2024年内蒙古包头市第四十九中学中考数学三模试题（解析版）

这是一份2024年内蒙古包头市第四十九中学中考数学三模试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列实数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，关键是掌握比较大小的法则．先化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
所以最大的数是，
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积乘方运算法则和二次根式加减运算法则、完全平方公式分解计算得出答案．
【详解】解：A．2a+3b无法计算，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，正确；
D．，故此选项错误；
故选C．
3. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A. 主视图改变，左视图改变B. 俯视图不变，左视图不变
C. 俯视图改变，左视图改变D. 主视图改变，左视图不变
【答案】D
【解析】
【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．
故选D．
4. 如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方向角以及平行线的性质，先过点E作，易得，再结合两直线平行，内错角相等，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D
5. 对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：由题意可得：可化为：
∵关于x的方程没有实数根，
∴，解得：，
观察发现仅有D选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式运算、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当一元二次根的判别式小于零，该方程无实数根是解答本题的关键．
6. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.
故选C.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）

A. 20°B. 30°C. 40°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
【详解】解：连接AC，如图，

∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
8. 若直线与直线的交点坐标为，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两条直线的交点坐标，解题的关键是根据已知列出方程组，解得，的值．由已知列方程组，解得，的值即可得到答案．
【详解】解：直线与直线的交点坐标为，
，
解得，
．
故选：C．
9. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】解：如图，作轴于．

由题意：，，
，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10. 已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，列出关于m的不等式组，即可求解．
【详解】∵抛物线，当时，，
∴，
∴m＞-1，
∵当时，的值随值的增大而减小，
∴，解得：m≤3，
∴的取值范围是：-1＜m≤3．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象和增减性，是解题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．第一项利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果．
【详解】解：
．
故答案为：
12. 如图，把沿边平移到的位置，边与交于点H，设的面积为，四边形的面积为，若，，则此三角形移动的距离为________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
首先根据题意得到，然后证明出，得到，求出，进而求解即可．
【详解】∵
∴
∵把沿边平移到的位置，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
13. 设是方程的两个实根，则代数式的值为 _______．
【答案】74
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：74．
14. 如图，点A在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当时，的周长为_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】由的垂直平分线交于点，可得出，结合三角形的周长公式可得出的周长，由的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点的坐标，进而即可得出的周长．
【详解】解：的垂直平分线交于点，
，
．
点在双曲线上，，
点的坐标为，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质找出是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质求得，进而可得，然后根据解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为的扇形面积是解题关键．
16. 如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是________.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误．
【详解】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，①说法正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
，②说法正确；
，
，
设正方形的边长为，
在中，
，即，
解得，
∴，
∴，③说法错误；
∵，
则，
，④说法正确，
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. （1）解不等式，并在数轴上表示出它的解集．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1），数轴见解析；（2），
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．
（1）先去分母、去括号得到，再移项、合并同类项，接着把的系数化为1得到不等式的解集，然后在数轴上表示其解集；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
【详解】解：（1）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示解集为：
（2）原式
，
当时，原式．
18. 某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的家庭有 个，图1中m的值为 ；
（2）求这组月均用水量数据的众数和中位数；
（3）请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议．
【答案】（1）50，20
（2）众数是6，中位数是6
（3）可用淘米水浇花等（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握中位数和众数的计算方法．
（1）根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值；
（2）根据众数和中位数的定义即可求解；
（3）从一水多用角度考虑（答案不唯一）．
【小问1详解】
本次接受调查的家庭个数为：（个，
，即；
故答案为：50，20；
【小问2详解】
出现了16次，出现的次数最多，
这组数据的众数是6，
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，
这组数据的中位数是；
【小问3详解】
建议：可用淘米水浇花等（答案不唯一）．
19. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

【答案】河流的宽度约为64米
【解析】
【分析】过点作于点，分别解、即可．
【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．

∴，
∵
∴
在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，∴
，
∴
∴米
答：河流的宽度约为64米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
20. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中）

（1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
【答案】（1）
（2）当时，销售利润最大，最大为6480元
【解析】
【分析】（1）当时，可直接根据图象写出；当时，y与x成一次函数关系，用待定系数法求解即可．
（2）销售利润，根据销售利润=每千克利润×销售量，可得与的二次函数，再根据二次函数求最值的方法即可求出结果．
【小问1详解】
解：由图象知，当时，；
当时，设，将，代入得
，解得，
与之间的函数关系式为，
综上所述，，
故答案为：.
【小问2详解】
解：当时，，
，，
当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
故答案为：当时，销售利润最大，最大为6480元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数．正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．
21. 如图，是的直径，点是上一点，连接并延长，交过点的切线于点，点是弧上一点，连接，，．
（1）求证：；（请用两种方法解答）
（2）连接，交于点，若垂直平分，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）证明思路一：由切线的性质得，则，由，得，则；
证明思路二：连接，则，由切线的性质得，则，所以，则，因为，所以；
（2）连接，由垂直平分，得，，，可证明和都是等边三角形，则是等边三角形，进而证明四边形是菱形，由，得，则，求得，则．
【小问1详解】
证明方法一：是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
；
证明方法二：如图1，连接，则，
是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图2，连接，
垂直平分，
，，，
，
，，
和都是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形的面积是．
22. 如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点．
（1）如图1，连接，当，，时，求的度数；
（2）如图2，连接，与相交于点．且，，．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）度数是
（2）见解析；
【解析】
【分析】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论；
（2）①延长交于，设菱形的边长为，则，，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形中位线定理得到；
②过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到．
【小问1详解】
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是；
【小问2详解】
①证明：延长交于，
设菱形的边长为，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
；
②解：过作交的延长线于，
，，
，
，，
，
，
由①知，，
，
．
23. 如图，抛物线，与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．

（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点在线段上，连接并延长，交抛物线于点，若与的面积比为．
①求直线的解析式；
②过点作直线，交抛物线于点，求的长度；
（3）点在线段上，连接并延长，交抛物线于点，连接并延长，交轴于点，若，求点的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为：，
（2）；
（3）
【解析】
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）①若与的面积比为，则，进而求解；
②由，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）求出直线的表达式为：，则点，同理可得，点，即可求解．
【小问1详解】
由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为：，；
【小问2详解】
①若与的面积比为，
则，
则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，则，
则直线的表达式为：；
②，
则两条直线表达式中的值均为1，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，
由点的坐标得，；
【小问3详解】
设点，
设直线的表达式为：，由点、的坐标得，
，解得，
直线的表达式为：，
则点，
同理可得，点，
，
则，
解得：，
即点．