2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,3,5,7,9}，M={x|x>4且x∈U}，N={3,7,9}，则M∩(∁UN)=( )
A. {1,5}B. {5}C. {1,3,5}D. {3,5}
2.已知复数z=a+2i，若z−⋅(3+i)是实数，则实数a=( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
3.函数f(x)=tan(πx)的最小正周期为( )
A. 1B. 2C. πD. 2π
4.在等比数列{an}中，a6=23，公比q= 3，则a10=( )
A. 6B. 3 3C. 12D. 8 3
5.已知向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，则m=( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 2或−2
6.从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为( )
A. 33
B. 2 33
C. 23
D. 43
8.已知α∈(0,π)，且3cs2α+14csα+7=0，则tan2α=( )
A. −4 27B. − 23C. 23D. 4 27
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=−7，S2=−12，则下列结论正确的是( )
A. an=2n−9B. {an}为递减数列C. a3+a4=0D. S7=a1
10.已知函数f(x)=x+2x3+4，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增
B. 函数f(x)在(1,+∞)上单调递减
C. 函数f(x)的极小值为13
D. 若f(x)=m有3个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
11.设椭圆C：x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=2 2
B. 离心率e= 62
C. △PF1F2面积的最大值为 2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且f(x)是偶函数，在[0,1]上有f(x)=2x−1，则f(5)= ______．
13.如图，在直四棱柱A1B1C1D1−ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C1⊥BD1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
14.已知抛物线C：y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线l的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3．
(1)求A；
(2)若b+c=2，求a的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB⊥平面PAD，E是AD的中点，△PAD为等腰直角三角形，DP⊥AP，PA= 2AB．
(1)求证：PE⊥BD；
(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：1，2，…，6，6个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
(1)小王从6个灯谜中任取3个作答；设选中编号为1，2，3的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为12，求小王在猜对编号为1，2的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1过点M(3,4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xa−lnx−xea−x(a>0)．
(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．
答案解析
1.B
【解析】解：全集U={1,3,5,7,9}，N={3,7,9}，
则∁UN=(1,5)，
又因为M={5,7,9}，
所以M∩(∁UN)={5}．
故选：B．
根据已知条件，结合交集、补集的定义，即可求解．
本题主要考查交集、补集的定义，属于基础题．
2.C
【解析】解：因为z−=a−2i，则z−⋅(3+i)=3a+2+(a−6)i，
z−⋅(3+i)是实数，
则a−6=0，得到a=6．
故选：C．
根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果．
本题主要考查复数的运算及复数的定义，属于基础题．
3.A
【解析】解：对于函数f(x)=tan(πx)，
因为tan(kx)的最小正周期为π|k|，
所以tan(πx)的最小正周期为π|π|=1．
故选：A．
通过正切函数的周期性求解．
本题考查正切函数的周期性，属于简单题．
4.A
【解析】解：在等比数列{an}中，a6=23，公比q= 3，
则a10=a6q4=23×( 3)4=6．
故选：A．
由等比数列{an}性质得a10=a6q4，由此能求出结果．
本题考查等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.C
【解析】解：向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，
则m⋅3m−3(m+2)=0，解得m=2或−1．
故选：C．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.B
【解析】解：因为这个两位数大于40，
所以选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，
这个两位数大于40的个数为2×4=8．
故选：B．
数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果．
本题主要考查排列组合知识，属于基础题．
7.B
【解析】解：当球是圆锥的内切球时，球半径最大，
此时截面大圆为等边三角形的内切圆，
根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，
所以圆半径为正三角形高的13，即r=2 33．
故选：B．
易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的13，再计算即可．
本题考查几何体的结构特征，属于中档题．
8.D
【解析】解：因为α∈(0,π)，且3cs2α+14csα+7=0，
所以3(2cs2α−1)+14csα+7=0，
即3cs2α+7csα+2=0，
解得csα=−13或csα=−2(舍去)，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(−13)2=2 23，
所以tanα=sinαcsα=−2 2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−2 2)1−(−2 2)2=4 27．
故选：D．
利用二倍角公式解方程3cs2α+14csα+7=0，求出csα，再利用同角的三角函数关系求出sinα和tanα，即可求得tan2α．
本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
9.AD
【解析】解：因为a1=−7，S2=−12，
所以a2=S2−a1=−12+7=−5，解得d=2，
所以an=a1+(n−1)d=−7+2(n−1)=2n−9，故A正确；
因为d=2>0，所以{an}为递增数列，故B错误；
由a3=−3，a4=−1，有a3+a4=−4，故C错误；
S7=7×(−7)+7×62×2=−7，故D正确．
故选：AD．
由已知结合等差数列的性质，通项公式及求和公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了等数列的性质，单调性及通项公式的应用，属于基础题．
10.BCD
【解析】解：对于A，f′(x)=x3+4−3x2(x+2)(x3+4)2=−2(x+1)(x2+2x−2)(x3+4)2=−2(x+1)(x+ 3+1)(x− 3+1)(x3+4)2，x≠3−4，
令f′(x)>0，解得x∈(−∞,− 3−1)，
令f′(x)<0，解得x∈(− 3−1,3−4)∪(3−4,−1)，
则函数f(x)在(−∞,− 3−1)上单调递增，在(− 3−1,3−4),(3−4,−1)上单调递减，故A错误；
对于B，在(1,+∞)上，f′(x)<0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，故B正确；
对于C，x∈(−1, 3−1),f′(x)>0，函数f(x)在(−1, 3−1)上单调递增，
所以当x=−1时，f(x)取极小值f(−1)=13，故C正确；
对于D，f(x)=m⇒mx3−x+4m−2=0，
故mx3−x+4m−2=m(x−x1)(x−x2)(x−x3)
=m[x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x−x1x2x3]，
根据待定系数法得x1+x2+x3=0，故D正确．
故选：BCD．
根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.AD
【解析】解：由椭圆C：x22+y2=1可知，a= 2，b=1，c=1，
所以左、右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，
根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=2 2，故A正确；
离心率e=ca= 22，故B错误；
所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=1，故C错误；
由原点(0,0)到直线x+y− 2=0的距离d= 2 12+12=1=c，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切，故D正确；
故选：AD．
根据椭圆方程求得a，b和c，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案．
本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的定义，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．
12.1
【解析】解：因为函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且f(x)是偶函数，在[0,1]上有f(x)=2x−1，
所以f(5)=f(2−5)=f(−3)=f(3)=f(2−3)=f(−1)=f(1)=2−1=1．
故答案为：1．
由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于基础题．
13.BD⊥AC
【解析】解：∵四棱柱A1B1C1D1−ABCD是直棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，
则B1D1⊥平面A1AC1C，
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1/​/BD，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1，
故答案为：BD⊥AC．
根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．
本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．
14.3x−2y−5=0
【解析】解：因为P(3,2)在抛物线C内部，又|PA|=|PB|，所以P是AB的中点．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y22=2，即y1+y2=4，
又A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，
所以y12=6x1,y22=6x2，两式作差，得y1−y2x1−x2(y1+y2)=6，
所以y1−y2x1−x2=32，
所以直线l的方程为y−2=32(x−3)，即3x−2y−5=0．
故答案为：3x−2y−5=0．
根据条件可知P是AB的中点，然后利用“点差法”可求出直线l的斜率，进而可得直线的方程．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了“点差法”思想的应用，属于基础题．
15.解：(1)因为在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2−a2)=a⋅2bccsA，
所以bcsC+ccsB=2acsA，
即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12,A∈(0,π)⇒A=π3；
(2)由余弦定理有a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3⋅(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，
故a的最小值为1．
【解析】(1)根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
(2)应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
16.解：(1)证明：∵AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又E是AD的中点，△PAD为等腰直角三角形，DP⊥AP，
∴PE⊥AD，且PE⊂平面PAD，
又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴PE⊥BD；
(2)连接CE，设PA= 2AB= 2，
则根据题意易得PE=1，CE= 2，
由(1)知PE⊥平面ABCD，又CE⊂平面ABCD，
∴CE⊥PE，又易证CE⊥BE，且PE∩BE=E，
∴CE⊥平面PBE，
∴PC与平面PBE所成角为∠CPE，
∵在Rt△CPE中，PE=1，CE= 2，∴PC= 3，
∴sin∠CPE=CEPC= 2 3= 63，
故PC与平面PBE所成角的正弦值为 63．
【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质即可证明；
(2)先证明CE⊥平面PBE，从而得PC与平面PBE所成角为∠CPE，再解三角形即可求解．
本题考查面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面角的概念，属基础题．
17.解：(1)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C33C63=120，P(X=1)=23C31CC63=920，P(X=2)=13C32CC63=920，P(X=3)=C33C63=120，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32；
(2)设事件A表示“小王获得“中奖””，事件B表示“小王猜对编号为1，2的灯谜”，
则P(AB)=12×12×C41×(12)4=116，P(B)=12×12=14，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=11614=14．
【解析】(1)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解；
(2)利用条件概率公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了条件概率公式，属于中档题．
18.解：(1)易知双曲线C的左、右顶点分别为A(−a,0)，B(a,0)，
所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，
解得a2=1，
因为点M(3,4)在双曲线上，
所以9−16b2=1，
解得b2=2，
则双曲线方程为x2−y22=1；
(2)设直线l的方程为x=ty+ 3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=ty+ 3x2−y22=1，消去x并整理得(2t2−1)y2+4 3ty+4=0，
此时Δ=16(t2+1)>0，
由韦达定理得y1+y2=−4 3t2t2−1，y1y2=42t2−1，
因为PF2=3F2Q，
所以y1=−3y2，
此时−2y2=−4 3t2t2−1−3y22=42t2−1，
解得t2=111，
此时−3y22=42t2−1=−449，
解得y2=− 4427，
因为△PQE的重心在x轴上，
所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=−4 339，
代入双曲线得xE=± 3459．
故E(− 3459,−4 339)或E( 3459,−4 339)．

【解析】(1)首先表示出左右顶点，由斜率公式求出a2，将点的坐标代入方程求出b2，即可得解；
(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为x=ty+ 3，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由PF2=3F2Q得到y1=−3y2，即可求出y2，即可求出yE=2y2，从而求出xE，即可得解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.解：(1)当a=1时，令f(x)=x−lnx−xe1−x，
f′(x)=1−1x−1−xex−1=(x−1)(1x+1ex−1)，令f′(x)>0，得x>1，
故函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞)．
可得f(x)min=f(1)=0，故当a=1时，函数f(x)的最小值为0．
(2)由题意有f(1)=1a−ea−1≥0，
又由函数g(x)=1x−ex−1(x>0)单调递减，且g(1)=0，可得0下面证明：当0由函数ℎ(a)=xa−lnx−xea−x(0由(1)有x−lnx−xe1−x≥0，故有ℎ(a)≥0，
故若f(x)≥0，则实数a的取值范围为(0,1]．
【解析】(1)对f(x)求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得函数的最小值；
(2)由f(1)=1a−ea−1≥0，结合函数g(x)=1x−ex−1(x>0)的单调性可得0本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．X
0
1
2
3
P
120
920
920
120