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2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z−(2−3i)=−1+i，那么复数z等于( )
A. 1−2iB. 1+4iC. −1−2iD. −1+4i
2.集合M={x|−1A. {x|−13.已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )
A. a>a+b2> ab>bB. a>b>a+b2> ab
C. a>a+b2>b> abD. a> ab>a+b2>b
4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A. 只有一条B. 无数条
C. 是平面α内的所有直线D. 不存在
5.已知a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且(a+2b)//(2a−b)，则( )
A. x=13,y=1B. x=12,y=−4C. x=2,y=−14D. x=1，y=−1
6.某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( )
A. 1.14B. 1.15C. 10×(1.16−1)D. 11×(1.15−1)
7.已知Cn3=Cn5，则An2=( )
A. 28B. 30C. 56D. 72
8.已知随机变量ξ～N(10,σ2)，2P(8<ξ<10)=3P(ξ>12)，则P(ξ<8)=( )
A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图图象中，表示函数关系y=f(x)的有( )
A. B.
C. D.
10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是( )
A. 直线AF与直线DE相交
B. 直线CN与直线DE平行
C. 直线BM与直线DE是异面直线
D. 直线CN与直线BM成60°角
11.已知曲线x216−m+y2m−4=1表示椭圆，则下列说法正确的是( )
A. m的取值范围为(4,16)
B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(10,16)
C. 若m=6，则该椭圆的焦距为4 2
D. 若椭圆的离心率为 63，则m=7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线4x+3y+3=0与8x+6y−9=0的距离是______．
13.不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2+bx+a>0的解集是______．
14.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，则a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知A=30°，B=105°，a=20，求c和S△ABC．
16.(本小题15分)
如图，棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM=4cm，AB=4cm，VC=5cm，求棱锥的体积．
17.(本小题15分)
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为0.5m．
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．
18.(本小题17分)
某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
(2)若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率．
19.(本小题17分)
已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn=an+2bn．
(1)数列{cn}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；
(2)若{an}，{bn}的公差都等于2，a1=b1=1，求数列{cn}的通项公式．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.B
6.D
7.C
8.D
9.AD
10.CD
11.BC
12.32
13.{x|x<−12或x>13}
14.3
15.解：∵A=30°，B=105°，a=20，
∴C=180°−A−B=45°，
∴由正弦定理asinA=csinC，可得c=a⋅sinCsinA=20× 2212=20 2，
∴S△ABC=12acsinB=12×20×20 2×sin105°=200 2×sin(45°+60°)=200 2×( 22×12+ 22× 32)=100+50 6．
16.解：由题意棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM=4cm，AB=4cm，VC=5cm，可知，MC=3，AC=6，BC=2 5，棱锥的底面面积为：2 5×4=8 5，
所以棱锥的体积为：13×8 5×4=32 53(cm3).
17.解：(1)以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，
建立直角坐标系xOy，
设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
代入点(0.5,2.4)，
可得2.42=2p⋅0.5，
解得p=5.76，
即抛物线的方程为y2=11.52x，
焦点为(2.88,0)；
(2)设抛物线的方程为y2=2mx(m>0)，
代入点(0.5,2.6)，
可得2.62=2m⋅0.5，
解得m=6.76，
即有抛物线的方程为y2=13.52x，
焦点为(3.38,0)．
18.解：(1)频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
即(0.01+0.02+a+0.06+0.05+0.02)×5=1，得a=0.04，
[60,75)的频率为(0.01+0.02+0.04)×5=0.35，
[75,80)的频率为0.06×5=0.3，
∴中位数为75+0.5−0.350.3×5=77.5．
(2)打分区间在[60,65)的同学共有40×0.01×5=2人，分别记为A，B，
打分区间在[65,70)的同学共有40×0.02×5=4人，分别记为a，b，c，d，
从这6人中随机抽出2位同学，共有以下15种情况：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，
其中，至少有一位同学来自打分区间[65,70)共有14种情况，分别为：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，
所以至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率为P=1415．
19.(1)解：数列{cn}是等差数列，证明如下：
由题意得d1=an−an−1，d2=bn−bn−1，
所以cn−cn−1=an−an−1+2(bn−bn−1)=d1+2d2，
故数列{cn}是等差数列；
(2)由(1)得cn−cn−1=3，c1=a1+2b1=3，
故cn=3+3(n−1)=3n．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z−(2−3i)=−1+i，那么复数z等于( )
A. 1−2iB. 1+4iC. −1−2iD. −1+4i
2.集合M={x|−1
A. a>a+b2> ab>bB. a>b>a+b2> ab
C. a>a+b2>b> abD. a> ab>a+b2>b
4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A. 只有一条B. 无数条
C. 是平面α内的所有直线D. 不存在
5.已知a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且(a+2b)//(2a−b)，则( )
A. x=13,y=1B. x=12,y=−4C. x=2,y=−14D. x=1，y=−1
6.某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( )
A. 1.14B. 1.15C. 10×(1.16−1)D. 11×(1.15−1)
7.已知Cn3=Cn5，则An2=( )
A. 28B. 30C. 56D. 72
8.已知随机变量ξ～N(10,σ2)，2P(8<ξ<10)=3P(ξ>12)，则P(ξ<8)=( )
A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图图象中，表示函数关系y=f(x)的有( )
A. B.
C. D.
10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是( )
A. 直线AF与直线DE相交
B. 直线CN与直线DE平行
C. 直线BM与直线DE是异面直线
D. 直线CN与直线BM成60°角
11.已知曲线x216−m+y2m−4=1表示椭圆，则下列说法正确的是( )
A. m的取值范围为(4,16)
B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(10,16)
C. 若m=6，则该椭圆的焦距为4 2
D. 若椭圆的离心率为 63，则m=7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线4x+3y+3=0与8x+6y−9=0的距离是______．
13.不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2+bx+a>0的解集是______．
14.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，则a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知A=30°，B=105°，a=20，求c和S△ABC．
16.(本小题15分)
如图，棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM=4cm，AB=4cm，VC=5cm，求棱锥的体积．
17.(本小题15分)
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为0.5m．
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．
18.(本小题17分)
某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
(2)若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率．
19.(本小题17分)
已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn=an+2bn．
(1)数列{cn}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；
(2)若{an}，{bn}的公差都等于2，a1=b1=1，求数列{cn}的通项公式．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.B
6.D
7.C
8.D
9.AD
10.CD
11.BC
12.32
13.{x|x<−12或x>13}
14.3
15.解：∵A=30°，B=105°，a=20，
∴C=180°−A−B=45°，
∴由正弦定理asinA=csinC，可得c=a⋅sinCsinA=20× 2212=20 2，
∴S△ABC=12acsinB=12×20×20 2×sin105°=200 2×sin(45°+60°)=200 2×( 22×12+ 22× 32)=100+50 6．
16.解：由题意棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM=4cm，AB=4cm，VC=5cm，可知，MC=3，AC=6，BC=2 5，棱锥的底面面积为：2 5×4=8 5，
所以棱锥的体积为：13×8 5×4=32 53(cm3).
17.解：(1)以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，
建立直角坐标系xOy，
设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
代入点(0.5,2.4)，
可得2.42=2p⋅0.5，
解得p=5.76，
即抛物线的方程为y2=11.52x，
焦点为(2.88,0)；
(2)设抛物线的方程为y2=2mx(m>0)，
代入点(0.5,2.6)，
可得2.62=2m⋅0.5，
解得m=6.76，
即有抛物线的方程为y2=13.52x，
焦点为(3.38,0)．
18.解：(1)频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
即(0.01+0.02+a+0.06+0.05+0.02)×5=1，得a=0.04，
[60,75)的频率为(0.01+0.02+0.04)×5=0.35，
[75,80)的频率为0.06×5=0.3，
∴中位数为75+0.5−0.350.3×5=77.5．
(2)打分区间在[60,65)的同学共有40×0.01×5=2人，分别记为A，B，
打分区间在[65,70)的同学共有40×0.02×5=4人，分别记为a，b，c，d，
从这6人中随机抽出2位同学，共有以下15种情况：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，
其中，至少有一位同学来自打分区间[65,70)共有14种情况，分别为：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，
所以至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率为P=1415．
19.(1)解：数列{cn}是等差数列，证明如下：
由题意得d1=an−an−1，d2=bn−bn−1，
所以cn−cn−1=an−an−1+2(bn−bn−1)=d1+2d2，
故数列{cn}是等差数列；
(2)由(1)得cn−cn−1=3，c1=a1+2b1=3，
故cn=3+3(n−1)=3n．
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