2024年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，数轴上表示实数 5的点可能是( )
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
2.据统计，“五一”期间，长春市接待游客9228000人次，占全省的50.25%.9228000这个数用科学记数法表示为( )
A. 9228×103B. 9.228×106C. 9.228×107D. 0.9228×107
3.已知x<2，下列不等式一定成立的是( )
A. x+1>3B. x−2<0C. −x<−2D. 12x>1
4.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 5− 5=2C. 2× 3= 6D. 6÷ 3=2
5.如图是由6个相同的小正方体组合而成的立体图形，其中的4个小正方体标注了数字，若移走1个小正方体后，该立体图形的左视图发生改变，则移走的小正方体上标注的数字为( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
6.综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验.如图①，一个质地均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字(指针指向边界时不计录结果，重新转动一次).其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图②所示，则这个小组记录的试验可能是( )
A. 指针指向的数字能被3整除B. 指针指向的数字是偶数
C. 指针指向的数字比6大D. 指针指向的数字能被5整除
7.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长为4米，AD长为1米，点C与点N重合.道闸打开的过程中，如图②，边AD固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边BC始终与边AD平行.当道闸打开至∠PDE=36°时，边CD上一点P到地面的距离PE为0.8米，则点P到MN的距离PF的长为( )
A. (4−0.8sin36°)米B. (4−0.8tan36°)米
C. (4−0.8sin36∘)米D. (4−0.8tan36∘)米
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，连结OA、OB，过点A作AC⊥y轴于点C，交BO于点D.若ODBD=12，△OAD的面积为4，则k的值为( )
A. −92
B. −8
C. −9
D. −16
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：3−1+(2+π)0= ______．
10.若抛物线y=x2+2x与直线y=m有两个公共点，则m的取值范围为______．
11.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是______．
12.如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM、DN交于点O，与主光轴分别交于点F1、F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差.若∠ABM=167°，∠CDN=158°，则∠F1OF2的大小为______°.
13.如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______.(结果保留π)
14.野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分.通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)进行的测量，得到以下数据：
给出下面四个结论：
①野兔本次跳跃到最大高度时，距离起跳点1.2m；
②野兔本次跳跃的最大高度为0.98m；
③野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m；
④若在野兔起跳点前方1.8m处有高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能跃过篱笆．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+3x−2)÷x2−1x−2，其中x= 3+1．
16.(本小题6分)
在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字0、1、2，每个小球除数字不同外其余均相同.小林和小春玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局.小林从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小春再从口袋中摸出一个小球.用画树状图(或列表)的方法，求小春获胜的概率．
17.(本小题6分)
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件和揽件数量.某快递公司的快递员小李送件100件和揽件40件，提成为230元；送件120件和揽件20件，提成为220元.求快递员小李送1件货物和揽1件货物的提成分别为多少元？
18.(本小题7分)
如图，AB//CD，AD//BC，BF⊥CD于点F，DE⊥BC于点E，且BF=DE，分别延长AD和BF交于点G．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠A=45°，则ADDG的值为______．
19.(本小题7分)
为了增强学生的英语听说能力，某校九年级开展了两次英语听力测试，每次测试成绩满分均为100分，从中随机抽取30名学生两次测试的成绩，整理如下：
(1)甲同学第一次测试成绩是83分，第二次测试成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的测试成绩的点．
(2)在抽取的30名学生中，
①第二次测试成绩高于90分的学生有______人.
②第一次测试成绩高于第二次测试成绩的学生有______人.
(3)若两次测试的平均成绩不低于85分为优秀，利用样本估计该校九年级720名学生中有多少名学生的两次测试成绩的平均成绩为优秀．
20.(本小题7分)
图①、图②均是9×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，按要求完成下列问题．
(1)线段AB的长为______．
(2)只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
①在图①中，作△ABC的角平分线BD．
②在图②中，作△ABC内切圆与AB的切点P．
21.(本小题8分)
一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，0.4ℎ后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以每小时80km的速度匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车各自距A地的路程y(km)与货车出发时间x(ℎ)之间的函数图象如图所示．
(1)a= ______，b= ______．
(2)求货车返回过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当两车相距20km时，直接写出货车行驶的时间．
22.(本小题9分)
【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为2，点A是⊙O外的一个定点，OA=4.点P在⊙O上，作点P关于点A的对称点Q，连结PA、AQ.当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，延长OA至点M，使AM=OA，连结OP、MQ，通过证明△OAP≌△MAQ，可推出点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.下面是部分证明过程：
证明：延长OA至点M，使AM=OA，连结OP、MQ．
1°当点P在直线OA外时，
2°当点P在直线OA上时，
易知OP=MQ=2．
综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，连结EF，点O是EF中点，点M是线段OF上的任意一点，AB=4，BC=8.点P是平面内一点，AP=2，连结AP.作点P关于点M的对称点Q，连结PM、MQ．
(1)当点M是线段OF中点时，点Q的运动路径长为______．
(2)当点M在线段OF上运动时，连结EQ.设线段EQ长度的最大值为a，最小值为b，则a+b= ______．
23.(本小题10分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，点M在边AB上，且AM=10，过点M作MH⊥AB，交AC于点H，MH=5.动点P从点M出发，沿折线MB−BC向终点C运动.作∠PMQ=90°，MQ交边AC于点Q，连结PQ．
(1)线段BC的长为______．
(2)如图②，当点P在边BC上运动时，△PMQ的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由．
(3)当PQ与△ABC的一边平行时，求线段PQ的长．
(4)当点P在边BC上运动时，作点M关于直线PQ的对称点N，连结PN、QN.当△ABC的边将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，直接写出线段PB的长．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx(b为常数)经过点M(5,5).点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为(m−2,m)，连结PQ、QM．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)连结PM，当PM⊥y轴时，求m的值．
(3)以线段PQ、QM为邻边构造▱PQMN，
①边PN的长的最小值为______，此时▱PQMN的面积为______．
②当m<5，且抛物线在▱PQMN的内部(不含▱PQMN的边界)的部分的y值随x的增大而增大或随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.43
10.m>−1
11.同位角相等，两直线平行．
12.145
13.21π2
14.②③
15.解：原式=x−2+3x−2⋅x−2(x+1)(x−1)
=x+1x−2⋅x−2(x+1)(x−1)
=1x−1；
当x= 3+1时，原式=1 3+1−1= 33．
16.解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小春获胜的结果有：(0,1)，(0,2)，(1,2)，共3种，
小春获胜的概率为39=13．
17.解：设快递员小李送1件货物提成为x元，揽1件货物的提成为y元，
根据题意得：100x+40y=230120x+20y=220，
解得：x=1.5y=2；
答：快递员小李送1件货物提成为1.5元，揽1件货物的提成为2元．
18.(1)证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BF⊥CD，DE⊥BC，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅DE=CD⋅BF，
又∵BF=DE，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)1+ 2．
19.(1)如图所示：
(2)①15，②18；
(3)∵在抽取的30名学生中，两次测试的平均成绩不低于85分有17人，
∴720×1730=408(名)，
答：估计该校九年级720名学生中有408名学生的两次测试成绩的平均成绩为优秀．
20.(1)5 2；
(2)①如图1中，线段BD即为所求；
②如图2中，点P即为所求．
21.(1)60；32；
(2)设货车返回过程中y与x之间的函数关系式为y=kx+b，且函数图象过(1,60)(2,0)，
k+b=602k+b=0，解得k=−60b=120，
∴货车返回过程中y与x之间的函数关系式为y=−60x+120(1≤x≤2)；
(3)设货车从A地驶向B地的过程中y与x之间的函数关系式为y=k1x(k1为常数，且k1≠0)．
将坐标(0.75,60)代入y=k1x，
得0.75k1=60，
解得k1=80，
∴y=80x(0≤x≤0.75)，
∴货车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y=80x(0≤x≤0.75)60(0.75≤x≤1)−60x+120(1≤x≤2)；
设巡逻车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y=k2x+b1(k2、b1为常数，且k1≠0)．
将坐标(0,30)和(2,60)分别代入y=k2x+b1，
得b1=322k2+b1=60，
解得k=14b=32，
∴巡逻车离A地的路程y与货车出发时间x之间的函数关系式为y=14x+32(0≤x≤2)．
当0≤x<0.75时，|80x−(14x+32)|=20，解得x=211或x=2633(不符合题意，舍去)；
当0.75≤x<1时，|60−(14x+32)|=20，解得x=47(不符合题意，舍去)或x=247(不符合题意，舍去)；
当1≤x≤2时，|−60x+120−(14x+32)|=20，解得x=3437(不符合题意，舍去)或x=5437；
∴x=211或5437．
∴当两车相距20km时，货车行驶的时间为211ℎ或5437ℎ.
22.【问题解决】证明：延长OA至点M，使AM=OA，连接OP、MQ，
1°当点P在直线OA外时，在△AOP和△AMQ中，
AO=AM∠OAP=∠MAQ,AP=AQ
∴△AOP≌△AMQ(SAS)，
∴QM=OP=2；
2°当点P在直线OA上时，则OP=MQ=2，
综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆；
【结论应用】4π；
(2)由【问题解决】可得，点Q的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点M与点O重合时，此时点Q的运动路径为以C为圆心，2为半径的圆，连接CE交圆C于Q，此时EQ的长度最小，
由题意得BE=12AB=2，CQ=2，BC=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得CE= BC2+EB2= 82+22=2 17，
∴线段EQ长度的最小值为b=2 17−2；
如图，当点M与点F重合时，此时点Q的运动路径为以G为圆心，2为半径的圆，连接CG，连接EG交圆G于Q，此时EQ的长度最大，
由题意得AF=FG，DF=CF，
∵∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF(SAS)，
∴∠D=∠GCF=90°，CG=AD=8，
∵∠DCB+∠GCF=180°，
∴E、C、G在同一直线上，
∴BG=BC+CG=8+8=16，
∴EG= BE2+BG2= 22+162=2 65，
∴线段EQ长度的最大值为a=2 65+2，
∴a+b=2 65+2+2 17−2=2 65+2 17，
23.(1)3 5；
(2)证明：∵AM=10，AB=15，
∴BM=15−10=5，
∴MH=BM=5，
∵∠A+∠B=∠A+∠AHM=90°，
∴∠B=∠AHM，
∵MP⊥MQ，
∴∠PMQ=90°，
∴∠HMQ+∠HMP=∠HMP+∠PMB=90°，
∴∠HMQ=∠PMB，
∴△MHQ≌△MBP，
∴MP=MQ，
∴△PMQ为等腰直角三角形；
(3)解：当点P在BM上，PQ//BC时，如图所示，
∵AM=10，MH=5，
∴AQ= AM2+MQ2= 102+52=5 5，
∴CQ=AC−AQ=6 5−5 5= 5，
∵PQ/​/BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴AQAC=PQBC，
即5 56 5=PQ3 5，
解得PQ=5 52；
当点P在BC上，PQ//AB时，如图所示，
∵PQ//AB，MH⊥AB，
∴MH⊥PQ，
∵△PMQ为等腰直角三角形，∠PMQ=90°，
∴MK=KQ=KP=12PQ，
∵PQ//AB，
∴△HQK∽△HAM，
∴QKAM=HKHM，
即12PQ10=HK5，
∴HK=14PQ，
∴HK+KM=14PQ+12PQ=34PQ=5，
解得PQ=203，
综上，PQ=5 52或203；
(4)解：根据(2)可知△PMQ为等腰直角三角形，∠PMQ=90°，MP=MQ，
∵M与N关于直线PQ对称，
∴NQ=MQ，NP=MP，
∴MQ=NQ=NP=MP，
∴四边形MPNQ为菱形，
∵∠PMQ=90°，
∴四边形MPNQ为正方形，
∴S△MPQ=S△NPQ，
根据(2)可知△MQH≌△MPB，
∴PB=QH，
当BC将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，如图所示，
∵S△MPQ=S△NPQ，S△PNE：S四边形PMQE=1：9，
∴S△PNE：S△PQE=1：4，
∴NEQE=14，
∵QN=PN，
∴NENP=NENQ=15，
∵∠ACB=∠PNQ=90°，∠CEQ=∠NEP，
∴△CEQ∽△NEP，
∴CECQ=NENP=15，
设CE=x，则CQ=5x，
根据(3)可知CH= 5，
∴PB=QH=5x− 5，
在Rt△CEQ中，根据勾股定理得QE= CE2+CQ2= 26x，
∴NE=14EQ= 264x，
∴NP=NQ= 26x+ 264x=5 264x，
在Rt△PEN中，根据勾股定理得PE= NE2+NP2=132x，
∴CE+EP+PB=x+132x+5x− 5=3 5，
解得x=8 525，
∴PB=5x− 5=5×8 525− 5=3 55；
当AC将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，如图所示，
∵S△MPQ=S△NPQ，S△QNE：S四边形PMQE=1：9，
∴S△QNE：S△PQE=1：4，
∴NEPE=14，
∵QN=PN，
∴NENP=NENQ=15，
∵∠ACB=∠PNQ=90°，∠CEP=∠NEQ，
∴△CEP∽△NEQ，
∴CECP=NENQ=15，
设CE=x，则CP=5x，
在Rt△CEP中，根据勾股定理得PE= CE2+CP2= 26x，
∴NE=14EP= 264x，
∴NP=NQ= 26x+ 264x=5 264x，
在Rt△QEN中，根据勾股定理得QE= NE2+NQ2=132x，
∴CQ=CE+QE=x+132x=152x，
根据(3)可知CH= 5，
∴PB=QH=152x− 5，
∴CP+PB=5x+152x− 5=3 5，
解得x=8 525，
∴PB=152x− 5=152×8 525− 5=7 55；
综上，PB的长为3 55或7 55．
24.解：(1)将(5,5)代入y=x2+bx，
∴25+5b=5，
∴b=−4，
∴y=x2−4x；
(2)∵点P在抛物线上，且横坐标为m，∴点P的坐标为(m,m2−4m)，
∵PM⊥y轴，
∴点P的纵坐标为5，
∴m2−4m=5，
解得：m=−1或m=5(舍去)．
(3)① 2；8；
②根据题意可知：P(m,m2−4m)，Q(m−2,m)，M(5,5)，
∵四边形PQMN为平行四边形，
∴xN+m−2=m+5，yN+m=m2−4m+5，
∴xN=7，yN=m2−5m+5，
∴N(7,m2−5m+5)，
∴点N在直线x=7上，
∵Q(m−2,m)，
∴点Q在直线y=x+2上，
当点Q正好在直线y=x+2与抛物线的交点K或在点K的上方时，在平行四边形PQMN内部的抛物线，
正好都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，符合题意，如图所示：
令x2−4x=x+2，
解得：x=5− 332或x=5+ 332>5，
∴当点Q在点K处时，m−2=5− 332，
解得：m=9− 332，
∴此时m的取值范围是：9− 332≤m<5；
把x=7代入y=x2−4x得：y=21，
当点N在直线x=7与抛物线的交点上时，m2−5m+5=21，
解得：m=5− 892或m=5+ 892>5，
此时在YPQMN内部的抛物线在对称轴的左侧，且当点P继续向上移动时，点N在直线x=7与抛物线交
点的上方，在YPQMN内部的抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，符合题意；
∴当m≤5− 892时，在YPQMN内部的抛物线，y随x的增大而减小；
综上分析可知：m≤5− 892或9− 332≤m<5．
水平距离x/m
0
0.4
1
1.2
1.4
2.4
2.8
竖直高度y/m
0
0.48
0.9
0.96
0.98
0.48
0
证明过程缺失
0
1
2
0
(0,0)
(0,1)
(0,2)
1
(1,0)
(1,1)
(1,2)
2
(2,0)
(2,1)
(2,2)