2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【含解析】，共7页。

A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值
C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
2. 已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则fx的极小值点为（ ）.
A. x3B. x4C. x5D. x1和x4
3. 已知函数fx=ex+kx在x=0处有极值，则k=（ ）.
A. −1B. 0C. 1D. e
4. 已知函数fx的导函数为f'x，则“函数fx在x=x0处有极值”是“f'x0=0”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 某电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y=13x3−392x2−40xx>0，为使其耗电量最小，则其速度为（ ）.
A. 20B. 30C. 40D. 50
6. 已知函数fx=sin x−acs x的一个极值点为x0，若tan x0=3，则实数a的值为（ ）.
A. −3B. −13C. 3D. 13
7. 已知函数fx=x3+ax2+a+6x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）.
A. 6,+∞B. −∞,−3C. −∞,−3∪6,+∞D. −∞,6
8. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）.
A. eπ>πe>3eB. πe>3e>eπC. eπ>3e>e3D. 3e>eπ>e3
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ ）.
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数fx，若f'x0=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数fx在a,b内单调，则函数fx在a,b内一定没有最值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
10. （多选题）已知函数fx=xln1+x，则（ ）.
A. fx在0,+∞上单调递增
B. fx有两个零点
C. 曲线y=fx在点(−12,f−12)处切线的斜率为−1−ln 2
D. fx是奇函数
11. 若函数fx=2aln x+1与gx=x2+1的图象存在公共切线，则实数a的最大值为_______.
12. [2024·南通月考]已知函数fx=2x3−ax2+b，若存在a，b，使得fx在区间[0,1]上的最小值为−1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为_______
应用情境练
13. 已知点A在函数fx=ex−2x的图象上，点B在直线l：x+y+3=0上，则A，B两点之间距离的最小值是_______
14.(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
创新拓展练
15. [2024·湖北联考]请写出一个满足以下条件的函数fx的解析式_______
①fx为偶函数；
②当x>0时，ln x≤fx≤xe.
16. 已知函数fx=xln x−x2+ax.
（1）若fx≤0，求实数a的取值范围；
（2）若函数fx的单调递增区间为[1e,b]，且fx的极大值为M，求证：M∈(−14,0).
3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 图象连续的函数y=fx在[a,b]上（ C ）.
A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值
C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
[解析]由函数的最值与极值的概念，可知y=fx 在[a,b] 上一定存在最大值.故选C.
2. 已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则fx的极小值点为（ C ）.
A. x3B. x4C. x5D. x1和x4
[解析]由导函数f'x 的图象可知，当xx5 时，f'x>0，当x3所以x3 为函数的极大值点，x5为函数的极小值点.故选C.
3. 已知函数fx=ex+kx在x=0处有极值，则k=（ A ）.
A. −1B. 0C. 1D. e
[解析]易知f'x=ex+k,因为函数fx=ex+kx 在x=0 处有极值,所以f'0=e0+k=0,解得k=−1，代入检验满足题意.
故选A.
4. 已知函数fx的导函数为f'x，则“函数fx在x=x0处有极值”是“f'x0=0”的（ A ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]若函数fx 在x=x0 处有极值，则一定有f'x0=0.
反之，若f'x0=0，函数fx 在x=x0 处不一定有极值，
如fx=x3 在x=0 处满足f'0=0，但fx 在x=0 处无极值，
所以“函数fx 在x=x0 处有极值”是“f'x0=0”的充分不必要条件.故选A.
5. 某电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y=13x3−392x2−40xx>0，为使其耗电量最小，则其速度为（ C ）.
A. 20B. 30C. 40D. 50
[解析]由题意知y'=x2−39x−40x>0，
令y'>0，解得x>40，令y'<0，解得0所以函数y=13x3−392x2−40xx>0 在0,40 上单调递减，在40,+∞ 上单调递增，
所以当x=40 时，y取得最小值.
因此为使耗电量最小，则其速度应定为40.故选C.
6. 已知函数fx=sin x−acs x的一个极值点为x0，若tan x0=3，则实数a的值为（ B ）.
A. −3B. −13C. 3D. 13
[解析]函数fx=sin x−acs x 的图象连续，
且f'x=cs x+asin x，
所以若x0 为fx 的一个极值点，则f'x0=cs x0+asin x0=0，解得tan x0=−1aa≠0.
因为tan x0=3，所以−1a=3，所以a=−13.故选B.
7. 已知函数fx=x3+ax2+a+6x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ C ）.
A. 6,+∞B. −∞,−3C. −∞,−3∪6,+∞D. −∞,6
[解析]由题意知f'x=3x2+2ax+a+6=0 有两个不相等的根，
所以Δ=4a2−12a+6>0，解得a>6 或a<−3.故选C.
8. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ A ）.
A. eπ>πe>3eB. πe>3e>eπC. eπ>3e>e3D. 3e>eπ>e3
[解析]设函数fx=x−eln xx>0，
则f'x=1−ex=x−ex，当0e 时，f'x>0,fx在e,+∞ 上单调递增.因此fxmin=fe=e−eln e=0，故π>eln π ,3>eln 3,故eπ>πe，e3>3e,又y=xe 是增函数，所以πe>3e,所以eπ>πe>3e.故选A.
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ CD ）.
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 对于可导函数fx，若f'x0=0，则x0为函数的一个极值点
C. 函数fx在a,b内单调，则函数fx在a,b内一定没有最值
D. 三次函数在R上可能不存在极值
[解析]对于A，根据极值的定义，函数的极小值不一定比极大值小，A错误；
对于B，若f'x≤0 或f'x≥0 恒成立，则fx 无极值点，B错误；
对于C，fx在a,b 内单调，因为区间为开区间，所以取不到最值，C正确；
对于D，三次函数求导以后为二次函数，若f'x≤0 或f'x≥0 恒成立，则fx 无极值点，D正确.故选CD.
10. （多选题）已知函数fx=xln1+x，则（ AC ）.
A. fx在0,+∞上单调递增
B. fx有两个零点
C. 曲线y=fx在点(−12,f−12)处切线的斜率为−1−ln 2
D. fx是奇函数
[解析]fx=xln1+x，定义域为−1,+∞，
则f'x=lnx+1+xx+1，
由y=lnx+1,y=xx+1=1−1x+1都在−1,+∞ 上单调递增，知y=f'x 也在−1,+∞ 上单调递增，
又f'0=0，所以当x∈−1,0 时，f'x<0，fx单调递减；当x∈0,+∞ 时，f'x>0，fx单调递增，A正确；
因为f0=0，所以fx 只有一个零点，B错误；
f'−12=ln12−1=−1−ln 2，根据导数几何意义可知C 正确；
fx 的定义域为−1,+∞，不关于原点对称，故fx 是非奇非偶函数，D错误.故选AC.
11. 若函数fx=2aln x+1与gx=x2+1的图象存在公共切线，则实数a的最大值为e .
[解析]g'x=2x，f'x=2ax，
设公切线与gx=x2+1 的图象切于点x1,x12+1，
与曲线fx=2aln x+1 切于点x2,2aln x2+1，
所以2x1=2ax2=2aln x2+1−x12+1x2−x1=2aln x2−x12x2−x1，
所以a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2−x12x2−x1，
所以x1=2x2−2x2ln x2，
因为a=x1x2，所以a=2x22−2x22ln x2.
设ℎx=2x2−2x2ln xx>0，
则ℎ'x=2x1−2ln x，令ℎ'x=0,得x=e，
当ℎ'x>0 时，x∈0,e，当ℎ'x<0 时，x∈e,+∞，
所以ℎx 在0,e 上单调递增，在e,+∞ 上单调递减，
所以ℎxmax=ℎe=e，
所以实数a 的最大值为e.
12. [2024·南通月考]已知函数fx=2x3−ax2+b，若存在a，b，使得fx在区间[0,1]上的最小值为−1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为a=4，b=1（答案不唯一）.
[解析]fx=2x3−ax2+b，f'x=6x2−2ax=2x3x−a，不妨令a3>1，f'x<0在区间[0,1] 上恒成立，则fx 在区间[0,1] 上单调递减，此时要满足题意，则f0=b=1,
f1=2−a+b=−1,解得a=4, b=1. 故符合条件的一组a，b的值为a=4,b=1.
应用情境练
13. 已知点A在函数fx=ex−2x的图象上，点B在直线l：x+y+3=0上，则A，B两点之间距离的最小值是22 .
[解析]由题意可得f'x=ex−2，令f'x=0 得x=ln 2，
所以当x∈−∞,ln 2 时，f'x<0，函数fx 单调递减；当x∈ln 2,+∞ 时，f'x>0，函数fx 单调递增.故fxmin=fln 2=eln 2−2ln 2=2−2ln 2，
所以fx 的图象如图所示.
要使得A，B两点之间的距离最小，即当直线l1 与l 平行，且直线l1 与曲线y=fx 相切时，l1与l 的距离即A,B两点之间的最小距离，
令f'x=ex−2=−1，解得x=0.
由f0=1，得直线l1 的方程为y−1=−x，即x+y−1=0，
则l1 与l 的距离d=3−−12=22，
即A，B两点之间距离的最小值是22.
14.(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
[解析] (1)f'(x)=1x+2x+a,则f'(2)=12+2×2+a=92+a,
由题意可得92+a×-23=-1,解得a=-3.
(2)由(1)得f(x)=ln x+x2-3x+2,
则f'(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x,x>0,
故当00,当121时,f'(x)>0,
故f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞),f(x)的单调递减区间为12,1,
故f(x)的极大值为f12=ln 12+122-3×12+2=34-ln 2,f(x)的极小值为f(1)=ln 1+12-3×1+2=0.
创新拓展练
15. [2024·湖北联考]请写出一个满足以下条件的函数fx的解析式:fx=eln∣x∣+∣x∣2e,x≠0,0,x=0（答案不唯一）.
①fx为偶函数；
②当x>0时，ln x≤fx≤xe.
[解析]记gx=xe−ln xx>0，则g'x=1e−1x=x−eex.
当x∈0,e 时，有g'x<0，函数gx 单调递减；当x∈e,+∞ 时，有g'x>0，函数gx 单调递增.
故gxmin=ge=ee−ln e=0，即gx≥0,所以xe≥ln x 恒成立.
故当x>0 时，
可取fx=12xe+ln x 满足ln x≤fx≤xe.
因为fx 为偶函数，所以可以找到一个符合题意的函数：
fx=eln∣x∣+∣x∣2e,x≠0,0,x=0.
16. 已知函数fx=xln x−x2+ax.
（1）若fx≤0，求实数a的取值范围；
（2）若函数fx的单调递增区间为[1e,b]，且fx的极大值为M，求证：M∈(−14,0).
[解析]（1）由题意知，函数fx 的定义域为0,+∞，
由fx≤0，不等式两边同除以x，得ln x−x+a≤0.
设gx=ln x−x+a,x>0，则g'x=1x−1，令g'x=0 得x=1.
当x∈0,1 时，g'x>0；当x∈1,+∞ 时，g'x<0.
故gx 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减,
所以gx≤g1=ln 1−1+a=−1+a，只需−1+a≤0，所以a≤1，
所以实数a 的取值范围为(−∞,1].
（2）令tx=f'x=ln x+1−2x+a,x>0，则t'x=1x−2，
令t'x=0,得x=12，
当x∈(0,12)时，t'x>0；当x∈(12,+∞)时，t'x<0.
故tx 在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减.
因为函数fx 的单调递增区间为[1e,b]，
所以f'1e=ln1e+1−2×1e+a=0,f'b=ln b+1−2b+a=0,b>12，解得a=2e，且ln b=−1+2b−a=2b−1−2e.
当x∈(0,1e)时，f'x<0；当x∈(1e,b)时，f'x>0；当x∈b,+∞ 时，f'x<0.
故fx 在(0,1e)上单调递减，在(1e,b)上单调递增，在b,+∞ 上单调递减.
所以fx 的极大值M=fb=bln b−b2+b⋅2e=b2b−1−2e−b2+2be=b2−b.
因为f'1=ln 1+1−2×1+2e=2e−1<0,f'12>0,
所以b∈(12,1)，所以b2−b∈(−14,0)，即fx 的极大值M∈(−14,0).