2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，1))
B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1,a)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,a)))∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，＋∞))
4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－2，2)B．(－∞，－2)
C．[－2，2]D．(2，＋∞)
5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)，＋∞))，其中m＜0，则 eq \f(b,a)＋ eq \f(4,b)的最小值为( )
A．－4B．4
C．5D．8
二、 多项选择题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，则下列结论正确的是( )
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＞0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1)
7．下列说法正确的是( )
A．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(1，2)
B．不等式－2x2－x＋6≤0的解集为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,2)))
C．若关于x的不等式(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，则a＝－3
D．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则( )
A．x1x2＋x1＋x2＜0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))
B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ eq \f(4,3)
C．不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(a，3a)
D．x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)的最小值为 eq \f(4\r(3),3)
三、 填空题
9．不等式 eq \f(3x＋5,x－1)＞x的解集是_．
10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为___．
11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为__．
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
(1) 求a，b的值；
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；
(2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 解关于x的不等式f(x)＜a－1(a∈R).
2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( A )
A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
【解析】结合图象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).
2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( A )
A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】因为不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，所以Δ＝k2－4≤0，解得－2≤k≤2.
3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为( A )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，1))
B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1,a)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,a)))∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，＋∞))
【解析】原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0，因为a＜0，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))(x－1)≤0，解得 eq \f(2,a)≤x≤1，故该不等式的解集为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，1)).
4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( A )
A．(－2，2)B．(－∞，－2)
C．[－2，2]D．(2，＋∞)
【解析】设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.①当 eq \f(m,2)≤－2，即m≤－4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，则f(x)min＝f(－2)＝2m＋5＞0，解得m＞－ eq \f(5,2)，此时m不存在；②当－4＜m＜4时，f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))＝1－ eq \f(m2,4)＞0，解得－2＜m＜2；③当 eq \f(m,2)≥2，即m≥4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，则f(x)min＝f(2)＝－2m＋5＞0，解得m＜ eq \f(5,2)，此时m不存在．综上所述，实数m的取值范围是(－2，2).
5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)，＋∞))，其中m＜0，则 eq \f(b,a)＋ eq \f(4,b)的最小值为( C )
A．－4B．4
C．5D．8
【解析】由ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)，＋∞))，知a＞0，且m， eq \f(4,m)是方程ax2＋bx＋4＝0的两根．由m＜0，m≤ eq \f(4,m)，得m≤－2.由根与系数的关系知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋\f(4,m)＝－\f(b,a)，,m×\f(4,m)＝\f(4,a)，))解得a＝1，b＝(－m)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,m)))≥4，当且仅当m＝－2时等号成立，故 eq \f(b,a)＋ eq \f(4,b)＝b＋ eq \f(4,b).设f(b)＝b＋ eq \f(4,b)(b≥4)，则函数f(b)在b∈[4，＋∞)上单调递增，所以f(b)min＝f(4)＝4＋ eq \f(4,4)＝5.所以 eq \f(b,a)＋ eq \f(4,b)的最小值为5.
二、 多项选择题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，则下列结论正确的是( BC )
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＞0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1)
【解析】由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，可知a＜0，且 eq \f(1,3)和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝\f(1,3)＋1，,\f(c,a)＝\f(1,3)×1，))解得a＝3c，b＝－4c，a＜0，c＜0，a＋b＝－c＞0，故A错误，B正确，C正确．不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0⇒x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误．
7．下列说法正确的是( AC )
A．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(1，2)
B．不等式－2x2－x＋6≤0的解集为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,2)))
C．若关于x的不等式(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，则a＝－3
D．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)
【解析】对于A，因为x2－3x＋2＜0⇔(x－2)(x－1)＜0⇔1＜x＜2，故A正确；对于B，由－2x2－x＋6≤0，得2x2＋x－6＝(2x－3)(x＋2)≥0，解得x≤－2或x≥ eq \f(3,2)，故B错误；对于C，因为(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，所以a＝－3，故C正确；对于D，因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＜0，所以当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＜1时，不等式的解集为(a，1)，当a＞1时，不等式的解集为(1，a)，故D错误．
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则( AB )
A．x1x2＋x1＋x2＜0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))
B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ eq \f(4,3)
C．不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(a，3a)
D．x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)的最小值为 eq \f(4\r(3),3)
【解析】x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)＜0，由于a＜0，所以不等式的解集为(3a，a)，所以x1＝3a，x2＝a，故C错误；对于A，x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝a(3a＋4)＜0，解得－ eq \f(4,3)＜a＜0，即不等式x1x2＋x1＋x2＜0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))，故A正确；对于B，x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a，令y＝3a2＋4a(a＜0)，y＝3a2＋4a(a＜0)的图象的开口向上，对称轴为a＝－ eq \f(4,6)＝－ eq \f(2,3)，所以当a＝－ eq \f(2,3)时，y＝3a2＋4a取得最小值为3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－ eq \f(4,3)，故B正确；对于D，x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)＝4a＋ eq \f(a,3a2)＝4a＋ eq \f(1,3a)＜0，故D错误．
三、 填空题
9．不等式 eq \f(3x＋5,x－1)＞x的解集是__(－∞，－1)∪(1，5)__．
【解析】由题得 eq \f(3x＋5,x－1)－x＞0，即 eq \f(3x＋5－x2＋x,x－1)＞0，即－ eq \f((x＋1)(x－5),x－1)＞0，则(x－1)(x＋1)·(x－5)＜0，根据穿根法解得x∈(－∞，－1)∪(1，5).
10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,4)))__．
【解析】由题意可得x2－x＋1＞2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m＜x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(5,4)，x∈[－1，2]，则g(x)min＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－ eq \f(5,4)，所以m＜－ eq \f(5,4).
11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为__(－∞，1)∪(3，＋∞)__．
【解析】令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立转化为f(a)＞0在a∈[－1，1]上恒成立，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(－1)＞0，,f(1)＞0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－(x－2)＋x2－4x＋4＞0，,x－2＋x2－4x＋4＞0，))整理得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))解得x＜1或x＞3.
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
(1) 求a，b的值；
【解答】因为不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a＞0，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3＋2＝0，,ab2－3b＋2＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))(舍去).
(2) 当x＞0，y＞0，且满足 eq \f(a,x)＋ eq \f(b,y)＝1时，有2x＋y≥k2＋k＋2恒成立，求k的取值范围．
【解答】 由(1)知a＝1，b＝2，于是 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝1，2x＋y＝(2x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝4＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)≥4＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当 eq \f(y,x)＝ eq \f(4x,y)， eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝1，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))时等号成立. 依题意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k－6≤0，所以－3≤k≤2，所以k的取值范围为[－3，2].
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；
【解答】由已知易得f(x)≥4＋2a即为x2－(a－2)x－2a≥0.令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞).
(2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】 由f(x)－2a＋14≥0，可得a(x＋2)≤x2＋2x＋18.由1≤x≤6，得x＋2＞0，所以a≤ eq \f(x2＋2x＋18,x＋2).因为 eq \f(x2＋2x＋18,x＋2)＝x＋ eq \f(18,x＋2)＝(x＋2)＋ eq \f(18,x＋2)－2≥2 eq \r(18)－2＝6 eq \r(2)－2，当且仅当x＋2＝ eq \f(18,x＋2)，即x＝3 eq \r(2)－2时等号成立，所以a≤6 eq \r(2)－2，所以实数a的取值范围是(－∞，6 eq \r(2)－2].
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】 ∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0.当a＝0时，x≥0，不满足题意，则a≠0，此时必有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝(1－a)2－4a2≤0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,3a2＋2a－1≥0，))解得a≥ eq \f(1,3)，所以实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
(2) 解关于x的不等式f(x)＜a－1(a∈R).
【解答】 依题意，f(x)＜a－1，可化为ax2＋(1－a)x－1＜0.当a＝0时，可得x＜1；当a＞0时，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,a)))(x－1)＜0，又－ eq \f(1,a)＜1，解得－ eq \f(1,a)＜x＜1；当a＜0时，不等式ax2＋(1－a)x－1＜0可化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,a)))(x－1)＞0，当a＝－1时，－ eq \f(1,a)＝1，解得x≠1，当－1＜a＜0时，－ eq \f(1,a)＞1，解得x＜1或x＞－ eq \f(1,a)，当a＜－1时，0＜－ eq \f(1,a)＜1，解得x＜－ eq \f(1,a)或x＞1.综上，当a＞0时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－\f(1,a)＜x＜1))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}；当－1＜a＜0时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＜1或x＞－\f(1,a)))；当a＝－1时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}；当a＜－1时，原不等式的解集为