2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-2.2.1-基本不等式-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。
1. 若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为（ ）.
A. 2B. 1C. 12D. 14
2. 函数y=3x+1x−1x>1的最小值为（ ）.
A. 4B. 23−3C. 23D. 23+3
3. 已知正实数x，y满足2x+1y=1，则4xy−3x−6y的最小值为（ ）.
A. 2B. 4C. 8D. 12
4. 若−11,b>1，若ax=by=6,2a+b=16，则1x+1y的最大值为_______.
12. （双空题）已知实数x，y，z不全为0，则w=y2+2xzx2+y2+z2的最小值为−1 ，最大值为_______
应用情境练
13. 某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区_______千米处.
14. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，△ABC为锐角三角形，面积为1,∠ACB=π6，以△ABC的三边为边长的正方形的中心分别为M1,M2,M3，则M1M22+M2M32+M3M12的最小值为_______
创新拓展练
15. 已知a>0，b>0，曲线fx=ln x−2x+4在x=1处的切线为l，若点Ma,b在直线l上，则1a+1b+1的最小值为1.
16. 已知函数fx=mx2+nxm>0.
（1）若f1=1，且n>−2，求1m+1+1n+2的最小值.
（2）求证：函数y=fx在[1,2]上单调的充要条件是f2f4≥0.
基本不等式-专项训练 （解析版）
基础巩固练
1. 若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为（ D ）.
A. 2B. 1C. 12D. 14
[解析]∵ab≤a+b22，a+b=1，
∴ab≤122，即ab≤14，当且仅当a=b=12 时，等号成立，
∴abmax=14.故选D.
2. 函数y=3x+1x−1x>1的最小值为（ D ）.
A. 4B. 23−3C. 23D. 23+3
[解析]因为x>1，所以y=3x−1+1x−1+3≥23x−1⋅1x−1+3=23+3，当且仅当3x−1=1x−1，即x=1+33 时，等号成立,所以函数y=3x+1x−1x>1 的最小值为23+3.故选D.
3. 已知正实数x，y满足2x+1y=1，则4xy−3x−6y的最小值为（ C ）.
A. 2B. 4C. 8D. 12
[解析]由x>0，y>0且2x+1y=1，可得xy=x+2y，
所以4xy−3x−6y=4x+8y−3x−6y=x+2y=2x+1yx+2y=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy，即x=4，y=2时,等号成立.故选C.
4. 若−10，b>0，∴1a+1b+1=1a+1b+1⋅[a+b+1]⋅14=14b+1a+ab+1+2≥14×2+2=1，当且仅当b+1a=ab+1，即a=2，b=1时,等号成立，
∴1a+1b+1 的最小值为1.
16. 已知函数fx=mx2+nxm>0.
（1）若f1=1，且n>−2，求1m+1+1n+2的最小值.
（2）求证：函数y=fx在[1,2]上单调的充要条件是f2f4≥0.
[解析]（1）若f1=1，则m+n=1，即m+1+n+2=4，
∵m>0，n>−2，∴m+1>1,n+2>0，
∴1m+1+1n+2=14[m+1+n+2]1m+1+1n+2=142+n+2m+1+m+1n+2≥142+2n+2m+1⋅m+1n+2=1，当且仅当m=1,n=0时取等号，
∴1m+1+1n+2 的最小值为1.
（2）充分性：当f2f4≥0 时，4m+2n16m+4n≥0，
解得n≤−4m 或n≥−2m，即−n2m≥2 或−n2m≤1，
∵fx=mx2+nxm>0 的图象是开口向上，对称轴为直线x=−n2m 的抛物线，
∴ 函数y=fx 在[1,2] 上单调.
必要性：∵fx=mx2+nxm>0的图象是开口向上，对称轴为直线x=−n2m 的抛物线，且函数y=fx 在[1,2] 上单调，
∴−n2m≥2 或−n2m≤1，即n≤−4m 或n≥−2m，
∴n+4mn+2m≥0，即4m+2n16m+4n≥0，
即f2f4≥0.
∴ 函数y=fx 在[1,2] 上单调的充要条件是f2f4≥0.