2025高考数学一轮复习-17.1-导数与不等式证明-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-17.1-导数与不等式证明-专项训练【含答案】，共4页。试卷主要包含了已知函数f=aln x+x，函数f=ln x-ax+1等内容，欢迎下载使用。
(1)求实数a的值.
(2)求证:当x≥1时,f(x)≤x22+12.
2.已知函数f(x)=ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)当x>-2时,求证:f(x)>ln(x+2).
3.已知函数f(x)=aln x+x.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当a=1时,证明:xf(x)0时,求f(x)的单调区间.
(2)已知a≥12,ex>12x,求证:g(x)ln 2.
5.函数f(x)=ln x-ax+1.
(1)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
(2)证明:lnxx+1(e-x+1)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)没有最小值;若a>0,则由f'(x)0,所以g'(x)≤0(当且仅当x=1时等号成立),所以g(x)在[1,+∞)上单调递减.因此,当x≥1时,有g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤x22+12.
2.(1)解 由f(x)=ex,得f(0)=1,f'(x)=ex,则f'(0)=1,即曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x-0,所以所求切线方程为x-y+1=0.
(2)证明 设g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1(x>-2),则g'(x)=ex-1,当-20,即g(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,于是当x=0时,g(x)min=g(0)=0,因此f(x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号).令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),则h'(x)=1-1x+2=x+1x+2,则当-20,即有h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,于是当x=-1时,h(x)min=h(-1)=0,因此x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时取等号),所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2).
3.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+1=x+ax.当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a0.所以f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当ag(x)max,即1+lnxx