2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【含解析】，共9页。
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
2. 在△ABC中，若A=30∘ ，AB=2，且△ABC的面积为3，则△ABC外接圆的半径为（ ）.
A. 233B. 433C. 2D. 4
3. （改编）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，3sin2Ccs C=2sin Asin B，且b=6，则c=（ ）.
A. 2B. 3C. 4D. 6
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，a2+bc=c2+ac，则cbsin B的值为（ ）.
A. 12B. 32C. 2D. 233
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B=ac，b+c+ab+c−a=3bc，则△ABC的形状为（ ）.
A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形D. 钝角三角形
6. （改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acs C+33sin C，a=2，c=263，则C=（ ）.
A. 3π4B. π4或3π4C. π6D. π4
7. （改编）设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足a=3,b=m,B=π6的△ABC不唯一，则实数m的取值范围为（ ）.
A. (32，3)B. 0,3C. (12,32)D. (12,1)
8. 秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示如下：S△ABC=14[a2c2−a2+c2−b222]，其中a,b,c是△ABC的内角A,B,C的对边.已知在△ABC中，ac=cs B+3cs C，3ac=a−3cs Acs C，则△ABC面积的最大值为（ ）.
A. 932B. 934C. 2434D. 2438

综合提升练
9. （多选题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足sin B1+2cs C=2sin Acs C+cs Asin C，则下列结论可能成立的是（ ）.
A. a=2bB. b=2aC. A=2BD. C=90∘
10. （多选题）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）.
A. 若acs A=bcs B=ccs C，则△ABC为等边三角形
B. 若a+b+ca+b−c=3ab，则C=60∘
C. 若a=7，b=43，c=13，则最小内角的度数为30∘
D. 若a=5，A=60∘ ，b=4，则此三角形有两解
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2b2−3c2−ac=0，sinA+B=2sin A，则cs C=___________.
12. （双空题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=3,sin B=sin 2A.
① bcs A的值为__________
② 若a>c，则b的取值范围是__________
应用情境练
13. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.
14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①a2−c2=bc；②b+bcs A=3asin B；③sin A=3sin C.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
创新拓展练
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B−c−b2=0，a2=72bc，b>c，则bc=__________
16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b−csin B=bsinA−C.
（1）求角A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S，求a2+b2+c2S的取值范围.
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Aa=cs Bb，则B的大小为（ B ）.
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
[解析]由题意知，sin Asin A=cs Bsin B，
∴sin B=cs B，∴B=45∘ .故选B.
2. 在△ABC中，若A=30∘ ，AB=2，且△ABC的面积为3，则△ABC外接圆的半径为（ C ）.
A. 233B. 433C. 2D. 4
[解析]由题意知，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin A=12×2×12AC=3，解得AC=23，
由余弦定理得BC2=4+12−2×2×23×32=4，故BC=2.
设△ABC 外接圆的半径为R，
由正弦定理得2R=BCsin A=4，故R=2.故选C.
3. （改编）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，3sin2Ccs C=2sin Asin B，且b=6，则c=（ C ）.
A. 2B. 3C. 4D. 6
[解析]由余弦定理得a2=b2+c2−2bc×12=b2+c2−bc，又3sin2Ccs C=2sin Asin B，∴ 由正弦定理可得3c22ab=a2+b2−c22ab，即a2+b2−4c2=0，即b2+c2−bc+b2−4c2=0.
又b=6，∴c2+2c−24=0，解得c=4（负值舍去）.故选C.
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，a2+bc=c2+ac，则cbsin B的值为（ D ）.
A. 12B. 32C. 2D. 233
[解析]由b2=ac，a2+bc=c2+ac，得b2+c2−a2=bc，
∴cs A=b2+c2−a22bc=12，则sin A=32.
由b2=ac，得sin2B=sin Asin C，∴sin Csin2B=1sin A，
∴cbsin B=sin Csin Bsin B=1sin A=233.故选D.
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B=ac，b+c+ab+c−a=3bc，则△ABC的形状为（ C ）.
A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形D. 钝角三角形
[解析]∵sin Asin B=ac，∴ab=ac，∴b=c.
又b+c+ab+c−a=3bc，
∴b2+c2−a2=bc，∴cs A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12.
∵A∈0,π，∴A=π3，∴△ABC是等边三角形.故选C.
6. （改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acs C+33sin C，a=2，c=263，则C=（ D ）.
A. 3π4B. π4或3π4C. π6D. π4
[解析]∵b=acs C+33sin C，∴ 由正弦定理可得sin B=sin Acs C+33sin Asin C.又sin B=sinA+C=sin Acs C+cs Asin C，∴cs Asin C=33sin Asin C.由sin C≠0，可得sin A=3cs A，∴tan A=3,∴A=π3.
∵a=2，c=263，∴ 由正弦定理可得sin C=c⋅sin Aa=22，∴ 由c