2025高考数学一轮复习-10.6-条件概率与全概率公式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.6-条件概率与全概率公式-专项训练【含解析】，共12页。

A. 事件A 与B 互斥B. 事件A 与B 对立
C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与B 既互斥又相互独立
2. [2023˙山东青岛模拟]甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件A= “甲选择可乐”，事件B= “甲和乙选择的饮品不同”，则PB|A= ( )
A. 14 B. 12 C. 13 D. 23
3. [2023˙广东广州模拟]深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5 ，0.3 ，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2 ，0.8 .当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为( )
A. 0.32 B. 0.68 C. 0.58 D. 0.64
4. （多选）设A ，B 是两个事件，且B 发生A 必定发生.若0A. PA∪B=PB B. PB|A=PBPA
C. PA|B=1 D. PAB=PA
5. [2023˙河北邢台模拟]（多选）随机事件A 与B 相互独立，且B 发生的概率为0.4，A 发生且B 不发生的概率为0.3，则( )
A. 事件A 发生的概率为0.6B. 事件B 发生且A 不发生的概率为0.2
C. 事件A 或B 发生的概率为0.9D. 事件A 与B 同时发生的概率为0.2
6. [2023˙上海财经大学附属高级中学模拟]袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N 次都没有取到黑球的概率是 .
7. [2023˙辽宁鞍山模拟]有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是12 ，丙能解决的概率是13 ，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为 .
8. [2023˙湖南岳阳模拟]某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为13 ，15 ，16 .现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是 .
9. [2023˙山东临沂模拟]已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训练，命中的概率分别是23 ，34 ，45 ，设各次投篮都相互独立.
（1） 若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；
（2） 若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.
[B级 综合运用]
10. 如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. 316 B. 34 C. 1316 D. 14
11. [2023˙广东佛山模拟]（多选）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用x,y 表示一次试验的结果.定义：事件A= “x+y=7 ”,事件B= “xy 为奇数”，事件C= “x>3 ”，则下列结论正确的是( )
A. 事件A 与B 互斥B. 事件A 与B 对立
C. PB|C=13 D. 事件A 与C 相互独立
12. [2023˙河北衡水模拟]有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2，3 台加工的次品率均为5% ，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2 、3 台车床加工的零件数分别占总数的25% ，30% ，45% ，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为 .
13. [2023˙湖北宜昌模拟]某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=110 ,P2=19 ,P3=18 .
（1） 求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
（2） 如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90% 的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.
[C级 素养提升]
14. [2022˙高考全国卷乙]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1 ,p2 ,p3 ，且p3>p2>p1>0 .记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( )
A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
15. 甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p ，在第二轮比赛中答对题的概率都为q ，且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为12 ，乙得5分的概率为16 .
（1） 求p ，q 的值；
（2） 求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
2025高考数学一轮复习-10.6-条件概率与全概率公式-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 若PAB=19 ，PA=23 ，PB=13 ，则事件A 与B 的关系是( C )
A. 事件A 与B 互斥B. 事件A 与B 对立
C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与B 既互斥又相互独立
[解析]选C.因为PA=1−PA=1−23=13 ，
所以PAB=PAPB=19≠0 ，
所以事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，故不对立.故选C.
2. [2023˙山东青岛模拟]甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件A= “甲选择可乐”，事件B= “甲和乙选择的饮品不同”，则PB|A= ( D )
A. 14 B. 12 C. 13 D. 23
[解析]选D.事件A= “甲选择可乐”，则PA=13 ，事件B= “甲和乙选择的饮品不同”，则事件AB= “甲选择可乐，乙选择的是乳制品或者矿泉水”，所以PAB=13×23=29 ，所以PB|A=PABPA=23 .故选D.
3. [2023˙广东广州模拟]深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5 ，0.3 ，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2 ，0.8 .当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为( C )
A. 0.32 B. 0.68 C. 0.58 D. 0.64
[解析]选C.设事件A1 表示“乙球员担当前锋”，事件A2 表示“乙球员担当中锋”，事件A3 表示“乙球员担当后卫”，事件B 表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.
则PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42 ，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1−0.42=0.58 .故选C.
4. （多选）设A ，B 是两个事件，且B 发生A 必定发生.若0A. PA∪B=PB B. PB|A=PBPA
C. PA|B=1 D. PAB=PA
[解析]选BC.因为B 发生A 必定发生，所以PA∪B=PA ，PAB=PB ，故A，D 不正确；PB|A=PABPA=PBPA ，故B正确；PA|B=PABPB=1 ，故C正确.故选BC.
5. [2023˙河北邢台模拟]（多选）随机事件A 与B 相互独立，且B 发生的概率为0.4，A 发生且B 不发生的概率为0.3，则( BD )
A. 事件A 发生的概率为0.6B. 事件B 发生且A 不发生的概率为0.2
C. 事件A 或B 发生的概率为0.9D. 事件A 与B 同时发生的概率为0.2
[解析]选BD.依题意事件A 与B 相互独立，PB=0.4 ,PB=0.6 ，PAB=PA⋅PB=PA⋅0.6=0.3 ，
所以PA=0.5 ，A选项错误；
PA=0.5 ，所以PAB=PA⋅PB=0.5×0.4=0.2 ，B选项正确；
事件A 或B 发生的概率为1−PAB=1−PA⋅PB=1−0.5×0.6=0.7 ，C选项错误；
PAB=PA⋅PB=0.5×0.4=0.2 ，D选项正确.
故选BD.
6. [2023˙上海财经大学附属高级中学模拟]袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N 次都没有取到黑球的概率是1N+1 .
[解析]依题意，取了N 次都没有取到黑球的概率P=12×23×34×…×NN+1=1N+1 .
7. [2023˙辽宁鞍山模拟]有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是12 ，丙能解决的概率是13 ，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为56 .
[解析]设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A ，B ，C ，“在半小时内该难题得到解决”为事件D ，则PA=PB=12 ，PC=13 ，D=A∪B∪C ，D 表示事件“在半小时内没有解决该难题”，D=ABC ，
所以PD=PABC=PAPBPC=12×12×23=16 ，PD=1−PD=56 .
8. [2023˙湖南岳阳模拟]某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为13 ，15 ，16 .现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是730 .
[解析]记事件A1 ，A2 ，A3 表示此人选自甲、乙、丙三个地区，事件B 表示此人被录取，则PA1=PA2=PA3=13 ，PB|A1=13 ，PB|A2=15 ，PB|A3=16 ，
所以PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=13×13+13×15+13×16=730 .
9. [2023˙山东临沂模拟]已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训练，命中的概率分别是23 ，34 ，45 ，设各次投篮都相互独立.
（1） 若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；
[答案]解：设小许“第一次命中”为事件B1 ，“第二次命中”为事件B2 ，“第三次命中”为事件B3 ，
“小许投篮三次，恰有两次命中”为事件E ，
则PE=PB1B2B3+PB1B2B3+PB1B2B3
=14×34×34+34×14×34+34×34×14=2764 .
（2） 若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.
[答案]设“小丽命中”为事件A ，“小许命中”为事件B ，“小静命中”为事件C ，
“三人投篮，至少一人命中”为事件D ，
则“三人投篮，均未命中”为事件D ，
所以PD=1−23×1−34×1−45=160 ，
所以PD=1−PD=1−160=5960 ，
所以三人投篮，至少一人命中的概率为5960 .
[B级 综合运用]
10. 如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为( C )
A. 316 B. 34 C. 1316 D. 14
[解析]选C.灯泡不亮包括四个开关都断开，或开关C ，D 都断开且开关A ，B 中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316 .因为灯泡亮与不亮是对立事件，所以灯亮的概率是1−316=1316 .故选C.
11. [2023˙广东佛山模拟]（多选）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用x,y 表示一次试验的结果.定义：事件A= “x+y=7 ”,事件B= “xy 为奇数”，事件C= “x>3 ”，则下列结论正确的是( AD )
A. 事件A 与B 互斥B. 事件A 与B 对立
C. PB|C=13 D. 事件A 与C 相互独立
[解析]选AD.对于A，因为x+y=7 ，所以x 与y 必是一奇一偶，又当xy 为奇数时，x 与y 都是奇数，所以事件A 和B 不能同时发生，即A 与B 互斥，故A正确；对于B，因为事件A 和B 不能同时发生，但它们可以同时不发生，如x=1 ,y=2 ，即A 与B 不对立，故B不正确；对于C，x,y 的所有可能结果如表所示：
PC=1836=12 ,PBC=336=112 ，所以PB|C=PBCPC=16 ，故C不正确；
对于D，PA=636=16 ，PC=1836=12 ，PAC=336=112 ，则有PAC=PA⋅PC ,A 与C 相互独立，故D正确.综上所述，选AD.
12. [2023˙河北衡水模拟]有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2，3 台加工的次品率均为5% ，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2 、3 台车床加工的零件数分别占总数的25% ，30% ，45% ，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为27 .
[解析]记Ai 为事件“零件为第ii=1,2,3 台车床加工”，B 为事件“任取一个零件为次品”，
则PA1=0.25 ,PA2=0.3 ,PA3=0.45 ,
所以PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 ，
所以PA1|B=PA1PB|A1PB=0.25× .
13. [2023˙湖北宜昌模拟]某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=110 ,P2=19 ,P3=18 .
（1） 求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
[答案]解：因为前三道工序的次品率分别为P1=110 ,P2=19 ,P3=18 ，
所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为
P=1−1−P11−P21−P3=1−910×89×78=310 .
（2） 如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90% 的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.
[答案]设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ，“人工抽检合格”为事件B ，
由已知得PA=910 ，PAB=1−P=1−310=710 ，
所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为PB∣A=PABPA=710×109=79 .
[C级 素养提升]
14. [2022˙高考全国卷乙]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1 ,p2 ,p3 ，且p3>p2>p1>0 .记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( D )
A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
[解析]选D.方法一：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲 ，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙 ，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙 ，由题意可知，P甲=2p1[p21−p3+p31−p2]=2p1p2+2p1p3−4p1p2p3 ,P乙=2p2[p11−p3+p31−p1]=2p1p2+2p2p3−4p1p2p3 ,P丙=2p3[p11−p2+p21−p1]=2p1p3+2p2p3−4p1p2p3 .所以P丙−P甲=2p2p3−p1>0 ,P丙−P乙=2p1p3−p2>0 ，所以P丙 最大，故选D.
方法二（特殊值法）：不妨设p1=0.4 ,p2=0.5 ,p3=0.6 ,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2p1[p21−p3+p31−p2]=0.4 ;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p11−p3+p31−p1]=0.52 ;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙=2p3[p11−p2+p21−p1]=0.6 .所以P丙 最大，故选D.
15. 甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p ，在第二轮比赛中答对题的概率都为q ，且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为12 ，乙得5分的概率为16 .
（1） 求p ，q 的值；
[答案]解：设事件Aii=0,2,3,5 表示“在一次比赛中甲得i 分”，事件Bii=0,2,3,5 表示“在一次比赛中乙得i 分”.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为12 ，乙得5分的概率为16 ，
所以PA2=p1−q=12,PB5=pq=16, 解得p=23,q=14.
（2） 求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
[答案]由已知得
PA0=PB0=1−23×1−14=14 ，
PA2=PB2=12 ，
PA3=PB3=1−23×14=112 ，
PA5=PB5=16 .
设事件C 为“星队在一次比赛中的总得分为5分”，
则C=A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0 ，
则PC=PA0B5+PA2B3+PA3B2+PA5B0
=PA0PB5+PA2PB3+PA3PB2+PA5PB0
=14×16+12×112+112×12+16×14=16 ，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是16 .
类别
1
2
3
4
5
6
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6