2025年高考数学一轮复习-2.3三角函数与解三角形-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-2.3三角函数与解三角形-专项训练【含答案】，共11页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。
1.已知sin α＋2cs α＝0，则sin 2α＝( )
A.－eq \f(4,5)B.－eq \f(3,5)
C.－eq \f(3,4)D.eq \f(2,3)
2.计算eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)所得的结果为( )
A.1B.eq \r(2)
C.eq \r(3)D.2
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(3)b，A－B＝eq \f(π,2)，则角C＝( )
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
4.若3sin 2α－2sin2 α＝0，且sin α≠0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))等于( )
A.－eq \f(7\r(2),10)B.－eq \f(\r(2),2)
C.－eq \f(\r(2),10)D.eq \f(\r(2),2)
5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79 m到达点E，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为( )
A.65 mB.74 m
C.83 mD.92 m
6.(多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝eq \r(3)＋1，则下列说法正确的是( )
A.C＝75°或C＝105°
B.B＝45°
C.a＝eq \r(6)
D.该三角形的面积为eq \f(\r(3)＋1,2)
7.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝________.
8.若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝________，cs 2β＝________.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝eq \f(1,4)a，2sin B＝3sin C，△ABC的面积为eq \f(3\r(15),4)，则a＝________.
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2－ab，sin A＋sin B＝2eq \r(6)sin Asin B，若c＝3，则a＋b的值为________.
11.在△ABC中，sin 2C＝eq \r(3)sin C.
(1)求∠C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6eq \r(3)，求△ABC的周长.
12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝eq \r(7)，cs ∠ABD＝eq \f(\r(2),2).
(1)求AB的长；
(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.
二、创新拓展练
13.(多选)在△ABC中，下列说法正确的是( )
A.若A>B，则sin A>sin B
B.存在△ABC满足cs A＋cs B≤0
C.在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
14.(多选)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b－2a＋4asin2eq \f(A＋B,2)＝0，则下列结论正确的是( )
A.角C一定为锐角B.a2＋2b2－c2＝0
C.3tan A＋tan C＝0D.tan B的最小值为eq \f(\r(3),3)
15.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.
16.在①asin(A＋C)＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))；②1＋2cs Ccs B＝cs(C－B)－cs(C＋B)；③eq \f(2tan B,tan A＋tan B)＝eq \f(b,c)
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2eq \r(3)，a＝eq \r(6)，________，
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 A
解析 ∵sin α＋2cs α＝0，
即sin α＝－2cs α，
∴tan α＝－2，
则sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(2sin αcs α,sin2 α＋cs2 α)＝eq \f(2tan α,tan2 α＋1)＝eq \f(2×（－2）,4＋1)＝－eq \f(4,5)，故选A.
2.答案 C
解析 eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2cs（30°－20°）－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 20°＋\f(1,2)sin 20°))－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
3.答案 B
解析 因为在△ABC中，A－B＝eq \f(π,2)，
所以A＝B＋eq \f(π,2)，
所以sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,2)))＝cs B，
因为a＝eq \r(3)b，
所以由正弦定理得sin A＝eq \r(3)sin B，
所以cs B＝eq \r(3)sin B，
所以tan B＝eq \f(\r(3),3)，
因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,6)，
所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2)))－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，故选B.
4.答案 A
解析 由题意可得eq \f(3,2)sin 2α－sin2 α＝0，
所以3sin αcs α－sin2 α＝0，
即sin α(3cs α－sin α)＝0，
又sin α≠0，所以tan α＝3，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(cs 2α－sin 2α)
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs2α－sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)))
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－tan2α－2tan α,1＋tan2α)))＝－eq \f(7\r(2),10).
5.答案 B
解析 设AC＝x(x>0)，则由已知可得AB＝3x，BE＝BC＝2x，
BD＝eq \f(AB,tan∠ADB)＝3eq \r(3)x，
所以DE＝BD－BE＝3eq \r(3)x－2x＝79，
解得x＝eq \f(79,3\r(3)－2)≈24.7，
所以楼高AB≈3×24.7＝74.1≈74(m).
6.答案 BC
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A
＝4＋4＋2eq \r(3)－2×2×(eq \r(3)＋1)×eq \f(1,2)＝6，
所以a＝eq \r(6).
由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
由于0°b，
则2Rsin A>2Rsin B，
即sin A>sin B，故A正确.
对于B，由A＋B0，故B错误.
对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得：sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，
可得(a－c)2＝0，
解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故D正确.故选AD.
14.答案 BC
解析 ∵b－2a＋4asin2eq \f(A＋B,2)＝0，
∴b－2a＋4asin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝0，
∴b－2a＋4acs2eq \f(C,2)＝0，
∴b－2a＋4a·eq \f(1＋cs C,2)＝0，
∴b＋2acs C＝0，
∴cs C