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2023-2024学年甘肃省陇南市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年甘肃省陇南市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣ax=2,a∈N，若A⊆N，则所有a的取值构成的集合为( )
A. {1,2}B. {1}C. {0,1,2}D. N
2.已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则a=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
3.已知向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，则m=( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 2或−2
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N100,σ2(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16，数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. 1600B. 1800C. 2100D. 2400
5.已知锐角θ满足2cs2θ=1+sin2θ，则tanθ=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
6.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去(底面不铺)，若购买油毡纸一平方米需要30元，则买油毡纸至少要花费的费用约为( )
A. 89元B. 110元C. 126元D. 138元
7.已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若AF=3BF，则椭圆C的离心率为( )
A. 13B. 22C. 12D. 32
8.已知a>0，设函数f(x)=x2+ax+1,x≤0,ex−ax,x>0,若存在x0，使得f(x0)A. (0,2 2−2)B. (0,2 2−2)∪(1,+∞)
C. (1,+∞)D. (2 2−2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在2x−1 x6的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数之和为32B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 有理项的个数为3
10.已知等差数列an的公差d≠0，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. Snn是等差数列B. 若d<0，则Sn有最大值
C. Sn，S2n，S3n成等差数列D. 若Sm=Sn，m≠n，则Sm+n=0
11.已知函数fx的定义域为R，fx+y−fx−y=fx+32fy+32，f0≠0，则( )
A. f32=0 B. 函数fx是奇函数 C. f0=−2 D. fx的一个周期为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 ．
13.已知等比数列an各项均为 正数，前n项和为Sn，若a2=2，a1a5=16.则S5= ．
14.已知抛物线C:y2=6x，过P3,2的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4．
(1)求△ABC的外接圆的半径;
(2)若b+c=2，且A=2π3，求BC边上的高．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面ADP，AB//CD，CD=2AB=4，▵ADP是等边三角形，E为DP的中点．
(1)证明：AE⊥平面PDC；
(2)若PA=6，求平面PBC与平面ABE夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数fx=lnxx．
(1)求曲线y=fx在点e,fe处的切线方程；
(2)当x≥1时，xfx≤ax2−1，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1过点M3,4，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，▵PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
19.(本小题12分)
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为12，乙射击一次命中的概率为23，比赛共进行n轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击n次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．
(1)设甲同学在方案一中射击n轮次总得分为随机变是Xn，求EX20；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当n≥N时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.D
9.AC
10.ABD
11.AC
12.13
13.31
14.3x−2y−5=0
15.解：(1)依题意S=abc4=12bcsinA，所以asinA=2，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理得asinA=2R，得R=1，
所以△ABC的外接圆半径为1;
(2)由(1)可知，asinA=asin2π3=2，解得a=2sin2π3= 3，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，
即3=22−bc，解得bc=1，
设BC边上的高为ℎ，
则S=abc4=12a·ℎ，
所以ℎ=bc2=12．
16.解：(1)证明：由于▵ADP是等边三角形，E为DP的中点，
所以AE⊥PD，
又因为CD⊥平面ADP，AE⊂平面ADP，所以CD⊥AE，
又CD，PD⊂平面PDC，且CD∩PD=D，
所以AE⊥平面PDC；
(2)取PC的中点F，连接EF,BF，则由E是PD的中点，知EF是三角形PCD的中位线，故EF//CD，
因为CD⊥平面ADP，所以EF⊥平面ADP，
而EA，EP⊂平面ADP，故EF⊥EA，EF⊥EP，
故EA,EF,EP三线两两相互垂直，
以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x,y,z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，
则由CD=4，AB=2，EF=12CD=2，EP=ED=12PD=12PA=3，
EA= PA2−EP2= 36−9=3 3，知P3,0,0，B0,3 3,2，C−3,0,4，
所以PB=−3,3 3,2，PC=−6,0,4 ，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则
m⋅PB=0m⋅PC=0，即−3x+3 3y+2z=0−6x+4z=0,
令x=2，则y=0，z=3，故m=2,0,3 ，
显然平面ABE的一个法向量为n=1,0,0 ，
而cs m,n=m⋅n|m|·|n|=2 13×1=2 1313，
故平面PBC与平面ABE夹角的余弦值为2 1313．
17.(1)
由于fe=1e，则切点坐标为e,1e，
因为f′x=1−lnxx2，所以切线斜率为f′e=0，
故切线方程为y=1e；
(2)
当x∈1,+∞时，xfx令gx=ax2−1−lnx，x∈1,+∞,
lnx当a≤0时，g′x≤0，函数gx在1,+∞上单调递减，gx≤g1=0，不符合题意；
当01，
x∈1, 12a时，g′1≤0，函数gx单调递减，gx≤g1=0，不符合题意；
当a≥12时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2−1≥0，则g′x≥0，
所以函数gx在1,+∞上单调递增gx≥g1=0，符合题意．
综上所述，a≥12，所以a的取值范围为[12,+∞)．
18.解：(1)
依题意左、右顶点分别为A−a,0，Ba,0，
所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，解得a2=1，
将M3,4代入x2−y2b2=1得9−16b2=1，解得b2=2，
故双曲线方程为x2−y22=1；
(2)
设Px1,y1，Qx2,y2，直线l的方程为x=ty+ 3，
将x=ty+ 3代入2x2−y2=2整理得(2t2−1)y2+4 3ty+4=0，Δ=16t2+1>0，
∴y1+y2=−4 3t2t2−1，y1y2=42t2−1，又由PF2=3F2Q⇒y1=−3y2，
代入上式得−2y2=−4 3t2t2−1−3y22=42t2−1，解得t2=111，−3y22=42t2−1=−449⇒y2=− 4427，
因为▵PQE的重心在x轴上，所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=−4 339，代入双曲线得xE=± 3459，
故E− 3459,−4 339或E 3459,−4 339．
19.解：(1)设 Zn=Xn2 ，故 Zn∼Bn,12 ，
所以 EXn=2EZn=n ，
故 EX20=20 ；
(2)由(1)知 EXn=n ，
设乙同学的总得分为随机变量 Yn,Yn 的所有可能取值为 0,6,12,⋯,6n ，
所以 PYn=0=13,PYn=6=23×13,⋯,PYn=6k=23k×13,⋯,PYn=6n−6=23n−1× 13,PYn=6n=23n ，
所以 EYn=k=1n−16k×23k×13+6n×23n=2k=1n−1k×23k+6n×23n ，
设 Tn=k=1n−1k×23k=1×23+2×232+⋯+(n−1)×23n−1 ，
则 23Tn=232+2×233+⋯+(n−2)×23n−1+(n−1)×23n ，
故 13Tn=23+232+⋯+23n−1−(n−1)×23n=21−23n−1−(n−1)×23n ，
即 Tn=61−23n−1−3(n−1)×23n ，代入 EYn ，
故 EYn=12−12×23n−1−6(n−1)×23n+6n×23n=12−8×23n−1 ，
设 F(n)=EXn−EYn=n+8×23n−1−12 ，
易知，当 n≥12 时， F(n)>0 ，且 F(11)<0 ，
则满足题意的 N 最小为12．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣ax=2,a∈N，若A⊆N，则所有a的取值构成的集合为( )
A. {1,2}B. {1}C. {0,1,2}D. N
2.已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则a=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
3.已知向量a=(m,−3)，b=(3m,m+2)，且a⊥b，则m=( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 2或−2
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N100,σ2(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16，数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. 1600B. 1800C. 2100D. 2400
5.已知锐角θ满足2cs2θ=1+sin2θ，则tanθ=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
6.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去(底面不铺)，若购买油毡纸一平方米需要30元，则买油毡纸至少要花费的费用约为( )
A. 89元B. 110元C. 126元D. 138元
7.已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若AF=3BF，则椭圆C的离心率为( )
A. 13B. 22C. 12D. 32
8.已知a>0，设函数f(x)=x2+ax+1,x≤0,ex−ax,x>0,若存在x0，使得f(x0)
C. (1,+∞)D. (2 2−2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在2x−1 x6的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数之和为32B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 有理项的个数为3
10.已知等差数列an的公差d≠0，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. Snn是等差数列B. 若d<0，则Sn有最大值
C. Sn，S2n，S3n成等差数列D. 若Sm=Sn，m≠n，则Sm+n=0
11.已知函数fx的定义域为R，fx+y−fx−y=fx+32fy+32，f0≠0，则( )
A. f32=0 B. 函数fx是奇函数 C. f0=−2 D. fx的一个周期为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 ．
13.已知等比数列an各项均为 正数，前n项和为Sn，若a2=2，a1a5=16.则S5= ．
14.已知抛物线C:y2=6x，过P3,2的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4．
(1)求△ABC的外接圆的半径;
(2)若b+c=2，且A=2π3，求BC边上的高．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面ADP，AB//CD，CD=2AB=4，▵ADP是等边三角形，E为DP的中点．
(1)证明：AE⊥平面PDC；
(2)若PA=6，求平面PBC与平面ABE夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数fx=lnxx．
(1)求曲线y=fx在点e,fe处的切线方程；
(2)当x≥1时，xfx≤ax2−1，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1过点M3,4，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，▵PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
19.(本小题12分)
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为12，乙射击一次命中的概率为23，比赛共进行n轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击n次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．
(1)设甲同学在方案一中射击n轮次总得分为随机变是Xn，求EX20；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当n≥N时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.D
9.AC
10.ABD
11.AC
12.13
13.31
14.3x−2y−5=0
15.解：(1)依题意S=abc4=12bcsinA，所以asinA=2，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理得asinA=2R，得R=1，
所以△ABC的外接圆半径为1;
(2)由(1)可知，asinA=asin2π3=2，解得a=2sin2π3= 3，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，
即3=22−bc，解得bc=1，
设BC边上的高为ℎ，
则S=abc4=12a·ℎ，
所以ℎ=bc2=12．
16.解：(1)证明：由于▵ADP是等边三角形，E为DP的中点，
所以AE⊥PD，
又因为CD⊥平面ADP，AE⊂平面ADP，所以CD⊥AE，
又CD，PD⊂平面PDC，且CD∩PD=D，
所以AE⊥平面PDC；
(2)取PC的中点F，连接EF,BF，则由E是PD的中点，知EF是三角形PCD的中位线，故EF//CD，
因为CD⊥平面ADP，所以EF⊥平面ADP，
而EA，EP⊂平面ADP，故EF⊥EA，EF⊥EP，
故EA,EF,EP三线两两相互垂直，
以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x,y,z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，
则由CD=4，AB=2，EF=12CD=2，EP=ED=12PD=12PA=3，
EA= PA2−EP2= 36−9=3 3，知P3,0,0，B0,3 3,2，C−3,0,4，
所以PB=−3,3 3,2，PC=−6,0,4 ，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则
m⋅PB=0m⋅PC=0，即−3x+3 3y+2z=0−6x+4z=0,
令x=2，则y=0，z=3，故m=2,0,3 ，
显然平面ABE的一个法向量为n=1,0,0 ，
而cs m,n=m⋅n|m|·|n|=2 13×1=2 1313，
故平面PBC与平面ABE夹角的余弦值为2 1313．
17.(1)
由于fe=1e，则切点坐标为e,1e，
因为f′x=1−lnxx2，所以切线斜率为f′e=0，
故切线方程为y=1e；
(2)
当x∈1,+∞时，xfx
lnx
当0
x∈1, 12a时，g′1≤0，函数gx单调递减，gx≤g1=0，不符合题意；
当a≥12时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2−1≥0，则g′x≥0，
所以函数gx在1,+∞上单调递增gx≥g1=0，符合题意．
综上所述，a≥12，所以a的取值范围为[12,+∞)．
18.解：(1)
依题意左、右顶点分别为A−a,0，Ba,0，
所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，解得a2=1，
将M3,4代入x2−y2b2=1得9−16b2=1，解得b2=2，
故双曲线方程为x2−y22=1；
(2)
设Px1,y1，Qx2,y2，直线l的方程为x=ty+ 3，
将x=ty+ 3代入2x2−y2=2整理得(2t2−1)y2+4 3ty+4=0，Δ=16t2+1>0，
∴y1+y2=−4 3t2t2−1，y1y2=42t2−1，又由PF2=3F2Q⇒y1=−3y2，
代入上式得−2y2=−4 3t2t2−1−3y22=42t2−1，解得t2=111，−3y22=42t2−1=−449⇒y2=− 4427，
因为▵PQE的重心在x轴上，所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=−4 339，代入双曲线得xE=± 3459，
故E− 3459,−4 339或E 3459,−4 339．
19.解：(1)设 Zn=Xn2 ，故 Zn∼Bn,12 ，
所以 EXn=2EZn=n ，
故 EX20=20 ；
(2)由(1)知 EXn=n ，
设乙同学的总得分为随机变量 Yn,Yn 的所有可能取值为 0,6,12,⋯,6n ，
所以 PYn=0=13,PYn=6=23×13,⋯,PYn=6k=23k×13,⋯,PYn=6n−6=23n−1× 13,PYn=6n=23n ，
所以 EYn=k=1n−16k×23k×13+6n×23n=2k=1n−1k×23k+6n×23n ，
设 Tn=k=1n−1k×23k=1×23+2×232+⋯+(n−1)×23n−1 ，
则 23Tn=232+2×233+⋯+(n−2)×23n−1+(n−1)×23n ，
故 13Tn=23+232+⋯+23n−1−(n−1)×23n=21−23n−1−(n−1)×23n ，
即 Tn=61−23n−1−3(n−1)×23n ，代入 EYn ，
故 EYn=12−12×23n−1−6(n−1)×23n+6n×23n=12−8×23n−1 ，
设 F(n)=EXn−EYn=n+8×23n−1−12 ，
易知，当 n≥12 时， F(n)>0 ，且 F(11)<0 ，
则满足题意的 N 最小为12．
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