 若mn0,b>0 的离心率为e ，写出满足条件“直线y=2x 与C 无公共点”的e 的一个值 .
8.若双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆x2+y−22=4 所截得的弦长为23 ，则C 的离心率为 .
9.在①双曲线E 的焦点在x 轴上；②双曲线E 的焦点在y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点A0,6 ，B1,3 .
（1） 求双曲线C 的标准方程；
（2） 若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同， ，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
[B级 综合运用]
10. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图所示，若该金杯主体部分的上口外直径为1033 ，下底座外直径为2393 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A. 22π B. 3π C. 23π D. 4π
11. （多选）在△ABC 中，AB=4 ，M 为AB 的中点，且 CA−CB =CM ，则下列说法中正确的是( )
A. 动点C 的轨迹是双曲线B. 动点C 的纵坐标的最大值为3
C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 面积的最大值为23
12. 已知F1 ,F2 分别为双曲线C:x216−y29=1 的左、右焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ=F1F2 ，则四边形PF1QF2 的面积为 .
13.已知F1 ，F2 分别是双曲线E:x2a2−y23=1a>0 的左、右焦点，过F1 的直线与双曲线E 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若BF2:AB:AF2=5:12:13 ，则△ABF2 的面积为 .
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P 在双曲线的右支上（点P 不在x 轴上），且PF1=5PF2 .
（1） 用a 表示PF1 ，PF2 ；
（2） 若∠F1PF2 是钝角，求双曲线的离心率e 的取值范围.
[C级 素养提升]
15. （多选）双曲线C 的两个焦点为F1 ，F2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F1 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cs∠F1NF2=35 ，则C 的离心率为( )
A. 52 B. 32 C. 132 D. 172
16. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为Fc,0 .
（1） 若双曲线的一条渐近线方程为y=x 且c=2 ，求双曲线的标准方程；
（2） 以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为−3 ,求双曲线的离心率.
2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 若直线y=3x−1 与双曲线C:x2−my2=1 的一条渐近线平行，则实数m 的值为( A )
A. 19 B. 9 C. 13 D. 3
[解析]选A.双曲线C:x2−my2=1 的渐近线方程满足x=±my ，因为一条渐近线与y=3x−1 平行，所以渐近线方程为y=±3x ，故m=19 ，故选A.
2.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+y2m=1 的离心率是( A )
A. 32 或5 B. 5 C. 32 D. 32 或52
[解析]选A.因为m 是2和8的等比中项，所以m=4 或m=−4 .
当m=4 时，方程为x2+y24=1 ，表示椭圆，
所以a=2 ,b=1 ,c=a2−b2=3 ，所以离心率为32 ；
当m=−4 时，方程为x2−y24=1 ，表示双曲线，所以a=1 ,b=2 ,c=a2+b2=5 ，所以离心率为5 ，故选A.
3.已知F1 ，F2 分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过F2 且垂直于x 轴的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△ABF1 是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是( C )
A. y=±2x B. y=±3x C. y=±2x D. y=±5x
[解析]选C.由题意得△AF2F1 为直角三角形，且∠AF1F2=30∘ ,
故可设AF2=2m ，则AF1=4m ,F1F2=2c=23m ,如图所示，
由双曲线的定义得2a=AF1−AF2=4m−2m=2m ,
所以a=m ,c=3m ,所以b=2m ,所以ba=2 ,
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x ，故选C.
4. （多选）已知双曲线E:x2a2−y24=1a>0 经过点P22,2 ，则( BC )
A. E 的实轴长为2B. E 的焦距为42
C. E 的离心率为2 D. E 的渐近线方程是y=±12x
[解析]选BC.由题意得8a2−44=1 ，得a=2 ，
即双曲线E 的方程为x24−y24=1 .
所以双曲线E 的实轴长是4，焦距是42 ，
离心率为222=2 ，渐近线方程是y=±x .
故B，C 正确，A ，D 错误，故选BC.
5.（多选）已知曲线C 的方程为y2m−x2n=1 ，下列说法正确的是( BD )
A. 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则m>−n>0
B. 曲线C 可能是圆
C. 若mnm>0 ，故A错误；
对于B: 当m=−n>0 时，曲线C 表示圆，故B正确；
对于C: 若m=−n=1 ，满足mn0 ，
当m>0，n>0 时，y2m−x2n=1 表示焦点在y 轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±mnx ；
当m0,b>0 的一条渐近线方程为bx+ay=0 ,
圆x2+y−22=4 的圆心为0,2 ,半径为2，
由题意得圆心到直线的距离为22−32=1=2aa2+b2 ，即1=4a2c2 ，c2=4a2 ,可得e2=c2a2=4 ，即e=2 .
9.在①双曲线E 的焦点在x 轴上；②双曲线E 的焦点在y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，且C 经过点A0,6 ，B1,3 .
（1） 求双曲线C 的标准方程；
[答案]解：设双曲线C 的标准方程为mx2+ny2=1 ，
则6n=1，m+9n=1， 解得m=−12，n=16，
所以双曲线C 的标准方程为y26−x22=1 .
（2） 若双曲线E 与双曲线C 的渐近线相同， ，且E 的焦距为4，求双曲线E 的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]双曲线C 的渐近线方程为y=±3x .
选①，设双曲线E 的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，
所以ba=3，2c=4，c2=a2+b2， 解得a=1，b=3.
所以双曲线E 的实轴长为2.
选②，设双曲线E 的标准方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0 ，
所以ab=3，2c=4，c2=a2+b2， 解得a=3 ，b=1 ，
所以双曲线E 的实轴长为23 .
[B级 综合运用]
10. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图所示，若该金杯主体部分的上口外直径为1033 ，下底座外直径为2393 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( C )
A. 22π B. 3π C. 23π D. 4π
[解析]选C.由题意可设M533,2m ,N393,−m ，代入双曲线方程可得253a2−4m2b2=1,133a2−m2b2=1, 即2512a2−m2b2=14,133a2−m2b2=1，
作差可得2712a2=34 ,解得a2=3 ,则a=3 ，所以杯身最细处的周长为23π .故选C.
11. （多选）在△ABC 中，AB=4 ，M 为AB 的中点，且 CA−CB =CM ，则下列说法中正确的是( BD )
A. 动点C 的轨迹是双曲线B. 动点C 的纵坐标的最大值为3
C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 面积的最大值为23
[解析]选BD.因为 CA−CB 不是定值，所以动点C 的轨迹不是双曲线，故A错误.以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
设CM=r ,此时点C 在以M 为圆心，r 为半径的动圆上（除去x 轴上两点）.
由 CA−CB =r 知，点C 在以A ，B 为焦点，a=r2 的双曲线x2a2−y2b2=1 （不包括两顶点）上且a2+b2=AB22=4 .
设点Cx,y ,则x2+y2=r2 ,x2r24−y24−r24=1 ,则y2=364r216−r2 ，当r2=8 时，y2 最大，故00,b>0 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P 在双曲线的右支上（点P 不在x 轴上），且PF1=5PF2 .
（1） 用a 表示PF1 ，PF2 ；
[答案]解：因为点P 在双曲线的右支上，
所以PF1−PF2=2a .
又PF1=5PF2 ，联立解得PF1=52a ,PF2=12a .
（2） 若∠F1PF2 是钝角，求双曲线的离心率e 的取值范围.
[答案]在△PF1F2 中，由余弦定理得cs∠F1PF2=254a2+a24−4c22×52a×12a=132a2−4c252a2=135−85e2 .
因为−1