2025年高考数学大招秒杀基础版-板块1-集合与简易逻辑【学案讲义】

这是一份2025年高考数学大招秒杀基础版-板块1-集合与简易逻辑【学案讲义】，共11页。学案主要包含了巧用结论快速搞定集合问题，对空集的全方位解读，充要条件的集合模型解释，充要条件之逆否命题判定法等内容，欢迎下载使用。
一、集合相等结论
若两个集合相等，则一个集合所有元素的和与积应等于另一个集合所有元素的和与积.
若含有三个元素的集合可以表示为，也可表示为，求的值.
分析：可直接根据上述结论求解，求值时要注意集合元素的互异性.
解:，由集合相用等的定义可得，
解得，显然违背集合元素的互异性，
∴
评注：本题既是在各种资料上出现频率较高的问题，又代表着一类题型，即含字母参数的集合相等问题，解答这类问题的常规方法是根据集合相等的定义对字母进行讨论，以确定题目的解，利用上述方法巧妙地避免了分类讨论和繁杂运算.
例2、已知集合，若，求的值
分析:要解决的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式
解：根据题意，分两种情况进行讨论:
（1）若，消去，得
当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故
∴，即，此时中的三个元素又相同，∴
∴此时无解.
（2）若消去，得
∵，即
又
评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.
（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法，就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法.
二、集合运算的相互转化
两集合之间的关系与运算可以相互转化，即
例3、已知集合.若，则实数的值是（ ）
A.0B.2C.0或2D.0或1或2
解析:因为，所以，所以或.选C
例4、已知集合.若，则的取值范围是（ ）.
A.B.C.D.
【答案】C.
【解析】.
三、整数集结论
整数集的元素可用表示；若分成两类，则可用或表示，其中和都表示奇数；若分成三类则可用或表示，其中和表示一类数，和表示一类数；若分成四类则可用或表示，以此类推，其中的规律不难发现
例5、设集合，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】，整数的范围大于奇数的范围.
例6、已知集合，则之间的关系（ ）
A.B.C.D.
【解析】解法一：简单列举集合中的元素；
∴，即，故选.
解法二：判断集合中元素的共性和差异.

∵，故选.
评注：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择.
四、子集个数结论
结论一：设集合中有个元素，则:
的子集的个数是；的真子集的个数是；
的非空子集的个数是；的非空真子集数为。
结论二：设集合有个元素，集合有个元素，
(1)若，则的个数是；
(2)若，则的个数是；
(3)若，则的个数是；
(4)若，则的个数是。
求满足集合的个数.
分析：依题意，集合中一定含有元素1，3，另外还可含有中的0个、1个、2个元素，所以本题可转化为求集合的子集个数问题.
解：依题意，集合的个数.即为集合的真子集个数，共有个.
评注：抓住本质，转化题意，有时可使问题迅速获解.
例8、同时满足: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，则的非空集合有（ ）
A.16个B.15个C.7个D.6个
【答案】C
【解析】时，时，时，时，时，非空集合可能是:共7个.故选.
五、补集结论
设为全集，集合是它的两个子集则有:（交集的补集等于补集的并集)，(并集的补集等于补集的交集)，这两个结论合称“德摩根法则”通过这个法则，为了简捷地解答问题，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问题，或反之.
例9、已知全集，集合.求
分析：若先求补集再求并集，相当麻烦，因此考虑将转化为求解.
解:∵，
∴或.
评注:类似的结论还有等，适时将一种情形转化为另一种情形后，方便理解和求解.
例10、已知全集中有个元素，中有个元素.若非空，则的元素个数为（ ）
A.B.C.D.
[解析』D注意到.则中元素的个数为个
大招二 对空集的全方位解读
解读一、空集是不含任何元素的集合
空集是不含任何元素的集合，故不能用列举法或描述法把它表示出来，我们只能用一个专用符号来表示空集.
例给出下列关系式: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若，则； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤设全集，则.其中正确关系式的序号是________
分析：只需根据空集的两个特征：空集是集合，空集不含任何元素判断即可.
解:由空集的定义可得，空集都是不含任何元素的集合，故所有的空集都是相等的，故(1)正确；
和都是集合，其中不含任何元素，而是以集合为元素的集合，即是集合的集合，它有一个元素，故，故(2)错误，同理(3)错误；因为方程无解，所以，故(4)正确；因为全集，所以是一个不含任何元素的集合，所以，故(5)正确.综上，正确关系式的序号是： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
评注：集合是一组元素组成的整体，其中元素可以是数、点、实物，也可以是集合.
解读二、空集是任何集合的子集
即对于任一集合（包括空集本身)，都有（或).
例2、已知，求使得的实数的取值集合.
分析:因为集合中含有参数，故是不确定的，首先要考虑的情形，当时，可借助数轴来解答.
解:(1)当时，满足，此时应有，解得；
(2)当时，若使，须满足，解得.
综上，实数的取值集合是.
评注:对于此类问题，忽视空集是一类常见错误，请同学们切记.在研究集合之间的关系问题时，Venn图和数轴是两个常用的图形工具，用它们反映集合之间的关系形象、直观，便于发现和研究问题.
解读三、空集是任何非空集合的真子集
即对于任一不是空集的集合，都有（或）.
例3、集合的真子集的个数是________
分析:首先把集合求出，然后写出其所有真子集，即可确定真子集的个数.
解:∵，
∴集合的真子集有
共15个.
评注：在写集合的子集时，为避免重复和遗漏，可按元素个数的多少，从小到大写，千万不要忘记空集.一个共有个元素的集合的子集个数为.去掉其本身，即得的真子集的个数为-1；去掉空集，即得的非空子集的个数亦为-1；两个都去掉，即得的非空真子集的个数为-2.了；利用上述结论，可快速求各类子集个数.

解读四、空集与任何集合的交集仍是空集
即对于任一集合，都有.
例4、已知集合，若，则实数的取值组成的集合是（ ）
(A)(B)(C)(D)
分析：因为方程中含有参数，其解集不确定，又因空集既然是任何集合的子集，故首先考虑的就是的情形.
解:(1)当时，方程无解，∴，满足；
(2)当时，方程的解为，欲使，须，或，解得，或.
综上，，或，或，故的取值组成的集合是，选D项.
评注：在通常情况下，往往把等价转化为来研究.
解读五、空集与任何集合的并集仍是集合
即对于任一集合，都有.
例5、已知，求使得的实数的取值集合.
分析：和例四相仿，首先考虑的也是的情形.
解:，
(1)当时，满足，由得；
(2)当时，欲使，须使或.
若，由得；
若，由得.
综上，实数的取值集合为.
评注:在通常情况下，往往把等价转化为来研究.例2、例4和例5都运用了分类讨论，讨论时要注意编上序号，按一定的顺序讨论，以避免重复和遗漏.
大招三 充要条件的集合模型解释
集合模型解释
设集合满足条件满足条件，则有:
(1)若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件.
(2)若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件.
(3)若，则是的充要条件.
例1、下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.B.C.D.
思路:求的充分不必要条件，则这个条件能够推出，且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出，而不一定能够得到(比如)，所以符合条件。对于两个选项均不能推出，所以直接否定。而选项虽然可以得到，但是也能推出，所以是的充要条件，不符题意
答案：A
已知，非空集合，若是的必要条件，则的取值范围为_________
【解析】由，得，
所以，
由是的必要条件，知，
则，所以
所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是.
例3、数列满足，则“”是“数列成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
思路:当时，可得，即成等差数列。所以“"是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面，如果成等差数列，则成等差数列，所以有
，代入可得:
，解得或，经检验，时，，利用数学归纳法可证得，则也为等差数列（公差为0），所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“"，所以“"是“数列成等差数列”的不必要条件
答案：A
例对任意的实数，若表示不超过的最大整数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】若，设，则，
其中，所以，因为，所以，所以，
所以，即由能推出成立；反之，例如，满足，但，即由推不出成立.因此“”是“”的必要不充分条件.故选B.
大招四 充要条件之逆否命题判定法
注意区分：
“甲是乙的充分条件（甲乙）"
“甲的充分条件是乙（乙甲）"
等价于非；
等价于非；
等价于非
例1、钱大姐常说“便宜没好宣货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B.
例2、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。设为两个同高的几何体，，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可最知，是的（ ）
充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】如果在等高处的截面积恒相等，则的体积相等，即，因此有，但，例如，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等.故是的充分不必要条件.故选.
点拨：破解此类题的关键:一是读懂数学文化的背景的含义；二是利用“以小推大”的技巧来破解充分必要条件的判断.
例3、已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题:
(1)是的充要条件；(2)是的充分条件而不是必要条件；(3)是的必要条件而不是充分条件；(4)是的必要条件而不是充分条件；
(5)是的充分条件而不是必要条件.
则正确命题的序号是_________
【答案】(1)(2)(4)
【解析】由题意知，∴，(1)正确；，但，(2)正确；同理判断(3)(5)不正确，(4)正确.
例设条件实数满足；条件实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________
分析:“是的必要不充分条件”等价于于是“是的必要不充分条件”
解:设，可解得:，
设可解得:，
∵是的必要不充分条件是的必要不充分条件