天津市四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
2. 随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 等比数列的前项和为，满足，则的值是（ ）
A 20B. 30C. D. 40
4. 为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ）
A. 0.28B. 0.24C. 0.26D. 0.30
5. 已知函数，且，则的大小关系（ ）
A. B. C. D.
6. 为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法．
A 144B. 64C. 48D. 56
7. 已知所有项的系数和为3，则的系数为（ ）
A 36B. 24C. D.
8. 已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
9. 对，当时，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．
10. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答）
11. 经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为____________.
12. 为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有____________种．（用数字作答）
13. 已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是____________．
14. 一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是_________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则_______.
15. 已知函数导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若在单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18. 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标．
19. 已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）记，求的前项和；
（3）证明．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：当时，；
（3）若在上存在零点，求实数的取值范围，并说明在上的最小值为．
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