2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a表示“向东航行3km”，向量b表示“向南航行3km”，则a+b表示( )
A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3 2km
C. 向东北航行3 2kmD. 向东北航行6km
2.复数5i−2的共轭复数是( )
A. i+2B. −2+iC. −2−iD. 2−i
3.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则( )
A. 四边形ABCD是矩形B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形D. 四边形ABCD是平行四边形
4.复数a+bi与c−di(其中a，b，c，d∈R，i为虚数单位)的积是实数的充要条件是( )
A. ad+bc=0B. ac+bd=0C. ac=bdD. ad=bc
5.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A. ．AD+BE+CF=0B. BD−CF+DF=0
C. AD+CE−CF=0D. BD−BE−FC=0
6.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A. α内有无数条直线都与β平行
B. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a//β，b//α
C. α内的任何直线都与β平行
D. 直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内
7.在空间直角坐标系中，已知A(0,3,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，D(0,3,2)，则四面体ABCD外接球的表面积为( )
A. 29πB. 28πC. 32πD. 30π
8.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥I与三棱柱H的体积之比为( )
A. 3：1B. 1：3C. 2：3D. 1：6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析.下列说法中正确的有( )
A. 1000名运动员的年龄是总体B. 所抽取的10名运动员是一个样本
C. 样本容量为10D. 每个运动员被抽到的机会相等
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1D. 若z2+1=0，则z=i
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a=(k,2)，b=(1,−1)，且a/​/b，则实数k的值为______．
13.点Z1对应的复数是4+i，点Z2对应的复数是−2+3i，则线段Z1Z2的中点对应的复数是______．
14.正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边长上的中线向量AD的模|AD|.
16.(本小题15分)
如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD．
17.(本小题15分)
从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW⋅ℎ之间．进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中a的值；
(2)求在被调查的用户中，用电量落在[100,250)内的户数．
18.(本小题17分)
已知复数z满足|z|= 2，z2的虚部为2，z在复平面上所对应的点A在第一象限．
(1)求z；
(2)若z2，z−z2在复平面上的对应点分别为B，C，求cs∠ABC．
19.(本小题17分)
如图，点O1是正方体ABCD−A1B1C1D1上底面的中心，过D1，B1，A三点作一个截面.求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.B
9.ACD
10.ABC
11.AC
12.−2
13.1+2i
14.n2 n3
15.解：因为三角形是正三角形，所以BC边长上的中线向量AD的模就是三角形的高，
即： 32−(32)2=3 32．
BC边长上的中线向量AD的模|AD|为：3 32．
16.证明：如图，

∵AB=BC=AC=AD=BD=CD=a，
∴△ABC≌△ABD，
又M为AB的中点，∴CM=DM，
又N为CD的中点，∴MN⊥CD；
同理可证，MN⊥AB．
17.解：(1)因为50×(0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012)=1，所以a=0.006．
(2)100×(0.0036+0.006+0.0044)=68．
18.解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，
则x2+y2=2，
∵z2=x2−y2+2xyi，
∴xy=1，
∵z在复平面上所对应的点A在第一象限，
∴x>0，y>0，
∴x=y=1，
∴z=1+i．
(2)∵z2=2i，z−z2=1−i，
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，
∴BA=(1,−1)，BC=(1,−3)，
∴cs∠ABC=BA⋅BC|BA|⋅|BC|=4 2× 10=2 55．
19.证明：如图示：

连结A1C1，AC，
∵O1是正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面的中心，
∴O1∈A1C1，且O1∈B1D1，
∵A1C1⊂平面AA1C1C，B1D1⊂平面AB1D1，
∴O1∈平面AA1C1C，O1∈平面AB1D1，
又∵A∈平面AA1C1C，A∈平面AB1D1，
∴面AB1D1∩平面AA1C1C=AO1，
∵对角线A1C∩平面AD1B1=P，
∴P∈平面AA1C1C，P∈平面AB1D1，
∴公理三得对角线A1C与平面AD1B1的交点P一定在AO1上．