2025年高考数学大招秒杀基础版-板块2-函数【学案讲义】

这是一份2025年高考数学大招秒杀基础版-板块2-函数【学案讲义】，共58页。学案主要包含了抽象函数定义域的核心点，函数求值域常见8种方法全归纳，函数单调性判定标志，搞定分段函数的单调性，搞定复合函数的单调性，常见奇偶函数模型总结，奇函数特性秒题，偶函数特性秒题等内容，欢迎下载使用。
已知的定义域，求复合函数的定义域
若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
2、已知复合函数的定义域，求的定义域
若的定义域为，则由确定的值域即为的定义域。
3、已知复合函数的定义域，求的定义域可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
4、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A.B.C.D.
【解析】根据复合函数定义域得到，，解得，故选.
例2、已知函数的定义域为，求函数的定义域.
解析：∵函数的定义域为即，
∴函数的定义域为.
评注：(1)、由一个函数的定义域求另一个函数的定义域，只需牢记一点:是自变量，它的取值范围才是定义域；
(2)、从另一个角度来看，函数可视为函数和函数的复合，因此我们把它叫做复函复合函数，函数也是复合函数；
(3)、在本题中，第一个给出的函数起着“立规矩”作用:，这就要求下面放在无论谁放在后面括号中，都要遵循这个范围，不能越雷池一步，归根结底，这还是的要求，是函数的主宰和灵魂，和只是体现的.
例3、已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为的定义域是，即，所以，所以函数的定义域为，由得，所以函数的定义域是，故选.
大招二 函数求值域常见8种方法全归纳
方法一、分离常数法
例1、求函数的值域
先分离常数法：
∵，∵，∴，
∴的值域为且.
方法二、判别式法
例2.求函数的值域
【解析】注意到，这个函数定义域为，这类函数在求值域时使用判别式法比较方便；
整理函数得
当时，方程无解
当时，所求函数的值域需要使得，方程有解，要求，，，.
注意：当时，函数不再是关于的二次方程，且方程无解，所以不是函数的值域.所以在的情况下研究函数值域，所以函数值域为
方法三、配方法
例3、求函数的值域
【解析】可以将其换元转化为二次函数，令，，则即
所以函数可整理为：
此时，发现函数在单调递增，而的取值范围是(这里一定要看清，用的是的取值范围，而不是的取值范围)，所以当时，函数取到最小值，所以函数值域为.
方法四、代数换元法
例4、求函数的值域
【解析】令，，∴
通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在时取到最大值.
∴函数的值域为.
方法五、三角换元法
例5、求函数的值域
【解析】可以设，，注意取值范围，根据，，，即函数值域为.
方法六、均值不等式法
例6、求函数的值域
【解析】 当时，当时，，因为，所以，
方法七、数形结合法
例7(1)、求函数的值域
【解析】函数可看为两点连线的斜率，即，，则，即所求函数，问题转化为求的取值范围，借助图形，我们可以看到，当直线与单位圆相切时，分别取到最大值和最小值，，
所以，原函数值域.
例7(2)、求函数的值域
【解析】整理函数得，，这时观察函数，用一般方法不是很好继续进行，但我们发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以我们可以改造一下函数：，这时我们可以把函数看成坐标系内的三个点间的距离和，，即
通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，当处于连线时，取到最小值：，所以，即函数值域为.
方法八、特殊函数有界性法
例8、求函数的值域
【解析】 注意到函数定义域为，可以进行如下转化，用表示，，.
注意时方程不成立，所以，可将除到等式右边得：，因为，即，解得：
大招三 函数单调性判定标志
函数单调性的标志条件
设，，那么
在上是增函数；
在上是减函数.
函数单调性的运算
(1)增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
(2)函数与函数的单调性相反；
(3)时，函数与的单调性相反；时，函数与的单调性相同.
例1、若函数在上是减函数，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】 B
【解析】因为在上是减函数，所以，，即，即B.
例2.定义在上的偶函数满足：对任意一有则当一时时的，，有.则当时，有( )
A.B.
C.D.
【答案】C
，时，在为增函数，为偶函数在为减函数，而，
∴.
例3、设函数，若对，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【解析】由题意分析可知条件等价于在上单调递增，又∵，∴当时，结论显然成立，当时，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，综上，实数的取值范围是.
例4、已知函数是定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，则( )
A.B.
C.D.
【答案】 A
【解析】 由于函数为偶函数，故函数的图象关于直线对称，又∵对任意，，有，∴函数在上单调递减，
∴，∵函数的图象关于直线对称，∴，
∴.故选.
例5、已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则( )
【答案】 C
【解析】 设，由得，，即，故函数在上单调递减，又因为，所以
例6、已知函数的图象关于轴对称，且函数对任意，，有，设是函数的零点，若，则的值满足(
A.B.C.D.的符号不确定
【答案】C
【解析】∵的图象关于轴对称，则函数的图象关于直线轴对称.又因为函数对任意，，有，即，故函数在上单调递增，∴在上单调递减.又∵是函数的零点，∴，可得.∴当时，，故选C.
大招四 搞定分段函数的单调性
函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增
(2)在上单调増递增
(3).
函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减
(2)在上单调増递减
(3)
例1、函数，在内单调递减，则的取值范围是_________
【答案】
【解析】 函数，在内单调递减，需满足三个条件：，解不等式组得.
例2、已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】 B
【解析】 由题可知在上单调递减，所以，选
例3、已知符号函数，是上的增函数，则( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数知，.
例4、已知函数.则“”是“在上单调递增”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数在上单调递增増，即；
函数在上单调递增増或且，解得.
又当时，，故在上单调递增増的充要条件是.从而“”为“在上单调递增増”的必要不充分条件.
大招五 搞定复合函数的单调性
复合函判定数的增减性判定：同增异减.
设复合函判定数，是定义域的某个区间，是的值域：
①若在上是增(或减)函数，在上也是增(或减)函数，则函数在上是增函数；
②若在上是增(或减)函数，而在上是减(或增)函数，则函数在上是减函数.
例1、若在上是的减函数，则的取值范围是_________
【解析】
易且，，∴.. 在上单调递减，而是减函数，
∴.综上
例2、若函数在区间上是单调增函数，则常数的取值范围是_________
【答案】
试题分析：本题考查复合函数的单调性，设，，
当时，在上为减函数，在上为减函数，则在上为增函数，因为函数在区间上是单调增函数，所以要求，又，则；当时，在上为增函数，在上为减函数，则在上为减函数，不合题意；
例3、若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_________
【解析】 D设，因为外函数是单调函数，故内函数在上单增，应有，解得.
例4、已知，若函数在是增函数，则的取值范围是_________
【解析】 对称轴是，当时，.当时，.
【答案】
大招六 常见奇偶函数模型总结
一些重要类型的奇偶模型总结函数
(1)函数是奇函数，函数是偶函数；
(2)函数且是奇函数；
(3)函数或者且是奇函数；
(4)函数且)是奇函数.
例1、设函数，则是( )
A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数
C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数
【解析】 定义域为，关于原点对称，又∵，∴为奇函数，显然，在上单调递增，故选A.
例2、函数的图象( )
A.关于轴对称B.关于原点对称C.关于直线对称D.关于轴对称
【答案】 B
【解析】 ∵，∴其定义域为，∴，∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选：B
例3、若函数为偶函数，则_________
【解析】由题意可知函数是奇函数，所以，即，解得.
大招七 奇函数特性秒题
奇函数的特性
①为奇函数；
②若奇函数的定义域包含0，则.
③是奇函数的周期函数的半周期是零点.
证明：设函数的一个周期是，得，所以，即欲证结论成立.
例1、函数为奇函数，则实数_________
【答案】
【解析】 因为为奇函数且有意义，所以，即，所以
例2、是否存在实数使函数为奇函数?
【答案】
【解析】 由奇函数的性质，可得，.
还可验证当时：当时，，即是奇函数.所以存在实数使函数为奇函数.
例3、设为定义在上的奇函数，当时，为常数)，则( ).
A.3B.1C.D.
【答案】 D.
【解析】 因为为定义在上的奇函数，所以有，解得，所以当时，，即，故选D.
例4、定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为( )
A.0B.1C.3D.5
【答案】 D.
【解析】 可证；.所以
所以由奇函数的性质，可得，得方程在闭区间上有根，，.
大招八 偶函数特性秒题
偶函数的特性
⑴若函数是偶函数，则恒成立；
⑵若偶函数在处可导，则；
⑶若偶函数的定义域是D(可得D关于原点对称)，A、B是数集D的关于原点对称的两个子集， 则函数在数集A、B上的值域相同.
证明 (1)当且时，；当且时，
.所以欲证结论成立.
⑵由题设，可得
所以
(3)由偶函数的图象关于轴对称，立得欲证结论成立.
例1、已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为是偶函数，由题意可得：，
所以，故选A.
例2、已知偶函数在区间单调递减，.若，则的取值范围是.
【答案】
【解析】由题设及偶函数性质(1)，可得
例3、设函数，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________
A.B.C.D.
【答案】A.
【解析】易知是偶函数，且当x≥0时，是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性质1，可得
例4、已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】 C.
【解析】由题设及偶函数性质(1)，可得
例5、若是偶函数，则a=________
【答案】.
【解析】由题设及偶函数性质(2)，可得
例6、若函数为偶函数，则a=________
【答案】 1.
【解析】由题设及偶函数性质(2)，可得.
大招九 奇函数特性深度拓展
奇函数的性质 设f(x)是奇函数.
(1)f(x)在两个对称的区间上单调性相同
(2)若g(x)=f(x)+a，则g(x)+g(−x)=2a；
(3)若函数f(x)有最大(小)值，则函数f(x)有最小(大)值，且函数f(x)的最大值与最小值互为相反数.
证明： (1)在恒等式f(x)+f(−x)=0中，令x=0后，可得f(0)=0.
(2)可得g(x)+g(−x)=[f(x)+a]+[f(−x)+a]=2a.
(3)这里只证明结论：若函数f(x)有最大值，则函数f(x)有最小值，且函数f(x)的最大值与最小值互为相反数.
设函数f(x)的定义域是D，得.
因为奇函数f(x)的定义域D关于原点对称，所以，得
f(−x)=−f(x)≤，f(x)≥=，，所以函数f(x)有最小值(为)，且函数f(x)的最大值与最小值互为相反数.
例1、函数在[−m，m]上的最大值与最小值之和为________
【答案】 2.
【解析】 .
可得是奇函数，且函数g(x)在[−m，m]上的最大值、最小值之和是0，所以函数f(x)在[−m，m]上的最大值与最小值之和为2.
例2、若关于x的函数的最大值为M ，最小值为N ，且M +N=4，则实数t的值为________
【答案】 2
【解析】由己知，而函数
为奇函数又函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M +N=4， ∴M−t=−(N−t)，∴M +N=2t=4，∴t=2.
例3、已知a>0，设函数的最大值为M，最小值为N，那么M+N=________
【答案】 4016
【解析】 ，注意到和sin x都为奇函数，故对函数f(x)考虑构造新函数g(x)=+ sin x为奇函数，而f(x) = 2008 + g(x)，在区间[−a，a]上由奇函数的对称性知g(−x)+ g(x)=0，故M + N = 2008×2= 4016
例4、若函数的最大值为M，最小值为N，则( )
A.M −N=4B.M+N=4C. M−N= 2D. M +N=2
【答案】 D.
【解析】可得.可得g(x)= f(x)−1=是奇函数，且函数g(x)的最大值、最小值分别是M−1，m−1.
由奇函数的性质(3)，可得(M−1)+(m−1)=0，M +m=2.
例5、设函数的最大值为M，最小值为m，则M +m=________
【答案】 2
【答案】首先整理一下函数，将其分离常数
可以发现，函数在局部的地方为奇函数，即g(x)= f(x)−1=为奇函数
我们知道，奇函数的图象关于原点对称
则假设g()=M−1，g()=m−1，其中
所以有，即g(x)最大值、最小值相加为零
所以有M−1+m−1=0，即M+m=2.
例6、已知函数，其导函数记为，则f(2012)+(2012)+ f(−2012)-(−2012)= ________
【答案】 2.
【解析】由己知得，则，
令g(x)= f(x)−1=，显然g(x)为奇函数，(x)为偶函数，
∴(2012)−(−2012)=0，
f(2012)+ f(-2012)= g(2012)+1+ g(−2012)+1=2，
∴ f(2012)+(2012)+ f(-2012)-(−2012)=2.
大招十 函数奇偶性的和差积商
奇偶四则运算结论
偶函数偶函数=偶函数；
奇函数奇函数=奇函数；
偶函数偶函数=偶函数；
奇函数奇函数=偶函数；
偶函数奇函数=奇函数
例1、设函数F(x)(x≠0)是偶函数，且不恒等于零，则f(x) ( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数
解：对题中的函数进行化简：
F(x)，∴
令g(x)=(x≠0)，g(  x)= ，
∴g(x)是奇函数. ∵F(x)是偶函数，∴f(x)=g(x) F(x)为奇函数.
例2、判断函数的奇偶性.
解：由已知函数的定义域：∵，∴x≠0.
∵ f(x)-f(-x)=
，∴f(−x)=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
例3、已知函数f(x)=−csx，对于上的任意，有如下条件：①；②；③.其中能使恒成立的条件序号是________
答案：②
因为f(x)为偶函数，且当x∈，与y=−csx都是增函数，故f(x)在上单调递增，在上单调递减.
当时，有.
从而知②正确.
大招十一 函数周期性结论全归纳
结论1、f(x+a)=f(x+b)型：f(x)的周期为|b−a|。
证明：f(x+a)= f(x+b)f(x)= f(x+b−a)。
例1、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)= f(x).当−3≤x