四川省宜宾市2024届高三下学期高考适应性考试（三模）文科数学试卷（解析版）

这是一份四川省宜宾市2024届高三下学期高考适应性考试（三模）文科数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】由，，得，
故选：C
2. 已知复数z满足且是z的共轭复数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由韦达定理即可求解.
【详解】由求根公式可知，若为方程的根，则其共轭复数也是该方程的根，
故由韦达定理可知，.
故选：A.
3. 已知一组数据，，，，平均数是，方差是，则对于以下数据：，，，，下列选项正确的是（ ）
A. 平均数是，方差是6B. 平均数是，方差是
C. 平均数是5，方差是D. 平均数是5，方差是12
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数以及方差的性质即可求解.
【详解】由于数据，，，，的平均数是，方差是，故数据：，，，，的平均数是，方差是，
故选：D
4. 若曲线的一条切线方程是，则（ ）
A. B. 1C. D. e
【答案】A
【解析】
【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于切线的斜率求解切点坐标，把切点坐标代入切线方程求值．
【详解】由，得，
设切点坐标为，由，得，
切点坐标为，代入，得，即．
故选：A．
5. 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n＝（ ）
A. 72B. 75C. 78D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】分析程序框图的功能再列式计算即可.
【详解】由框图易得,该框图设大僧为人,小僧为人,功能为计算小僧的人数.
故,解得
故选：C.
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式进行变换求值即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故选：A．
7. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ）
A. 89.5B. 90.5C. 92.5D. 94.5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解.
【详解】由表中数据可知，，
所以，解得，
所以当宣传费用时，销售额y的估计值为.
故选：B.
8. 已知函数在上单调递减且对任意x∈R满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. 1,+∞D. 1,4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可.
【详解】因为,所以fx的对称轴为x=2,
fx在单调递减，则fx在单调递增，
又因为，由对称性可得,
所以,
故选：D.
9. 在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解.
【详解】
设，因为，所以由棱柱的性质可得，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
点P在四边形内（含边界）运动，当时，
，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得，
所以该三棱柱的表面积为.
故选：C.
10. 已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（ ）
A. 一条抛物线B. 一个圆C. 一条直线D. 一段线段
【答案】C
【解析】
【分析】设Px0,y0，切点为Ax1,y1,Bx2,y2，利用导数的几何意义以及两点斜率公式可得是关于的方程的两根，结合垂直，可得，结合韦达定理可得，对比即可得解.
【详解】
设Px0,y0，显然抛物线C：的切线斜率不为0，
而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点，
设切点为Ax1,y1,Bx2,y2， 或，
当时，，当时，，
所以无论如何都有，
所以，同理，注意到，
所以是关于的方程的两根，，
一方面：因为垂直，所以，
另一方面：由韦达定理有，
综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意.
故选：C.
11. 定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件单调函数，对任意的都有，故必有
，且，即可求得，再根据导数研究函数的性质，求得方程
有两个不同的实根满足的条件，求得的取值范围.
【详解】由于函数为单调函数，则不妨设，则，
且，解得，所以.
设，
则方程有两个不同的实数根等价于函数与有两个不同的交点.
，
易得当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又，且当时，.
故函数与有两个不同的交点则.
故选：B
12. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A. 截面多边形不可能是平行四边形B. 截面多边形的周长是定值
C. 截面多边形的周长的最小值是D. 截面多边形的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D.
【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，
由对称性可知，此时平面与交于点，且，
此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足，
且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；

对于BC，设，由余弦定理得，
，
由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，
当三点共线时取得最小值，
由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，
所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误；
对于D，记与的交点为，由对称性，，
所以，，
因为，
所以，所以，
记，
则，
因为，
所以
，
由二次函数性质可知，，即，
所以，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】因为，直接利用基本不等式求出其最小值．
【详解】因为，则，当且仅当 时，等号成立，
故答案为：
14. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设数列an公差为，再根据成等比数列求解可得，进而可得an的通项公式求解即可.
【详解】设数列an公差为，由成等比数列可得，
即，即，因为公差不为0，故.
故
故an前6项的和为.
故答案为：
15. 已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的定义，得到，则，当三点共线时，取得最大值，结合直线的斜率小于渐近线的斜率，即可求解.
【详解】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即，
则，
当三点共线时，取得最大值，
由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率，
即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算得出边长，再应用余弦定理结合基本不等式即可求出边长.
【详解】因为，,
所以,
在中，设，
所以,
当余弦值最小时，最大，
当且仅当，即，最大，
所以满足条件.
故答案为：2.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17. 某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
（1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
（2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率．
参考公式：，．
【答案】（1）有 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）列举基本事件，即可由古典概型的概率个数求解.
【小问1详解】
由题意可得
由．
知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关．
【小问2详解】
在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人
在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人，则女性抽取4人，记为：，，，，男性抽取2人，记为：，，从这6人中随机抽取2人，抽法有：
，，，，，，，，，，，，，，共15种，
这两人中至少有一人是女性的抽法有：
，，，，，，，，，，，，，共14种，故两人中至少有一人是女性的概率
18. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可.
【小问1详解】
由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
【小问2详解】
，
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线线垂直去证明线面垂直，即可得到线线垂直；
（2）利用线面垂直证明面面垂直，再作出线面垂直，即可得到棱锥的高，从而求出体积.
【小问1详解】
证明：在正方形中，，又，∴
在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，
在中，，
过E作交CD于H，连接FH，则，
在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形，
∴，又，，平面，
∴平面，又平面，∴．
【小问2详解】
法一：在中，∵，，∴，
在正方形中，，而，CD，平面，
∴平面，平面，∴平面平面，
平面平面，过P作交CD于Q，∴平面，
∵，∴，，
，
法二：在中，∵，，∴，
在正方形中，，而，CD，平面，
∴平面，，
．
20. 已知函数．
（1）当时，求函数过原点的切线方程；
（2）若有三个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据切点求解切线方程，代入原点坐标可得，即可求解，
（2）求导，即可根据函数的单调性，进而根据零点个数，得，代入即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
设切点
切线方程：
由于切线过原点，所以，解得，
∴切线方程：
【小问2详解】
，
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点；
当时，令，得，令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
有三个零点，则，即，解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知a的取值范围为
21. 已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且．
（1）求直线与的交点N的轨迹M的方程；
（2）若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（且）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）设：，：，直线与的交点是N，且，消去即可得解；
（2）通过得到，然后求解点的坐标.
【小问1详解】
由已知，，则：，：，
∴点满足，即，∴①②，
∴点P的轨迹方程是（），
又依题意可知，
综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且）；
【小问2详解】
由题意知直线：，与椭圆方程联立，
消元得，，
，
同理可得，
所以，即．
由（1）知，所以，令点，，解得，
∴存在或满足题意．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是先通过韦达定理，把转化成，然后即可求出点的坐标.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22. 在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线相交于两点.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若成等比数列，求实数的值.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）直线的参数方程消参得到普通方程，用公式得到曲线的直角坐标方程.
（2）成等比数列，利用参数几何意义，，解方程，即可得到答案.
【小问1详解】
曲线的直角坐标方程为，
消去参数，得到直线的普通方程为：.
【小问2详解】
将直线的参数方程（为参数）
代入曲线的直角坐标方程得：
化简整理得到：，
且恒成立.
设交点对应的参数分别为.则
若成等比数列，则，则
，即，
即即，
解得或（舍）所以满足条件的.
［选修4-5：不等式选讲］
23. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解；
（2）结合（1）中结论，作出与的大致图象，求得恒成立的临界情况对应的值，从而得解.
【小问1详解】
因为，
当时，，此时；
当时，，此时，即；
当时，，此时；
综上，最小值为.
【小问2详解】
记，作出与大致图象，
要使恒成立，
则只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图），
由，得或（舍去），
由，得或（舍去），
所以，即实数的取值范围为.x（万元）
3
4
5
6
7
y（万元）
45
50
60
65
70
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5024
6.635
10.828
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
140
每周运动不超过2小时
40
20
60
总计
100
100
200