2023-2024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A=1,2,3，B=x,y|x+y−4>0,x,y∈A，则集合B的真子集个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.已知向量a=x,1−x，b=x+3,9，若a⊥b，则( )
A. x=−2B. x=−12C. x=3D. x=72
3.已知a=2,−1,3是直线l的方向向量，b=m,2,−1是平面α的法向量，若l//α，则m=( )
A. −4B. −52C. 52D. 4
4.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=n+33n+5，则a5b2+b6=( )
A. 1417B. 417C. 313D. 15
5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )
A. 8B. 12C. 18D. 72
6.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1,x2,x3,⋯,x9，后来复查数据时，又将x3,x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜xσ于x轴的入射光线与抛物线y2=2px的交点为A4,4，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A. 274B. 214C. 254D. 294
8.函数fx=x−cs3πx的零点个数是( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法正确的是( )
A. 直线D1C和BC1所成的角为π4
B. 四面体BDC1A1的体积是83
C. 点A1到平面BDC1的距离为4 33
D. 平面BDA1与平面BDC1所成二面角的正弦值为2 23
10.在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0与圆x2+y2=2的位置可能为( )
A. B.
C. D.
11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为X，则下列结论中正确的是( )
A. X服从超几何分布B. X服从二项分布
C. PX=2=116D. 若Y=2X+1，则EY=5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=lg2x,x>014x−1,x≤0，则ff 22= ．
13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法．
14.若不等式1+lnx≤ax2+bx(a>0)恒成立，则ba的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：ℎ)的函数，记作y=ft，下面是某天水深的数据：
经长期观察，y=ft的曲线可近似的满足函数y=Asinωx+φ+b(A>0,ω>0)．
(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数y=ft一个近似表达式；
(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？
16.(本小题12分)
在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是CF上一点，且CFDF=MCCP=λ(λ>1).

(1)求证：CD⊥平面PBM；
(2)已知CP=1，且直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 66时，求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的)．
(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若PM>0，PN>0，称ρM,N=PMN−PMPN PMPMPNP(N)为事件M，N的相关系数．
①已知ρM,N>0，证明P(M|N)>PM；
②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．
18.(本小题12分)
已知点O为坐标原点，将向量OA绕O逆时针旋转角α后得到向量OB．
(1)若OA=2,2,α=π6，求OB的坐标；
(2)若OA=a,b，求OB的坐标(用a,b,α表示)；
(3)若点M,N在抛物线y=x2−tt∈R上，且▵OMN为等边三角形，讨论▵OMN的个数．
19.(本小题12分)
设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①，有两根x1,x2，
则方程可变形为a(x−x1)(x−x2)=0，展开得ax2−a(x1+x2)x+ax1x2=0②，
比较①②可以得到x1+x2=−ba,x1x2=ca,
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理．
设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个根x1,x2,x3，则有x1+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da③
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有两个零点．
(i)求证：f(x)的其中一个零点大于0，另一个零点大于−2且小于0；
(ii)求a+b的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.BCD
10.ABD
11.BD
12.8
13.14
14.−1e
15.解：(1)
函数简图如下：
T=12,∴ω=2πT=2π12=π6,A=2−12=0.5,b=2+12=1.5，
∵y=0.5sinπ6t+φ+1.5过点0,2,∴f0=0.5sinπ6×0+φ+1.5=2，
则sinφ=1,∴φ=π2+2kπ,k∈Z，
∴y=ft的一个解析式可以为ft=0.5sinπ6x+π2+1.5=0.5csπ6x+1.5
(2)
由题意得：1.25−0.5∴2kπ−2π3<π6t<2kπ−π3,k∈Z或2kπ+π3<π6t<2kπ+2π3,k∈Z
解得−4+12k又0≤t≤24，解得t∈2,4∪8,10∪14,16∪20,22
又∵t∈7,19∴t∈8,10∪14,16
故开放时间共4ℎ．

16.解：(1)
∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC．
∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM．
又CF∩AC=C,CF,AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，
因为DC⊂平面ACFD，
∴DC⊥BM.①
∵CFDF=MCCP,∠CFD=∠MCP=π2，
∴▵CFD∽▵MCP，则∠PMC=∠FCD．
∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∠PMC+∠ACD=π2，
∴在平面ACFD中DC⊥PM.②
∵BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM，
∴由①②知DC⊥平面PBM．
(2)
由题意得DM//CF，CF⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC．
由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点．
如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

∵CFDF=DFCP=λ，CP=1
∴CM=DF=λ，DM=CF=λ2．
∴M0,0,0，Bλ,0,0，C0,λ,0，D0,0,λ2.
∵AC=2DF，
∴由棱台的性质得BC=2EF,BC=−λ,λ,0，
∴ME=λ2,λ2,λ2．
由(1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,−λ,λ2．
∵直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 66，
∴csBC,CD=BC⋅CDBC⋅CD= 66(λ>0)，
即−λ2λ 2⋅λ λ2+1= 66，解得λ= 2．
∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,− 2,2．
平面EFM的法向量为n=x,y,z．
∵ME= 22, 22,2，MF=0, 2,2，
n⋅ME= 22x+ 22y+2z=0n⋅MF= 2y+2z=0，即y=− 2zx=− 2z,
当z=−1时，x= 2，y= 2．
∴平面MEF的一个法向量为n= 2, 2,−1．
csn,CD=n⋅CDnCD=2+2 6× 5=2 3015．
∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值2 3015．

17.解：(1)
由题意每位同学选择B课外知识讲座的概率均为13，则X∼B3,13，
即X的可能的取值为0,1,2,3，
所以PX=0=1−133=827，PX=1=C31×13×1−132=1227=49，
PX=2=C32×132×1−13=627=29，PX=3=133=127，
所以X的分布列为：
所以EX=3×13=1；
(2)
①因为ρ(M,N)=P(MN)−P(M)P(N) P(M)P(M)P(N)P(N)，且ρM,N>0，
所以PMN−PMPN>0，又PM>0，PN>0，
即PMNPN>PM，而PM|N=PMNPN，所以PM∣N>PM成立；
②事件E,F不相互独立，
事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择，
由(1)可知PE=C30130233=827，
所以P(E)=1−P(E)=1927，
事件F：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件F：有一个课外知识讲座有同学选择，
所以PF=C3133=19，所以P(F)=1−P(F)=89．
事件EF：至少有两个课外知识讲座有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，
分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；
另一种是 两个课外知识讲座都有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，
此时A或者C是没有同学选择，故按照1、2分组即可，
故PEF=A3333+C21C31C22A2233=23，所以PEF≠PEPF，即事件E,F不相互独立，
所以ρE,F=PEF−PEPF PEPEPFPF=23−1927×89 1927×827×89×19，
化简得ρE,F=5 1976．

18.解：(1)
设∠xOA=β,β∈0,2π,
已知A2,2，则OA=2 2,β=π4，
因为逆时针旋转π6，则OB=2 2,∠xOB=β+α=π4+π6，
cs∠xOB=csπ4+π6= 22× 32− 22×12= 6− 24，
sin∠xOB=sinπ4+π6= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
设Bm,n,m=OBcs∠xOB=2 2× 6− 24= 3−1，
n=OBsin∠xOB=2 2× 6+ 24= 3+1，
所以OB= 3−1, 3+1．
(2)
设OA=r，有OA=rcsβ,rsinβ，
因为OB由OA绕坐标原点O逆时针旋转角α后所得
所以OB=r,OB=rcsβ+α,rsinβ+α，
因为a=rcsβ,b=rsinβ，
所以rcsβ+α=rcsβcsα−rsinβsinα=acsα−bsinα，
rsinβ+α=rsinβcsα+rcsβsinα=asinα+bcsα，
所以OB=acsα−bsinα,asinα+bcsα．
(3)
设Mx,y(t=0时，x≠0)，由(2)知逆时针旋转π3得：Nx2− 3y2, 3x2+y2，
M,N也在拋物线上，得y=x2−t 3x2+y2=x2− 3y22−t,
消t得： 3x2−y2=3x2− 3y2−x2− 3y2，
有 3x2−y2−3x2− 3y2−x2− 3y2= 3 3x2−y2x2+ 3y2+ 33，
即 3x−y3x+3 3y+2 3=0，
将y=x2−t代入，得x2− 3x−t3x2+ 3x+2−3t=0，
由y=x2−t，可知x确定，则y与之唯一确定．
所以讨论▵OMN的个数等价于讨论方程(∗)中解(除去t=0时的非零解)的个数．
令3x2+ 3x+2−3t=0①，Δ1=312t−7;
令x2− 3x−t=0②，Δ2=4t+3．
联立方程①②得，x=− 36,t=712，所以t=712时，方程①②有相同解：x=− 36．
当t<−34时，方程①②均无解，所以▵OMN的个数为0；
当t=−34时，方程①无解，②仅有一个解，所以▵OMN的个数为1；
当t=0时，方程①无解，②有一个非零解：x= 3，所以▵OMN的个数为1；
当−34当t=712时，方程①仅有一解x=− 36，②有两解x=− 36或x=7 36，所以▵OMN的个数为2；
当t>712时，方程①､②均有两个解，且两方程不同解，所以▵OMN的个数为4．
综上所述：当t<−34时，▵OMN的个数为0；当t=−34或0时，▵OMN的个数为1；
当−34712时，▵OMN的个数为4；

19.解：(1)证明：因为方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个根x1,x2,x3，
所以方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)
即为a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0，
变形为ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x−ax1x2x3=0，
比较两个方程可得x1+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da．
(2)(i)证明：∵f(x)有两个零点，
∴f(x)=0有一个二重根x1，一个一重根x2，且x1≠0,x2≠0,
由(1)可得2x1+x2=−bax12+2x1x2=1ax12x2=−1a，由x12+2x1x2=1a<0可得x1x2<0．
由x12⋅x2=−1a>0可得x2>0，∴x1<0联立上两式可得x12+2x1x2=−x12⋅x2，解得x2=−x1x1+2，
又x2>0,x1<0，
∴x1>−2，综上−2(ii)解：由(i)可得a=−1x12x2=x1+2x13=1x12+2x13b=2x1+x2x12x2=2x1x2+1x12=−2x1−4x12+1x12=−2x1−3x12,
∴a+b=2x13−2x12−2x1．
令t=1x1,∵x1∈(−2,0),∴t∈(−∞,−12)，
则g(t)=2(t3−t2−t)，
∵g′(t)=2(3t2−2t−1)=2(3t+1)(t−1)，当t<−12时，g​′(t)>0，
∴g(t)在(−∞,−12)上单调递增，∴g(t)∴a+b∈(−∞,14)．
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2
X
0
1
2
3
P
827
49
29
127