2025高考数学一轮复习-第40讲-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第40讲-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】，共10页。
A. x+12+y2=3 B. x+12+y2=5
C. x+22+y2=4 D. x+22+y2=8
2. 已知直线l:y=x 被圆C:x−32+y−1=r2r>0 截得的弦长为2，则r= ( )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 4
3. 已知直线l:x+ay−1=0 是圆C:x2+y2−6x−2y+1=0 的对称轴，过点A−1,a 作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB= ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 圆x−32+y−32=9 上到直线3x+4y−11=0 的距离等于1的点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. （多选）已知圆x−12+y−12=4 与直线x+my−m−2=0 ，则( )
A. 直线与圆必相交B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交所截的最短弦长为23 D. 直线与圆可以相切
6. 圆O1:x2+y2=1 与圆O2:x2+y2−6x+8y+m=0 外切，则实数m= .
7.若P2,−1 为圆C:x−12+y2=25 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 .
8. 已知圆C:x2+y2−4x−2y+1=0 及直线l:y=kx−k+2k∈R ，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为 .
9. 已知圆C1:x2+y2−4x−6y+12=0 与圆C2:x2+y2+2x−4y−4=0 .
（1） 过点P3,5 作直线l 与圆C1 相切，求l 的方程；
（2） 若圆C1 与圆C2 相交于A ，B 两点，求AB 的长.
[B级 综合运用]
10.已知点M1,2 是圆C:x2+y2=r2 内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2x−y=r2 ,那么( )
A. l⊥m 且m 与圆C 相切B. l//m 且m 与圆C 相切
C. l⊥m 且m 与圆C 相离D. l//m 且m 与圆C 相离
11.设A 是圆C:x+12+y2=9 上的动点，PA 是圆的切线，且PA=4 ，则点P 到点Q5,8 距离的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 15
12. 已知圆C:x−32+y−42=4 ,过点P3,3 作不过圆心的直线交圆C 于A ，B 两点，则△ABC 面积的取值范围是 .
13.设点A−2,3 ，B0,a ，若直线AB 关于y=a 对称的直线与圆x+32+y+22=1 有公共点，则a 的取值范围是 .
14. 已知圆M 过点A2,−2 ，B10,4 ，且圆心M 在直线y=x 上.
（1） 求圆M 的标准方程；
（2） 过点0,−4 的直线m 被圆M 截得的弦长为45 ，求直线m 的方程.
[C级 素养提升]
15.（多选）已知圆C:x+12+y2=9 ，则下列四个命题表述正确的是( )
A. 圆C 上有且仅有3个点到直线l:x−3y−1=0 的距离等于1
B. 过点A3,4 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，直线MN 的方程为4x+4y−5=0
C. 一条直线与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且有3CP+CQ−PQ≥0 ，则∠PCQ 的最大值为2π3
D. 若圆C 与圆E:x2+y2−4x−8y+m2=0 相外切，则m=4
16. 如图，已知圆C 的圆心在原点，且与直线x+3y+42=0 相切.
（1） 求圆C 的方程；
（2） 点P 在直线x=8 上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B .
① 求四边形OAPB 面积的最小值；
② 求证：直线AB 过定点.
2025高考数学一轮复习-第40讲-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.过点0,2 且与直线y=x−2 相切，圆心在x 轴上的圆的方程为( D )
A. x+12+y2=3 B. x+12+y2=5
C. x+22+y2=4 D. x+22+y2=8
[解析]选D.设圆心为a,0 ，由题意得a−21+1=a−02+0−22 ，解得a=−2 ，故圆的半径r=−2−02+0−22=22 ，所以圆的方程为x+22+y2=8 .
2. 已知直线l:y=x 被圆C:x−32+y−1=r2r>0 截得的弦长为2，则r= ( A )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 4
[解析]选A.圆心到直线的距离d=3−112+−12=2 ，弦长的一半为1，所以r=22+12=3 .
3. 已知直线l:x+ay−1=0 是圆C:x2+y2−6x−2y+1=0 的对称轴，过点A−1,a 作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB= ( C )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
[解析]选C.由题意得直线l 过圆心C3,1 ，故3+a−1=0 ，解得a=−2 ，所以点A−1,−2 ，AC=3+12+1+22=5 .又半径r=3 ，所以AB=52−32=4 ，故选C.
4. 圆x−32+y−32=9 上到直线3x+4y−11=0 的距离等于1的点的个数为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解析]选C.因为圆心到直线的距离为9+12−115=2 ，圆的半径为3，所以直线与圆相交，如图所示，故圆上到直线的距离为1的点有3个.
5. （多选）已知圆x−12+y−12=4 与直线x+my−m−2=0 ，则( AC )
A. 直线与圆必相交B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交所截的最短弦长为23 D. 直线与圆可以相切
[解析]选AC.由题意，圆x−12+y−12=4 的圆心C1,1 ，半径r=2 ，
直线x+my−m−2=0 变形得x−2+my−1=0 ，得直线过定点A2,1 ，
因为CA=2−12+1−12=15 .所以圆心C0,0 到直线m:2x−y=r2 的距离为d=r25>r2r2=r ,故直线m 与圆C 相离.因为直线CM 的斜率为2−01−0=2 ，而直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，故直线CM⊥l .又直线m 的斜率也是2，所以CM//m ，所以l⊥m ，故选C.
11.设A 是圆C:x+12+y2=9 上的动点，PA 是圆的切线，且PA=4 ，则点P 到点Q5,8 距离的最小值为( B )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 15
[解析]选B.由圆C:x+12+y2=9 ，可知圆心C−1,0 ，半径为3，又PA=4 ，所以PC2=PA2+32=25 ，设Px,y ，则点P 的轨迹方程为x+12+y2=25 ,故点P 到Q5,8 距离的最小值为5+12+82−5=5 .故选B.
12. 已知圆C:x−32+y−42=4 ,过点P3,3 作不过圆心的直线交圆C 于A ，B 两点，则△ABC 面积的取值范围是(0,3] .
[解析]因为C3,4 ，过点P3,3 的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，
设其方程为y−3=kx−3 ,即kx−y−3k+3=0 ,
所以圆心C 到该直线的距离为d=1k2+1∈(0,1] ,因为AB=2r2−d2=24−d2 ,
所以S△ABC=12AB⋅d=d4−d2=−d4+4d2∈(0,3] .
13.设点A−2,3 ，B0,a ，若直线AB 关于y=a 对称的直线与圆x+32+y+22=1 有公共点，则a 的取值范围是[13,32] .
[解析]由题意得A−2,3 关于y=a 对称的点的坐标为A'−2,2a−3 ，B0,a 在直线y=a 上，
所以直线A'B 的方程为y=a−3−2x+a ，即a−3x+2y−2a=0 .
因为圆x+32+y+22=1 ，所以圆心−3,−2 ，半径r=1 ，
依题意圆心到直线A'B 的距离d=−3a−3−4−2aa−32+22≤1 ，即5−5a2≤a−32+22 ，
解得13≤a≤32 ，即a∈[13,32] .
14. 已知圆M 过点A2,−2 ，B10,4 ，且圆心M 在直线y=x 上.
（1） 求圆M 的标准方程；
[答案]解：因为圆心M 在直线y=x 上，所以设圆M 的标准方程为x−a2+y−a2=r2 ，r>0 .
因为圆M 过点A2,−2 ，B10,4 ，
所以2−a2+−2−a2=r2，10−a2+4−a2=r2， 解得a=4，r=6， 所以圆M 的标准方程为x−42+y−42=36 .
（2） 过点0,−4 的直线m 被圆M 截得的弦长为45 ，求直线m 的方程.
[答案]①当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为x=0 ，直线m 被M 截得的弦长为262−42=45 ，符合题意.
②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y=kx−4 ，则圆心M 到直线m 的距离d=4k−4−4k2+1=4k−8k2+1 ，则由题意得4k−8k2+12=36−252 ，
解得k=34 ，则直线m 的方程为y=34x−4 ，
即3x−4y−16=0 .
综上，直线m 的方程为3x−4y−16=0 或x=0 .
[C级 素养提升]
15.（多选）已知圆C:x+12+y2=9 ，则下列四个命题表述正确的是( BC )
A. 圆C 上有且仅有3个点到直线l:x−3y−1=0 的距离等于1
B. 过点A3,4 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，直线MN 的方程为4x+4y−5=0
C. 一条直线与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且有3CP+CQ−PQ≥0 ，则∠PCQ 的最大值为2π3
D. 若圆C 与圆E:x2+y2−4x−8y+m2=0 相外切，则m=4
[解析]选BC.圆心C−1,0 ，半径r=3 ，圆心C 到直线l:x−3y−1=0 的距离d=−1−3×0−112+−32=1 ，故圆C 上有4个点到直线l 的距离为1，故A错误；
过点A3,4 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，则A ，C ，M ，N 四点共圆，且AC 为直径，方程为x2+y2−2x−4y−3=0 ，MN 是其与圆C 的公共弦，直线MN 的方程为4x+4y−5=0 ，故B正确；
设PQ 的中点为D ，则CD⊥PQ .因为3CP+CQ−PQ≥0 ，即3⋅2CD≥2PD ，可得3≥PDCD ，则0