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2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|1A. {a|13}
2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，则“x=3”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列{an}的前15项之和为60，则a3+a13=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位：g)，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. 15B. 920C. 310D. 14
6.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
7.在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC，BC于点E，F，且二面角P−EF−C的平面角为60°，则所得截面PEF的面积最小值为( )
A. 43B. 83C. 23D. 1
8.已知A，B分别是双曲线C：x24−y2=1的左右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M，N两点，△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为( )
A. 316B. 34C. 34D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，方差为sy2，其中xi，yi满足关系式yi=axi+b(i=1,2,…,n)，则( )
A. y−=ax−+b
B. 若数据sx2=0，则x1=x2=…=xn
C. 数据x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均数为(a+1)x−+b
D. 若a>0，数据x1，x2，…，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)的相关系数为1
10.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且对∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，则下列说法中正确的是( )
A. ω=2
B. φ=π6
C. 函数y=f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}
D. 函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称
11.已知函数f(x)，g(x)在R上可导，若f(4−x)+g(x−2)=2，且f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，则下列结论正确的是( )
A. f′(2026)=0B. g(2025)=0
C. f(x)是R上的偶函数D. g′(x)是R上的偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则z0的虚部为______．
13.已知(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则|a1|+|a2|+…+|a5|= ______．
14.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|= ______；直线l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；
(Ⅱ)求二面角B−B1E−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(a−lnxx)(a>0)．
(1)讨论f(x)的最值；
(2)若a=1，且f(x)≤kex−xx，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 63．
(1)求C的方程；
(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM=λBM,AN=μBN．
(ⅰ)当μ=1λ=2时，求k的值；
(ⅱ)当λ+μ=3时，求点(0,− 3)到l的距离的最大值．
19.(本小题17分)
对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或−ai(i=2,3,4,…,n)作为新数列{bn}的第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5.已知数列{bn}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，Sn为数列{bn}的前n项和．
(Ⅰ)写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)若生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)证明：对于给定的n∈N∗，Sn的所有可能值组成的集合为{x|x=2k−12n,k∈N∗,k≤2n−1}.
答案解析
1.C
【解析】解：集合A={x|x2−4x+3<0}={x|1则a≥3，
故实数a的取值范围为{a|a≥3}．
故选：C．
根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.A
【解析】解：根据题意，向量a=(3,x)，b=(2x,6)，
当x=3时，a=(3,3)，b=(6,6)，必有a//b，
反之，若a//b，则有2x2=18，解可得x=±3，
故“x=3”是“a//b”的充分不必要条件；
故选：A．
根据题意，由向量平行的的坐标表示方法可得“x=3”与“a//b”的关系，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
3.C
【解析】解：因为等差数列{an}的前15项之和为60，
所以15(a1+a15)2=60，
故a1+a15=8，
则a3+a13=a1+a15=8．
故选：C．
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
4.B
【解析】解：由3σ原则可知，500−3σ≥488，
解得σ≤4，
即σ的最大值为4．
故选：B．
根据3σ原则可得500−3σ≥488，进而求出σ的最大值．
本题主要考查了3σ原则的应用，属于基础题．
5.A
【解析】解：中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”，
从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，
则取到的两位数为“吉数”的概率为P=2×42C41C51=15．
故选：A．
利用古典概型、排列组合求解．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.D
【解析】解：设切点为(m,n)，
由y=ln(x+a)，可得y′=1x+a，
则1m+a=1，即m+a=1，
可得n=ln(m+a)=0，
则切线方程为y=x−m，即x−y−m=0，
又圆心坐标为(0,0)，半径为 2，
则|−m| 1+1= 2，
解得m=±2，
若m=2，则a=−1，
若m=−2，则a=3．
故选：D．
设切点为(m,n)，根据题意可得m+a=1，n=0，且|−m| 1+1= 2，由此可得a的值．
本题考查导数的几何意义以及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.B
【解析】解：过P做PG⊥EF，垂足为G，连接CG，
则由三垂线定理可得：EF⊥CG，
所以∠PGC即为二面角角P−EF−C的平面角，即∠PGC=60°，
因为PC=2，
所以在三角形PEF中，斜边EF边上的高为PG=4 33，CG=2 33，
设CE=x，CF=y，则EF= x2+y2，
在三角形CEF中，x⋅y=2 33 x2+y2≥2 63 xy，可得到xy≥83，
所以三角形PEF的面积为12×4 33× x2+y2=xy≥83，
故截面PEF面积的最小值为83．
故选：B．
由二面角的定义可得∠PGC=60°，从而求得PG=4 33，CG=2 33，设CE=x，CF=y，由三角形的面积相等和基本不等式得到xy≥83，再由三角形的面积公式即可求得．
本题主要考查空间几何体中平面面积的计算问题，属于中档题．
8.A
【解析】解：由已知得A(−2,0)，B(2,0)，设双曲线C：x24−y2=1上动点P(x,y)，
则利用两点连线的斜率公式可知kPA=y−0x+2，kPB=y−0x−2，
∴kPA⋅kPB=y−0x+2⋅y−0x−2=y2x2−4=x24−1x2−4=14，
设直线PA方程为：y=k(x+2)，则直线PB方程为：y=14k(x−2)，
根据对称性不妨设k>0，令x=1，得yM=3k，yN=−14k，
即M(1,3k)，N(1,−14k)，则|MN|=3k+14k，
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得：2r1=|MN|sin∠MPN，2r2=|AB|sin∠APB，
又∵∠MPN=∠APB，∴sin∠MPN=sin∠APB，
∴r1r2=|MN||AB|=3k+14k4≥2 3k⋅14k4= 34，
当且仅当3k=14k，即k= 36时，等号成立，
由S1S2=πr12πr22=(r1r2)2，
所以S1S2的最小值为316．
故选：A．
设点P(x,y)，由已知可得kPA⋅kPB=14，设PA的斜率为k，不妨设k>0，进而求得M，N的坐标，可得△PMN，△PAB的外接圆半径的比为|MN||AB|=3k+14k4，可求S1S2的最小值．
本题考查双曲线的性质，考查转化能力，考查运算求解能力，属中档题．
9.ABD
【解析】解：对于A中，由平均数的线性公式，y−=ax−+b，所以A正确；
对于B中，由sx2=1ni=1n(xi−x−)2=0，因为(xi−x−)2≥0，故x1=x2=⋅⋅⋅=xn=x−，所以B正确；
对于C中，由x1+x2+⋯+xn+y1+y2+⋅⋅⋅+yn=n(x−+y−)=n[(a+1)x−+b]，
其平均数为n[(a+1)x−+b]2n=(a+1)x−+b2，所以C错误；
对于D中，若a>0，数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅，(xn,yn)都分布在直线yi=axi+b上，
根据样本相关系数的概念，可得相关系数为1，所以D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及相关系数的概念，逐项判定，即可求解．
本题主要考查平均数、方差的计算公式，以及相关系数的概念，属于基础题．
10.ACD
【解析】解：对于A，由函数f(x)=cs(ωx+φ)的最小正周期为π，得2πω=π，解得ω=2，A正确；
对于B，由∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，得f(π3)是f(x)的最小值，
则2×π3+φ=π+2nπ,n∈Z，而|φ|<π2，于是n=0,φ=π3，B错误；
对于C，f(x)=cs(2x+π3)，由2x+π3=2kπ,k∈Z，得x=kπ−π6,k∈Z，
所以f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}，C正确；
对于D，由f(π−x)=cs[2(π−x)+π3]=cs[2π−(2x−π3)]=cs(2x−π3)=g(x)，
得函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称，D正确．
故选：ACD．
利用给定周期及最小值求出ω，φ判断AB；求出极大值点判断C；利用对称求解判断D．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题．
11.AC
【解析】解：∵f(4−x)+g(x−2)=2，
∴f(x)+g(2−x)=2①，g(x)+f(2−x)=2④，
又f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，
∴f(x)=f(4−x)②，g(x)+g(2−x)=4③，
由①②可得2−g(2−x)=2−g(x−2)，
∴g(2−x)=g(x−2)，∴g(−x)=g(x)，∴g(x)为偶函数，
∴由③可得g(−x)+g(2−x)=4，
∴g(x)+g(x+2)=4，∴g(x+2)+g(x+4)=4，两式相减可得：
g(x)=g(x+4)，∴g(x)的周期为4，
又g(−1)+g(1)=4，∴2g(1)=4，∴g(1)=2，
∴g(2025)=g(4×506+1)=g(1)=2，∴B选项错误；
由④③可得2−f(2−x)+2−f(x)=4，∴f(2−x)+f(x)=0，
又由②知f(x)=f(4−x)，∴f(2−x)+f(4−x)=0，
∴f(x)+f(x+2)=0，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴由②知f(x)=f(4−x)=f(−x)，∴f(x)为偶函数，∴C选项正确；
对①②③分别关于x求导可得：
f′(x)−g′(2−x)=0⑤，f′(x)=−f′(4−x)⑥，g′(x)−g′(2−x)=0⑦，
∴由⑤可得g′(x)=f′(−x+2)，结合⑦可得：
f′(−x+2)−f′(x)=0，结合⑥可得f′(−x+2)=−f′(4−x)，
∴f′(x+2)=−f′(x)，∴f′(x+4)=−f′(x+2)=f′(x)，∴f′(x)的周期为4，
又由⑥可知f′(2)=−f′(2)，∴f′(2)=0，
∴f′(2026)=f′(4×506+2)=f′(2)=0，∴A选项正确；
由⑤可得f′(x)=g′(−x+2)，结合⑥可得g′(−x+2)=−g(x−2)，
∴g′(−x)=−g(x)，∴g′(x)为奇函数，∴D选项错误．
故选：AC．
根据原函数的对称性及周期性，再利用求导法则可得导函数的对称性及周期性，从而针对各个选项分别求解即可．
本题考查抽象函数的性质，原函数的对称性及周期性，导函数的对称性及周期性，化归转化思想，属难题．
12.−45
【解析】解：因为i3z0=−2+i1−2i，即−iz0=−2+i1−2i，
可得z0=−2+i−i(1−2i)=2−i2+i=(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，
所以z0的虚部是−45．
故答案为：−45．
根据虚数单位的性质结合除法运算整理可得z0=35−45i，即可得虚部．
本题考查了复数的运算，复数的概念，是基础题．
13.242
【解析】解：令x=0，得a0=1，
令x=−1，得a0−a1+a2−a3+a4−a5=(1+2)5=243．
故|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=242．
故答案为：242．
直接利用赋值法求出结果．
本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.4 ± 32
【解析】解：由题意知，F(1,0)，C(−1,0)，直线l的斜率一定存在，且不为0，
设直线l的方程为y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0联立y=k(x+1)y2=4x，得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，
则x1+x2=4−2k2k2，x1x2=1，Δ=(2k2−4)2−4k4=16(1−k2)>0，即k2<1，
所以x1−x2= (x1+x2)2−4x1x2= (4−2k2k2)2−4=4 1−k2k2，
因为BF为∠AFC的角平分线，
所以|AF||CF|=|AB||BC|，即x1+12=x1−x2x2+1，
所以x1x2+x1+x2+1=2(x1−x2)，
所以1+4−2k2k2+1=2⋅4 1−k2k2，解得k2=34，即k=± 32，
所以x1+x2=4−2k2k2=4−2×3434=103，
又x1x2=1，且0所以|AF|=x1+1=4，直线l的斜率为± 32．
故答案为：4；± 32．
设直线l的方程为y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握角分线定理，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.解：(1)由题可得如下列联表：
(2)零假设H0：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，
则χ2=200×(50×35−40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，
所以依据α=0.1的独立性检验，我们可以推断H0不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.1；
结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为59和49，服用药物中未患病和患病的频率分别为1522和722，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，
服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X=0)=C64C104=15210，P(X=1)=C63C41C104=80210，P(X=2)=C62C42C14=90210，
P(X=3)=C61C43C104=24210，P(X=4)=C44C104=1210，
所以X的分布列如下：
则E(X)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
【解析】(1)直接根据列联表的特征即可完成表格；
(2)零假设H0：药物与患病独立，先计算出χ2，然后根据小概率值α=0.1的独立性检验即可得出结论；再从概率的角度解释结论即可；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据所给数据求出每个取值对于的概率即可求解．
本题考查了概率统计相关知识的综合应用，属于中档题．
16.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，如图所示：
AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，
则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，
∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，
∴C1M⋅B1D=2−2+0=0，
∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴CC1⊥AC，
又CC1∩BC=C，CC1⊂平面BB1E，BC⊂平面BB1E，
∴AC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，
设平面B1ED的一个法向量n=(x,y,z)，ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，
∴n⋅ED=2x−z=0n⋅EB1=2y+z=0，取z=2，则x=1，y=−1，
∴平面B1ED的一个法向量n=(1,−1,2)，
∴cs=CA⋅n|CA|⋅|n|=22× 6= 66，
∴二面角B−B1E−D的正弦值为 1−cs= 1−( 66)2= 306．
【解析】(Ⅰ)由题意建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，利用向量法，即可证明结论；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，利用向量法，求出cs，即可得出答案．
本题考查空间向量的应用和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
17.解：(1)因为f(x)=x(a−lnxx)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a>0时，令f′(x)=0，可得x=1a，
当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x=1a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f(1a)=1+lna，无最大值；
(2)当a=1时，由f(x)≤kex−xx，可得x−lnx≤kex−xx，
整理得kex≥x2+x−xlnx，即k≥x2+x−xlnxex，
令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，
则ℎ′(x)=(2x+1−lnx−1)ex−(x2+x−xlnx)ex(ex)2=(x−lnx)(1−x)ex，
由(1)知，当a=1时，f(x)=x−lnx的最小值为f(1)=1>0，即x−lnx>0恒成立，
所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．
故当x=1时，ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=2e，
即k≥2e，
故k的取值范围为[2e,+∞)．
【解析】(1)求得f′(x)=ax−1x，结合导数的符号，求得函数f(x)的单调区间，进而求得其最值；
(2)把不等式转化为k≥x2+x−xlnxex，令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得k的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为 63，
所以2b=2ca= a2−b2a2= 63，
解得a= 3，b=1，
则C的方程为x23+y2=1；
(2)(ⅰ)易知A(0,m),B(−mk,0)，
因为AM=12BM，
所以OM=2OA−OB，
则M(mk,2m)，
因为AN=2BN，
所以ON=2OB−OA，
则N(−2mk,−m)，
因为M，N两点均在椭圆上，
所以m23k2+4m2=1，4m23k2+m2=1，
解得k2=13，
又k>0，
所以k= 33；
(ⅱ)联立y=kx+mx23+y2=1，消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
此时Δ=36k2m2−12(3k2+1)(m2−1)=12(3k2−m2+1)>0，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3m2−33k2+1，
因为AM=λBM,AN=μBN,A(0,m),B(−mk,0)，
所以x1=λ(x1+mk),x2=μ(x2+mk)，
此时λ+μ=x1x1+mk+x2x2+mk=2−mk(1x1+mk+1x2+mk)，
因为λ+μ=3，
所以k2x1x2+2mk(x1+x2)+3m2=0，
即3m2k2−3k23k2+1+−12m2k23k2+1+3m2=0，
整理得3m2k2−3k2−12m2k2+9m2k2+3m2=0，
解得k2=m2，
因为k>0，m>0，
所以k=m，
则直线l的方程为y=k(x+1)，
此时直线l过定点(−1,0)，
所以点(0,− 3)到l的最大距离为点(0,− 3)与点(−1,0)的距离d= 1+( 3)2=2，
即点(0,− 3)到l的距离的最大值为2．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
(2)(ⅰ)结合向量的坐标运算求出M，N两点的坐标，再代入椭圆公式中即可求解；
(ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算得到λ+μ的表达式，推出直线l的方程以及所过定点坐标，再根据几何性质进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.解：(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，
∴b2=±14 , b3=±18，
由于12+14+18=78,12+14−18=58 , 12−14+18=38 , 12−14−18=18，
∴S3可能值为18 , 38 , 58 , 78.…(3分)
(Ⅱ)∵S3n=17(1−18n)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=17(1−18)=18，
当n≥2时，a3n−2+a3n−1+a3n=S3n−S3n−3=17(1−18n)−17(1−18n−1)=18n，
∴a3n−2+a3n−1+a3n=18n，n∈N∗，…(5分)
∵{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，
∴b3n−2=±123n−2；b3n−1=±123n−1；b3n=±123n；
∴b3n−2+b3n−1+b3n=±123n−2±123n−1±123n=18n(±4±2±1)=18n(n∈N∗)，
在以上各种组合中，
当且仅当b3n−2=48n , b3n−1=−28n , b3n=−18n(n∈N∗)时，才成立．
∴bn=12n , n=3k−2 , −12n , n≠3k−2 . (k∈N∗).…(8分)
(Ⅲ)证明：Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形．12−122−123−…−12n≤Sn≤12+122+123+…+12n，即12n≤Sn≤2n−12n，
又Sn=2n−1±2n−2±2n−3±…±12n，分子必是奇数，
满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个．…(10分)
设数列{an}与数列{bn}为两个生成数列，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．
由于|ak|=|bk|=12k，不妨设ak>0，bk<0，
则Sn−Tn=(ak+ak+1+…+an)−(bk+bk+1+…+bn)≤2×12k−2×(12k+1+12k+2+…+12n)=2×12k−2×(12k−12n)=12n−1>0，
所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn.…(12分)
∴Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同．
∴Sn可能值必恰为12n , 32n , 52n , … , 2n−12n，共2n−1个．
即Sn所有可能值集合为{x|x=2k−12n , k∈N∗ , k≤2n−1}.…(13分)
【解析】(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，即可写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，结合{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，即可求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个，证明只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn，可得Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同，即可得出结论．
本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
X
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210
1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|1
2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，则“x=3”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列{an}的前15项之和为60，则a3+a13=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位：g)，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. 15B. 920C. 310D. 14
6.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
7.在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC，BC于点E，F，且二面角P−EF−C的平面角为60°，则所得截面PEF的面积最小值为( )
A. 43B. 83C. 23D. 1
8.已知A，B分别是双曲线C：x24−y2=1的左右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M，N两点，△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为( )
A. 316B. 34C. 34D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，方差为sy2，其中xi，yi满足关系式yi=axi+b(i=1,2,…,n)，则( )
A. y−=ax−+b
B. 若数据sx2=0，则x1=x2=…=xn
C. 数据x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均数为(a+1)x−+b
D. 若a>0，数据x1，x2，…，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)的相关系数为1
10.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且对∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，则下列说法中正确的是( )
A. ω=2
B. φ=π6
C. 函数y=f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}
D. 函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称
11.已知函数f(x)，g(x)在R上可导，若f(4−x)+g(x−2)=2，且f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，则下列结论正确的是( )
A. f′(2026)=0B. g(2025)=0
C. f(x)是R上的偶函数D. g′(x)是R上的偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则z0的虚部为______．
13.已知(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则|a1|+|a2|+…+|a5|= ______．
14.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|= ______；直线l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；
(Ⅱ)求二面角B−B1E−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(a−lnxx)(a>0)．
(1)讨论f(x)的最值；
(2)若a=1，且f(x)≤kex−xx，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 63．
(1)求C的方程；
(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM=λBM,AN=μBN．
(ⅰ)当μ=1λ=2时，求k的值；
(ⅱ)当λ+μ=3时，求点(0,− 3)到l的距离的最大值．
19.(本小题17分)
对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或−ai(i=2,3,4,…,n)作为新数列{bn}的第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5.已知数列{bn}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，Sn为数列{bn}的前n项和．
(Ⅰ)写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)若生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)证明：对于给定的n∈N∗，Sn的所有可能值组成的集合为{x|x=2k−12n,k∈N∗,k≤2n−1}.
答案解析
1.C
【解析】解：集合A={x|x2−4x+3<0}={x|1
故实数a的取值范围为{a|a≥3}．
故选：C．
根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.A
【解析】解：根据题意，向量a=(3,x)，b=(2x,6)，
当x=3时，a=(3,3)，b=(6,6)，必有a//b，
反之，若a//b，则有2x2=18，解可得x=±3，
故“x=3”是“a//b”的充分不必要条件；
故选：A．
根据题意，由向量平行的的坐标表示方法可得“x=3”与“a//b”的关系，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
3.C
【解析】解：因为等差数列{an}的前15项之和为60，
所以15(a1+a15)2=60，
故a1+a15=8，
则a3+a13=a1+a15=8．
故选：C．
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
4.B
【解析】解：由3σ原则可知，500−3σ≥488，
解得σ≤4，
即σ的最大值为4．
故选：B．
根据3σ原则可得500−3σ≥488，进而求出σ的最大值．
本题主要考查了3σ原则的应用，属于基础题．
5.A
【解析】解：中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”，
从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，
则取到的两位数为“吉数”的概率为P=2×42C41C51=15．
故选：A．
利用古典概型、排列组合求解．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.D
【解析】解：设切点为(m,n)，
由y=ln(x+a)，可得y′=1x+a，
则1m+a=1，即m+a=1，
可得n=ln(m+a)=0，
则切线方程为y=x−m，即x−y−m=0，
又圆心坐标为(0,0)，半径为 2，
则|−m| 1+1= 2，
解得m=±2，
若m=2，则a=−1，
若m=−2，则a=3．
故选：D．
设切点为(m,n)，根据题意可得m+a=1，n=0，且|−m| 1+1= 2，由此可得a的值．
本题考查导数的几何意义以及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.B
【解析】解：过P做PG⊥EF，垂足为G，连接CG，
则由三垂线定理可得：EF⊥CG，
所以∠PGC即为二面角角P−EF−C的平面角，即∠PGC=60°，
因为PC=2，
所以在三角形PEF中，斜边EF边上的高为PG=4 33，CG=2 33，
设CE=x，CF=y，则EF= x2+y2，
在三角形CEF中，x⋅y=2 33 x2+y2≥2 63 xy，可得到xy≥83，
所以三角形PEF的面积为12×4 33× x2+y2=xy≥83，
故截面PEF面积的最小值为83．
故选：B．
由二面角的定义可得∠PGC=60°，从而求得PG=4 33，CG=2 33，设CE=x，CF=y，由三角形的面积相等和基本不等式得到xy≥83，再由三角形的面积公式即可求得．
本题主要考查空间几何体中平面面积的计算问题，属于中档题．
8.A
【解析】解：由已知得A(−2,0)，B(2,0)，设双曲线C：x24−y2=1上动点P(x,y)，
则利用两点连线的斜率公式可知kPA=y−0x+2，kPB=y−0x−2，
∴kPA⋅kPB=y−0x+2⋅y−0x−2=y2x2−4=x24−1x2−4=14，
设直线PA方程为：y=k(x+2)，则直线PB方程为：y=14k(x−2)，
根据对称性不妨设k>0，令x=1，得yM=3k，yN=−14k，
即M(1,3k)，N(1,−14k)，则|MN|=3k+14k，
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得：2r1=|MN|sin∠MPN，2r2=|AB|sin∠APB，
又∵∠MPN=∠APB，∴sin∠MPN=sin∠APB，
∴r1r2=|MN||AB|=3k+14k4≥2 3k⋅14k4= 34，
当且仅当3k=14k，即k= 36时，等号成立，
由S1S2=πr12πr22=(r1r2)2，
所以S1S2的最小值为316．
故选：A．
设点P(x,y)，由已知可得kPA⋅kPB=14，设PA的斜率为k，不妨设k>0，进而求得M，N的坐标，可得△PMN，△PAB的外接圆半径的比为|MN||AB|=3k+14k4，可求S1S2的最小值．
本题考查双曲线的性质，考查转化能力，考查运算求解能力，属中档题．
9.ABD
【解析】解：对于A中，由平均数的线性公式，y−=ax−+b，所以A正确；
对于B中，由sx2=1ni=1n(xi−x−)2=0，因为(xi−x−)2≥0，故x1=x2=⋅⋅⋅=xn=x−，所以B正确；
对于C中，由x1+x2+⋯+xn+y1+y2+⋅⋅⋅+yn=n(x−+y−)=n[(a+1)x−+b]，
其平均数为n[(a+1)x−+b]2n=(a+1)x−+b2，所以C错误；
对于D中，若a>0，数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅，(xn,yn)都分布在直线yi=axi+b上，
根据样本相关系数的概念，可得相关系数为1，所以D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及相关系数的概念，逐项判定，即可求解．
本题主要考查平均数、方差的计算公式，以及相关系数的概念，属于基础题．
10.ACD
【解析】解：对于A，由函数f(x)=cs(ωx+φ)的最小正周期为π，得2πω=π，解得ω=2，A正确；
对于B，由∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，得f(π3)是f(x)的最小值，
则2×π3+φ=π+2nπ,n∈Z，而|φ|<π2，于是n=0,φ=π3，B错误；
对于C，f(x)=cs(2x+π3)，由2x+π3=2kπ,k∈Z，得x=kπ−π6,k∈Z，
所以f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}，C正确；
对于D，由f(π−x)=cs[2(π−x)+π3]=cs[2π−(2x−π3)]=cs(2x−π3)=g(x)，
得函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称，D正确．
故选：ACD．
利用给定周期及最小值求出ω，φ判断AB；求出极大值点判断C；利用对称求解判断D．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题．
11.AC
【解析】解：∵f(4−x)+g(x−2)=2，
∴f(x)+g(2−x)=2①，g(x)+f(2−x)=2④，
又f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，
∴f(x)=f(4−x)②，g(x)+g(2−x)=4③，
由①②可得2−g(2−x)=2−g(x−2)，
∴g(2−x)=g(x−2)，∴g(−x)=g(x)，∴g(x)为偶函数，
∴由③可得g(−x)+g(2−x)=4，
∴g(x)+g(x+2)=4，∴g(x+2)+g(x+4)=4，两式相减可得：
g(x)=g(x+4)，∴g(x)的周期为4，
又g(−1)+g(1)=4，∴2g(1)=4，∴g(1)=2，
∴g(2025)=g(4×506+1)=g(1)=2，∴B选项错误；
由④③可得2−f(2−x)+2−f(x)=4，∴f(2−x)+f(x)=0，
又由②知f(x)=f(4−x)，∴f(2−x)+f(4−x)=0，
∴f(x)+f(x+2)=0，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴由②知f(x)=f(4−x)=f(−x)，∴f(x)为偶函数，∴C选项正确；
对①②③分别关于x求导可得：
f′(x)−g′(2−x)=0⑤，f′(x)=−f′(4−x)⑥，g′(x)−g′(2−x)=0⑦，
∴由⑤可得g′(x)=f′(−x+2)，结合⑦可得：
f′(−x+2)−f′(x)=0，结合⑥可得f′(−x+2)=−f′(4−x)，
∴f′(x+2)=−f′(x)，∴f′(x+4)=−f′(x+2)=f′(x)，∴f′(x)的周期为4，
又由⑥可知f′(2)=−f′(2)，∴f′(2)=0，
∴f′(2026)=f′(4×506+2)=f′(2)=0，∴A选项正确；
由⑤可得f′(x)=g′(−x+2)，结合⑥可得g′(−x+2)=−g(x−2)，
∴g′(−x)=−g(x)，∴g′(x)为奇函数，∴D选项错误．
故选：AC．
根据原函数的对称性及周期性，再利用求导法则可得导函数的对称性及周期性，从而针对各个选项分别求解即可．
本题考查抽象函数的性质，原函数的对称性及周期性，导函数的对称性及周期性，化归转化思想，属难题．
12.−45
【解析】解：因为i3z0=−2+i1−2i，即−iz0=−2+i1−2i，
可得z0=−2+i−i(1−2i)=2−i2+i=(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，
所以z0的虚部是−45．
故答案为：−45．
根据虚数单位的性质结合除法运算整理可得z0=35−45i，即可得虚部．
本题考查了复数的运算，复数的概念，是基础题．
13.242
【解析】解：令x=0，得a0=1，
令x=−1，得a0−a1+a2−a3+a4−a5=(1+2)5=243．
故|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=242．
故答案为：242．
直接利用赋值法求出结果．
本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.4 ± 32
【解析】解：由题意知，F(1,0)，C(−1,0)，直线l的斜率一定存在，且不为0，
设直线l的方程为y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0
则x1+x2=4−2k2k2，x1x2=1，Δ=(2k2−4)2−4k4=16(1−k2)>0，即k2<1，
所以x1−x2= (x1+x2)2−4x1x2= (4−2k2k2)2−4=4 1−k2k2，
因为BF为∠AFC的角平分线，
所以|AF||CF|=|AB||BC|，即x1+12=x1−x2x2+1，
所以x1x2+x1+x2+1=2(x1−x2)，
所以1+4−2k2k2+1=2⋅4 1−k2k2，解得k2=34，即k=± 32，
所以x1+x2=4−2k2k2=4−2×3434=103，
又x1x2=1，且0
故答案为：4；± 32．
设直线l的方程为y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0
15.解：(1)由题可得如下列联表：
(2)零假设H0：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，
则χ2=200×(50×35−40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，
所以依据α=0.1的独立性检验，我们可以推断H0不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.1；
结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为59和49，服用药物中未患病和患病的频率分别为1522和722，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，
服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X=0)=C64C104=15210，P(X=1)=C63C41C104=80210，P(X=2)=C62C42C14=90210，
P(X=3)=C61C43C104=24210，P(X=4)=C44C104=1210，
所以X的分布列如下：
则E(X)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
【解析】(1)直接根据列联表的特征即可完成表格；
(2)零假设H0：药物与患病独立，先计算出χ2，然后根据小概率值α=0.1的独立性检验即可得出结论；再从概率的角度解释结论即可；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据所给数据求出每个取值对于的概率即可求解．
本题考查了概率统计相关知识的综合应用，属于中档题．
16.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，如图所示：
AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，
则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，
∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，
∴C1M⋅B1D=2−2+0=0，
∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴CC1⊥AC，
又CC1∩BC=C，CC1⊂平面BB1E，BC⊂平面BB1E，
∴AC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，
设平面B1ED的一个法向量n=(x,y,z)，ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，
∴n⋅ED=2x−z=0n⋅EB1=2y+z=0，取z=2，则x=1，y=−1，
∴平面B1ED的一个法向量n=(1,−1,2)，
∴cs
∴二面角B−B1E−D的正弦值为 1−cs
【解析】(Ⅰ)由题意建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，利用向量法，即可证明结论；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，利用向量法，求出cs
本题考查空间向量的应用和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
17.解：(1)因为f(x)=x(a−lnxx)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a>0时，令f′(x)=0，可得x=1a，
当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x=1a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f(1a)=1+lna，无最大值；
(2)当a=1时，由f(x)≤kex−xx，可得x−lnx≤kex−xx，
整理得kex≥x2+x−xlnx，即k≥x2+x−xlnxex，
令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，
则ℎ′(x)=(2x+1−lnx−1)ex−(x2+x−xlnx)ex(ex)2=(x−lnx)(1−x)ex，
由(1)知，当a=1时，f(x)=x−lnx的最小值为f(1)=1>0，即x−lnx>0恒成立，
所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．
故当x=1时，ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=2e，
即k≥2e，
故k的取值范围为[2e,+∞)．
【解析】(1)求得f′(x)=ax−1x，结合导数的符号，求得函数f(x)的单调区间，进而求得其最值；
(2)把不等式转化为k≥x2+x−xlnxex，令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得k的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为 63，
所以2b=2ca= a2−b2a2= 63，
解得a= 3，b=1，
则C的方程为x23+y2=1；
(2)(ⅰ)易知A(0,m),B(−mk,0)，
因为AM=12BM，
所以OM=2OA−OB，
则M(mk,2m)，
因为AN=2BN，
所以ON=2OB−OA，
则N(−2mk,−m)，
因为M，N两点均在椭圆上，
所以m23k2+4m2=1，4m23k2+m2=1，
解得k2=13，
又k>0，
所以k= 33；
(ⅱ)联立y=kx+mx23+y2=1，消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
此时Δ=36k2m2−12(3k2+1)(m2−1)=12(3k2−m2+1)>0，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3m2−33k2+1，
因为AM=λBM,AN=μBN,A(0,m),B(−mk,0)，
所以x1=λ(x1+mk),x2=μ(x2+mk)，
此时λ+μ=x1x1+mk+x2x2+mk=2−mk(1x1+mk+1x2+mk)，
因为λ+μ=3，
所以k2x1x2+2mk(x1+x2)+3m2=0，
即3m2k2−3k23k2+1+−12m2k23k2+1+3m2=0，
整理得3m2k2−3k2−12m2k2+9m2k2+3m2=0，
解得k2=m2，
因为k>0，m>0，
所以k=m，
则直线l的方程为y=k(x+1)，
此时直线l过定点(−1,0)，
所以点(0,− 3)到l的最大距离为点(0,− 3)与点(−1,0)的距离d= 1+( 3)2=2，
即点(0,− 3)到l的距离的最大值为2．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
(2)(ⅰ)结合向量的坐标运算求出M，N两点的坐标，再代入椭圆公式中即可求解；
(ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算得到λ+μ的表达式，推出直线l的方程以及所过定点坐标，再根据几何性质进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.解：(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，
∴b2=±14 , b3=±18，
由于12+14+18=78,12+14−18=58 , 12−14+18=38 , 12−14−18=18，
∴S3可能值为18 , 38 , 58 , 78.…(3分)
(Ⅱ)∵S3n=17(1−18n)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=17(1−18)=18，
当n≥2时，a3n−2+a3n−1+a3n=S3n−S3n−3=17(1−18n)−17(1−18n−1)=18n，
∴a3n−2+a3n−1+a3n=18n，n∈N∗，…(5分)
∵{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，
∴b3n−2=±123n−2；b3n−1=±123n−1；b3n=±123n；
∴b3n−2+b3n−1+b3n=±123n−2±123n−1±123n=18n(±4±2±1)=18n(n∈N∗)，
在以上各种组合中，
当且仅当b3n−2=48n , b3n−1=−28n , b3n=−18n(n∈N∗)时，才成立．
∴bn=12n , n=3k−2 , −12n , n≠3k−2 . (k∈N∗).…(8分)
(Ⅲ)证明：Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形．12−122−123−…−12n≤Sn≤12+122+123+…+12n，即12n≤Sn≤2n−12n，
又Sn=2n−1±2n−2±2n−3±…±12n，分子必是奇数，
满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个．…(10分)
设数列{an}与数列{bn}为两个生成数列，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．
由于|ak|=|bk|=12k，不妨设ak>0，bk<0，
则Sn−Tn=(ak+ak+1+…+an)−(bk+bk+1+…+bn)≤2×12k−2×(12k+1+12k+2+…+12n)=2×12k−2×(12k−12n)=12n−1>0，
所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn.…(12分)
∴Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同．
∴Sn可能值必恰为12n , 32n , 52n , … , 2n−12n，共2n−1个．
即Sn所有可能值集合为{x|x=2k−12n , k∈N∗ , k≤2n−1}.…(13分)
【解析】(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，即可写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，结合{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，即可求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个，证明只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn，可得Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同，即可得出结论．
本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
X
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210
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