2025高考数学一轮复习-第47讲-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第47讲-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是( )
①回归分析和独立性检验没有什么区别；
②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；
③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；
④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．
A．①② B．③
C．③④ D．全选
2．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.805，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”( )
A.1% B．0.1%
C．99% D．99.9%
3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则χ2的观测值可能为( )
A.χ2＝3.206 B．χ2＝6.561
C．χ2＝7.869 D．χ2＝11.208
4．为了了解中学生戴眼镜与性别的相关性，某研究机构分别调查了A，B，C三个地区的100名中学生是否戴眼镜的情况，得到三个列联表如下图所示：
根据列联表的数据，可以得到的结论为( )
A．在这三个地区中，A地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强
B．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强
C．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱
D．在这三个地区中，C地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱
5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表的数据：
根据以上数据，依据α＝0.001的独立性检验，可以认为( )
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
6．(多选题)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的eq \f(4,5)，女生喜欢抖音的人数占女生人数的eq \f(3,5)，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )
附表：
附： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
A．25人 B．35人
C．45人 D．60人
二、填空题
7．如果由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073，那么有95%的把握认为两变量 关系，已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
8．江苏省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“1”要求考生从物理、历史中选一科，为了判断学生选修历史、物理与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，则我们有 把握认为选科与性别是有关系的．
9．2020年春季，世界各地相继出现肺炎疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题．为了考察某种疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行实验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染肺炎”有关系．
参照公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
三、解答题
10．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分(满分为100分)，其中评分不低于80分视为强力有效，否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求t的值，并估计所有试验者的平均得分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关？
参考数据：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
11．(多选题)在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：
则下列说法正确的是( )
附：参考公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
独立性检验临界值表
A.eq \f(n11,n1＋)>eq \f(6,n2＋)
B．χ2<2.706
C．有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
D．女乘客不晕机的人数为13
12．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．

参考公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
则根据列联表判断是否有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系．
2025高考数学一轮复习-第47讲-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是( B )
①回归分析和独立性检验没有什么区别；
②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；
③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；
④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．
A．①② B．③
C．③④ D．全选
解析：回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系，通过回归分析分析可能两个变量之间具有的相关关系．而独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系．故①②④错误，③正确．故选B.
2．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.805，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”( C )
A.1% B．0.1%
C．99% D．99.9%
解析：∵χ2＝7.805，对照表格：6.635<7.805<10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.
∴有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”，故选C.
3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则χ2的观测值可能为( C )
A.χ2＝3.206 B．χ2＝6.561
C．χ2＝7.869 D．χ2＝11.208
解析：因为有99%的把握但没有99.9%的把握，所以χ2的观测值区间范围为[6.635,10.828)，因此χ2的观测值可能为7.869.故选C.
4．为了了解中学生戴眼镜与性别的相关性，某研究机构分别调查了A，B，C三个地区的100名中学生是否戴眼镜的情况，得到三个列联表如下图所示：
根据列联表的数据，可以得到的结论为( B )
A．在这三个地区中，A地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强
B．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强
C．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱
D．在这三个地区中，C地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱
解析：由χeq \\al(2,A)＝eq \f(100×21×31－19×292,40×60×50×50)≈0.167，
χeq \\al(2,B)＝eq \f(100×25×35－15×252,40×60×50×50)≈4.167，
χeq \\al(2,C)＝eq \f(100×23×33－17×272,40×60×50×50)＝1.5，
∴χeq \\al(2,B)>χeq \\al(2,C)>χeq \\al(2,A).故在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强，A地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱．故选B.
5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表的数据：
根据以上数据，依据α＝0.001的独立性检验，可以认为( A )
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析：χ2＝eq \f(542×33×214－193×1022,226×316×135×407)≈22.013>10.828，所以依据α＝0.01的独立性检验，可以认为种子经过处理跟是否生病有关．故选A.
6．(多选题)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的eq \f(4,5)，女生喜欢抖音的人数占女生人数的eq \f(3,5)，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( CD )
附表：
附： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
A．25人 B．35人
C．45人 D．60人
解析：设男生可能有x人，依题意得女生有x人，可得2×2列联表如下：
若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2≥3.841，即χ2＝eq \f(2x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)x·\f(2,5)x－\f(3,5)x·\f(1,5)x))2,\f(7,5)x·\f(3,5)x·x·x)＝eq \f(2,21)x≥3.841，解得x≥40.330 5，由题意知x>0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．故选CD.
二、填空题
7．如果由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073，那么有95%的把握认为两变量有关系，已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
解析：∵由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073>3.841，∴有95%的把握说这两个变量有关系．
8．江苏省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“1”要求考生从物理、历史中选一科，为了判断学生选修历史、物理与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，则我们有95%把握认为选科与性别是有关系的．
解析：根据表中数据，得到χ2＝eq \f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)
≈4.844>3.841，∴我们有95%的把握认为选科与性别是有关系的．
9．2020年春季，世界各地相继出现肺炎疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题．为了考察某种疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行实验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染肺炎”有关系．
参照公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解析：由题意得，χ2＝eq \f(100×10×30－20×402,30×70×50×50)≈4.762
＞3.841，所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染肺炎”有关系．
三、解答题
10．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分(满分为100分)，其中评分不低于80分视为强力有效，否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求t的值，并估计所有试验者的平均得分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关？
参考数据：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)由(0.005＋t＋0.020＋0.025＋0.030＋0.005)×10＝1，解得t＝0.015.平均得分为45×0.005×10＋55×0.015×10＋65×0.020×10＋75×0.030×10＋85×0.025×10＋95×0.005×10＝72.
(2)由已知可得，强力有效人数有100×(0.025＋0.005)
×10＝30人，则2×2列联表为：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝
eq \f(100×800－3002,50×50×30×70)≈4.762>3.841.
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗强效力与性别有关．
11．(多选题)在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：
则下列说法正确的是( ABD )
附：参考公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
独立性检验临界值表
A.eq \f(n11,n1＋)>eq \f(6,n2＋)
B．χ2<2.706
C．有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
D．女乘客不晕机的人数为13
解析：由列联表数据知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n11＋6＝n＋1,15＋n22＝28,n11＋15＝n1＋,6＋n22＝n2＋,n＋1＋28＝46,n1＋＋n2＋＝46))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n11＝12,n22＝13,n＋1＝18,n1＋＝27,n2＋＝19))，
∴eq \f(n11,n1＋)＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9)>eq \f(6,n2＋)＝eq \f(6,19)，即A正确；
∴χ2＝eq \f(46×12×13－6×152,18×28×19×27)≈0.775<2.706，即B正确，C错误；经上述计算女乘客不晕机的人数为13，即D正确．故选ABD.
12．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．

参考公式： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
则根据列联表判断是否有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系．
解：有．χ2＝eq \f(200×125×15－25×352,160×40×50×150)＝4.167>3.841，所以根据临界值知有95%的把握认为“经常用流行语”与“年轻人”有关系．
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
项目
种子处理
种子未处理
总计
得病
33
102
135
不得病
193
214
407
总计
226
316
542
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
物理
历史
男
13
10
女
7
20
感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
强力有效
效力一般
合计
男性
50
女性
10
合计
100
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
晕机
不晕机
合计
男
n11
15
n1＋
女
6
n22
n2＋
合计
n＋1
28
46
α
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
项目
种子处理
种子未处理
总计
得病
33
102
135
不得病
193
214
407
总计
226
316
542
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生
eq \f(4,5)x
eq \f(1,5)x
x
女生
eq \f(3,5)x
eq \f(2,5)x
x
合计
eq \f(7,5)x
eq \f(3,5)x
2x
物理
历史
男
13
10
女
7
20
感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
强力有效
效力一般
合计
男性
50
女性
10
合计
100
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
强力有效
效力一般
合计
男性
20
30
50
女性
10
40
50
合计
30
70
100
晕机
不晕机
合计
男
n11
15
n1＋
女
6
n22
n2＋
合计
n＋1
28
46
α
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
晕机
不晕机
合计
男
12
15
27
女
6
13
19
合计
18
28
46
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828