2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了设双曲线C，已知点O，A，B，设F1，F2分别是双曲线C，已知双曲线C，已知椭圆C1，故选A等内容，欢迎下载使用。
1．“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )
A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．m∈(－∞，－2)
D．m∈(1，＋∞)
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(7,4)
C．2D．eq \f(12,5)
4．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A．eq \f(\r(22),2)B．eq \f(4\r(10),5)
C．eq \r(7)D．eq \r(10)
5．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,m＋n)－eq \f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有( )
A．m＝2
B．当n＝0时，C的离心率是2
C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍
6．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2B．C的焦距为2eq \r(5)
C．C的离心率为eq \r(3)D．△ABF1的面积为4eq \r(3)
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
8．已知点A在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为eq \f(\r(3),3)，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为(eq \r(5)，0)，一条渐近线方程为2x－y＝0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知倾斜角为eq \f(3π,4)的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
10．(多选)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则下列各项正确的是( )
A．eq \f(e2,e1)＝2B．e1e2＝eq \f(\r(3),2)
C．eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(5,2)D．eeq \\al(2,2)－eeq \\al(2,1)＝1
11．已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cs∠F1PF2＝eq \f(2,3)，则△F1PF2的面积为________．
12．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程____________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \r(3)，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．
14．已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【解析版】
1．“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )
A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．m∈(－∞，－2)
D．m∈(1，＋∞)
解析：A 由方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m＋2)＝1表示双曲线，知(m－1)·(m＋2)＞0，∴m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故它的一个必要不充分条件为m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选A．
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则该双曲线实轴长为( )
A．2 B．1
C．eq \r(3)D．2eq \r(3)
解析：A 由题意知，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2，故选A．
3．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(7,4)
C．2D．eq \f(12,5)
解析：A 易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(4,3)．故选A．
4．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A．eq \f(\r(22),2)B．eq \f(4\r(10),5)
C．eq \r(7)D．eq \r(10)
解析：D 由|PA|－|PB|＝2