2023-2024学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=(2−i)2(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第( )象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
2.某校举行演讲比赛，9位评委对参赛选手李明的评分分别为87，85，91，95，90，92，96，88，83则这组数据的第70百分位数是( )
A. 92B. 91.5C. 91D. 90
3.如图，水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′恰为腰长为2的等腰直角三角形，则△ABC中最长边的长为( )
A. 2 2
B. 4
C. 4 2
D. 6
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m⊥n，n⊂α，则m⊥α
5.已知 3sinθ−csθ=23,θ∈(0,π2)，则cs(θ+π3)=( )
A. −2 23B. −13C. 13D. 2 23
6.有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件A=“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”，B=“两个球编号之和为偶数”，则P(AB)=( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若满足条件a=3，A=60°的三角形有两个，则b的取值范围是( )
A. (2,3)B. (3,3 3)C. (3,2 3)D. (2 2,2 3)
8.如图，在扇形AOB中，扇形的半径为1，∠AOB=2π3，点P在弧AB上移动，OP=aOA+bOB.当∠AOP=π2时，a+b=( )
A. 32
B. 3
C. 2
D. 3 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有( )
A. 该学校高一学生共800人
B. 志愿服务小组共有学生96人
C. 志愿服务小组中高三学生共有20人
D. 某高三学生被选入志愿服务小组的概率为125
10.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，则下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)的一条对称轴为x=π12
B. f(x)在区间[−π6,π6]上单调递增
C. f(x)的图象可由g(x)=2sin2x的图象向右平移5π6个单位得到
D. 方程f(x)−1=0在区间(0,2π]上恰有三个不等的实根
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱C1D1的中点，N为棱CC1上(含端点)的动点，则下列说法中，不正确的是( )
A. 当N为棱CC1上的中点时，平面A1MN经过顶点B
B. 当N为棱CC1上的中点时，则AN/​/平面A1DM
C. 当且仅当点N运动到顶点C时，三棱锥A−A1MN的体积最大
D. 棱CC1上存在点N，使得|BN|+|MN|=2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知O为原点，点A(1,2)，B(2,1)，则OA与OB夹角的余弦值cs= ______．
13.若复数z=a+bi(其中i为虚数单位，a，b∈R，b≠0)满足z+4z为实数，则z⋅z−= ______．
14.如图，已知AD⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2AD=2，E，F分别为棱BD，AC上的动点(含端点)，则线段EF长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知复数z=3+bi(其中i为虚数单位)满足|z−2i|=5，求实数b的值；
(2)在复数范围内，解方程：5x2−2x+1=0．
16.(本小题15分)
为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查.将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长(单位：小时)数据分成4组：[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；
(2)乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
(1)求证：ADCD=ca；
(2)若 3csinB+bcsC=a+c．
(ⅰ)求B；
(ⅱ)若a=2c，BD=1，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是等腰梯形，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB=BC=CD=1，PA=AD=2．
(1)求证：BD⊥平面PAB；
(2)点Q为PA上一点，PQPA=13，求证：PC//平面BDQ；
(3)点M为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上(这条直线被称为三角形的欧拉线)，此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心．
(1)求证：GA+GB+GC=0；
(2)求证：OG=13(OA+OB+OC)；
(3)求证：OH=OA+OB+OC．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ACD
10.AC
11.BCD
12.45
13.4
14.2 55
15.解：(1)∵z=3+bi，∴|z−2i|=|3+(b−2)i|= 9+(b−2)2=5，
∴b=6或b=−2；
(2)∵Δ=(−2)2−4×5×1=−16<0，
∴方程的根为x=2± −1610=1±2i5，
即x=1+2i5或x=1−2i5．
16.解：(1)根据题意可得(a+0.18+0.2+0.05)×2=1，∴a=0.07；
估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数为：
5×0.14+7×0.36+9×0.4+11×0.1=7.92小时；
(2)甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为0.2×2+0.05×2=0.5，
乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为1648=13，
∴至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为：P=1−12×23=23．
17.(1)证明：在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，
设∠ABD=α，∠BDC=β，则∠CBD=α，∠ADB=180°−β．

在△ABD和△BCD中，由正弦定理得ABAD=sin(180°−β)sinα，BCDC=sinβsinα．
因为sin(180°−β)=sinβ，所以ABAD=BCDC，可得ABBC=ADDC=ca．
(2)解：(ⅰ)根据 3csinB+bcsC=a+c，由正弦定理得 3sinCsinB+sinBcsC=sinA+sinC．
因为sinA=sin(180°−A)=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以 3sinCsinB+sinBcsC=sinBcsC+csBsinC+sinC，可得 3sinCsinB=csBsinC+sinC，
即 3sinB=csB+1，可得 3sinB−csB=1，
所以2×( 32sinB−12csB)=1，即2×sin(B−π6)=1，sin(B−π6)=12，
结合B∈(0,π)，B−π6∈(−π6,5π6)，可得B−π6=π6，B=π3．
(ⅱ)因为S△ABD+S△CBD=S△ABC，所以12AB⋅BD⋅sinπ6+12BC⋅BD⋅sinπ6=12AB⋅BC⋅sinπ3，
又因为a=2c，BD=1，可得c= 32，a= 3，所以S△ABC=12acsinB=12× 32× 3× 32=3 38．
18.解：(1)证明：由题意可知，∠BAD+∠BCD=180°，所以cs∠BAD+cs∠BCD=0，
所以12+22−BD22×1×2+12+12−BD22×1×1=0，
解得BD= 3，
则AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，PA∩AB=A，且PA，AB⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB；
(2)证明：连结AC，交BD于点O，连结QO，

因为BC/​/AD，且ADBC=2，
所以AOOC=2，又因为AQQP=2，
所以OQ//PC，且PC⊄平面BQD，OQ⊂平面BQD，
所以PC//平面BQD；
(3)由(1)可知，BD⊥平面PAB，BD⊂平面BDP，
所以平面PAB⊥平面BDP，且平面PAB∩平面BDP=PB，
过点A作AN⊥PB，连结MN，

则AN⊥平面PBD，∠AMN为直线AM与平面PBD所成的角，
因为△PAD是等腰直角三角形，且PA=AD=2，
所以AM= 2，
△PAB中，PA=2，AB=1，所以PB= 5，
AN=PA⋅ABPB=2 5=2 55，
所以sin∠AMN=ANAM= 105．
19.证明：(1)因为G为△ABC的重心，
所以连接CG，并延长交AB于M，
则M为AB中点，且GC=−2GM．
在△GAB中，因为M为AB中点，所以GA+GB=2GM=−GC，
所以GA+GB+GC=0；
(2)在△OAB中，M为AB中点，
所以OA+OB+OC=2OM+OM+MC=3OM+MC．
因为G为△ABC的重心，所以GC=−2GM，
则在△OMC中，有OG=OM+13MC，
所iOG=13(OA+OB+OC)；
(3)由欧拉定理知，OG=12GH，所以OG=13OH．
由(2)知OG=13(OA+OB+OC)，
所以OH=OA+OB+OC．