2025年高考数学一轮复习-2.3.1-函数的奇偶性、周期性与对称性-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-2.3.1-函数的奇偶性、周期性与对称性-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了下列函数是偶函数的是，已知函数f，函数f，已知f，设定义在R上的函数f，已知f＝　　　　，设f＝2x－x2等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数是偶函数的是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cs x
C.y＝x3 D.y＝3x
2.已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝1f（x），且f（3）＝13，则f（2 025）＝（ ）
A.－13 B.13
C.－1 D.1
3.函数f（x）＝9x+13x的图象（ ）
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称D.关于直线 y＝x对称
4.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－ax.若f（2）＋f（0）＝1，则f（－3）＝（ ）
A.－4 B.－3
C.－2 D.1
5.设定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝ln x－1，则f（13），f（23），f（32）的大小关系为（ ）
A.f（13）＜f（23）＜f（32）B.f（13）＜f（32）＜f（23）
C.f（23）＜f（32）＜f（13）D.f（32）＜f（13）＜f（23）
6.（多选）已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（ ）
A.f（3）＝0B.f（3）＝f（5）
C.f（x＋3）＝f（x－1）D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝ .
8.函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程为 .
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）＝ .
①f（x）是定义域为R的奇函数； ②f（1＋x）＝f（1－x）； ③f（1）＝2.
10.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式.
11.函数y＝f（x）的图象关于原点对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数.给定函数f（x）＝x3＋3x2，则函数f（x）的图象的对称中心是（ ）
A.点（1，－2） B.点（－2，1）
C.点（1，2） D.点（－1，2）
12.（多选）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋4）－f（x）＝2f（2），若y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2 ，都有f（x1)−f（x2）x1－x2＞0，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数B.f（x＋4）＝f（x）
C.f（22）＝0D.f（x）在（－4，－2）上单调递减
13.设f（x）是R上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求 f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.
14.已知函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）－2为奇函数，且f（1－x）＝f（3＋x），则f（2 023）＝ .
15.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.
（1）判断函数f（x）＝2x－12x+1的奇偶性，并求函数g（x）＝－22x－1+1的图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论.
参考答案与解析
1.D 存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.
2.B 对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.
3.A 若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
4.B 方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.
5.C 法一 因为xy≠0，且xy＋yx＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－2”的充要条件.
法二 充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝－yy＋y－y＝－1－1＝－2.
必要性：因为xy≠0，且xy＋yx＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－2”的充要条件.
6.AB 由2x≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.
7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.
8.假 解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以?p为假命题.
9.－1（答案不唯一） 解析：由于当x＞0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1x＝－2.
10.（－∞，－2] 解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
11.D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.
12.C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
13.ABD 对于A选项，若xc2＞yc2 ，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1x＜1y＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1x＜1y＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1x＜1y＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.
14.12 （12，＋∞） 解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1b}，故1b＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.
15.（－∞，0） 解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，
则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.
1.B 对于B，因为cs（－x） ＝cs x，所以函数y＝cs x为偶函数，故B正确；对于A，因为sin（－x）＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于C，因为（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝13x，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选B.
2.B 由f（x＋3）＝1f（x）得f（x）的周期T＝6，f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝13.
3.B 由题意知 f（x）的定义域为R，且f（x）＝32x+13x＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，∴f（－x）＝f（x），故 f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.
4.A 因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.又因为f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－a2＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－6x（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－63）＝－4.
5.C 由题意知，函数f（x）的图象如图所示，f（32）＝f（12），又因为f（x）在（－∞，1）上单调递减，所以f（13）＞f（12）＞f（23），即f（13）＞f（32）＞f（23）.故选C.
6.ABC 因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确.
7.－21 解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则 f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.
8.x＝12 解析：内层函数t＝｜2x—1｜的对称轴是直线x＝12，所以函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程是x＝12.
9.2sinπx2（答案不唯一） 解析：由题意可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，又f（x）是定义域为R的奇函数，f（1）＝2，所以f（x）＝2sinπx2符合.
10.解：（1）证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数.
（2）因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
11.D f（x）＝x3＋3x2＝（x＋1）3－3x－1＝（x＋1）3－3（x＋1）＋2，易知y＝f（x－1）－2＝x3－3x为奇函数，故y＝f（x－1）－2的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象的对称中心是点（－1，2）.故选D.
12.ABC 由y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（1＋x－1）＝f（1－x－1），即f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函数，故选项A正确；由f（x＋4）－f（x）＝2f（2），令x＝－2，可得f（2）＝0，则f（x＋4）＝ f（x），则f（x）的周期T＝4，故选项B正确；f（22）＝f（4×5＋2）＝f（2）＝0，故选项C正确；又f（x）在（0，2）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，因为周期T＝4，则f（x）在（－4，－2）上单调递增，故选项D错误.故选A、B、C.
13.解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），
得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，
即f（1＋x）＝f（1－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线 x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示.
当－4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×（12×2×1）＝4.
14.2 解析：因为f（x＋1）－2为奇函数，所以f（－x＋1）－2＝－[f（x＋1）－2]，即f（1＋x）＋f（1－x）＝4，在该式中，令x＝0，可得2f（1）＝4，则f（1）＝2.又f（1－x）＝f（3＋x），所以f（1＋x）＋f（3＋x）＝4，①.所以f（x＋3）＋f（x＋5）＝4，②.由①②可得f（x＋5）＝f（x＋1），即f（x＋4）＝f（x），所以函数 f（x）为周期函数，且该函数的周期为4.所以f（2 023）＝f（4×505＋3）＝f（3）＝4－f（1）＝2.
15.解：（1）f（x）＝2x－12x+1为奇函数，
证明如下，首先f（x）定义域为R，关于原点对称，
又f（－x）＝2－x－12－x+1＝1－2x1+2x＝－2x－12x+1＝－f（x），故f（x）为奇函数，
1＋g（x）＝1－22x－1+1＝2x－1+1－22x－1+1＝2x－1－12x－1+1＝f（x－1），
故g（x）＝f（x－1）－1，于是g（x＋1）＋1＝f（x）是奇函数，
由题意知，g（x）对称中心是（1，－1）.
（2）函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）为偶函数.