2025高考数学一轮复习-8.8-抛物线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.8-抛物线-专项训练【含答案】，共3页。试卷主要包含了已知抛物线C，设A，B为曲线C等内容，欢迎下载使用。
(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；
(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，求△OAB的面积．
2．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
3．设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
参考答案
1．解：(1)依题意由y=kx+1，y2=4x，消去x得ky2－4y＋4＝0，
①当k＝0时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当k≠0时，Δ＝(－4)2－4×4k＝0，解得k＝1；
综上，当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C只有一个交点．
(2)抛物线C：y2＝4x，所以焦点F(1，0)，所以直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=x−1，y2=4x，消去x得y2－4y－4＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝y1+y22−4y1y2＝42−4×−4＝42，
所以S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×1×42＝22.
2．解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝y1−4x1−4+y2−4x2−4＝x1+44+x2+44＝x1+x2+84＝0，∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝y2−y1x2−x1＝x22−x124x2−x1＝x1+x24＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝y4−y3x4−x3＝x3+x44＝x02＝12，
∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞14，即b＞94.
由y=−2x+b，x2=4y，得x2＋8x－4b＝0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
∴|BC|＝1+4|x1－x2|
＝5·x1+x22−4x1x2
＝5×64+16b.
又b＞94，∴|BC|＞105.
∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．
3．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝x124，y2＝x224，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝y1−y2x1−x2＝x1+x24＝1.
(2)由y＝x24，得y′＝x2.
设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2m+1.
从而|AB|＝2|x1－x2|＝42m+1.
由题设知|AB|＝2|MN|，即42m+1＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7