2025年高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念-专项训练【含解析】

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A. 143π B. −143π C. 718π D. −718π
2. 集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z} 中的角所表示的范围（阴影部分）是( )
A. B.
C. D.
3. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4 ，则这条弧所在的扇形的面积为( )
A. π2cm2 B. πcm2 C. 2πcm2 D. 4πcm2
4. 下列各选项中正确的是( )
A. sin 300∘>0 B. cs(−305∘)<0 C. tan(−22π3)>0 D. sin 10<0
5.已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,m) ,B(m,4) ,则csα= ( )
A. ±55 B. 55 C. ±255 D. 255
6. （多选）下列条件中，能使角α ，β 的终边关于y 轴对称的是( )
A. α+β=540∘ B. α+β=360∘ C. α+β=180∘ D. α+β=90∘
7. （多选）下列说法正确的是( )
A. 若角α 是第一象限角，则角−α 是第四象限角
B. 若角α ，β 是第一象限角，且α<β ，则sinαC. 若圆心角为π3 的扇形的弧长为π ，则该扇形的面积为2π3
D. 若扇形的圆心角为2π3 ,圆心角所对的弦长为43 ，则该扇形的弧长为8π3
8. 若角α 是第二象限角，则180∘−α 是第 象限角.
9.已知角α 的终边经过点P(m,4) ，且csα=−35 ，则tanα 的值为 .
10. 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23 ，面积等于圆面积的527 ，则扇形的弧长与圆周长的比为 .
[B级 综合运用]
11. （多选）已知点P(sinθ−csθ,tanθ) 在第一象限，则在[0,2π] 内角θ 的取值范围是( )
A. (π,5π4) B. (π4,π2) C. (π2,3π4) D. (3π4,5π4)
12. （多选）如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0) ,∠BOA=60∘ ,质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )
A. 经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3+3
B. 经过π12s 后，扇形AOB 的弧长为7π12
C. 经过π6s 后，扇形AOB 的面积为π3
D. 经过5π9s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇
13.在平面直角坐标系xOy 中，将向量OA=(3,−1) 绕原点O 按顺时针方向旋转π6 后得到向量OB=(m,n) ，则m+n2= .
14. 在一块顶角为120∘ ，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案一最优.
2025年高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( B )
A. 143π B. −143π C. 718π D. −718π
[解析]选B.分针每分钟转6∘ ，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为−6∘×(2×60+20)=−840∘ ，所以−840∘×π180∘=−143π .故选B.
2. 集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z} 中的角所表示的范围（阴影部分）是( C )
A. B.
C. D.
[解析]选C.当k=2n(n∈Z) 时，2nπ+π4≤α≤2nπ+π2 ，此时角α 表示的范围与π4≤α≤π2 表示的范围一样；当k=2n+1(n∈Z) 时，2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2 ,此时角α 表示的范围与π+π4≤α≤π+π2 表示的范围一样，故选C.
3. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4 ，则这条弧所在的扇形的面积为( C )
A. π2cm2 B. πcm2 C. 2πcm2 D. 4πcm2
[解析]选C.由题知扇形所在圆的半径r=ππ4=4(cm) ，则这条弧所在的扇形的面积S=12×π×4=2π(cm2) .
4. 下列各选项中正确的是( D )
A. sin 300∘>0 B. cs(−305∘)<0 C. tan(−22π3)>0 D. sin 10<0
[解析]选D.300∘=360∘−60∘ ,则300∘ 角是第四象限角，故sin 300∘<0 ,A错误;−305∘=−360∘+55∘ ,则−305∘ 角是第一象限角，故cs(−305∘)>0 ，B错误;−22π3=−8π+2π3 ,则−22π3 是第二象限角，故tan(−22π3)<0 ，C错误;3π<10<7π2 ,则10是第三象限角，故sin 10<0 ，D正确.故选D.
5.已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,m) ,B(m,4) ,则csα= ( B )
A. ±55 B. 55 C. ±255 D. 255
[解析]选B.记O 为坐标原点，由题意可知O(0,0) ，A(1,m) ,B(m,4) 三点共线，则m≠0 ,所以m1=4m ,解得m=±2 ,又A ，B 两点在同一象限，所以m=2 ,
则A(1,2) ，所以csα=112+22=15=55 .故选B.
6. （多选）下列条件中，能使角α ，β 的终边关于y 轴对称的是( AC )
A. α+β=540∘ B. α+β=360∘ C. α+β=180∘ D. α+β=90∘
[解析]选AC.假设角α ，β 为0∘∼180∘ 内的角.如图所示.
由角α 和β 的终边关于y 轴对称，得α+β=180∘ .又根据终边相同的角的概念，可得α+β=k⋅360∘+180∘=(2k+1)180∘ ,k∈Z ,所以满足条件的为A，C.故选AC.
7. （多选）下列说法正确的是( AD )
A. 若角α 是第一象限角，则角−α 是第四象限角
B. 若角α ，β 是第一象限角，且α<β ，则sinαC. 若圆心角为π3 的扇形的弧长为π ，则该扇形的面积为2π3
D. 若扇形的圆心角为2π3 ,圆心角所对的弦长为43 ，则该扇形的弧长为8π3
[解析]选AD.对于A，若角α 为第一象限角，则α∈(2kπ,π2+2kπ) ,k∈Z ,所以−α∈(−π2−2kπ−2kπ) ,k∈Z ,是第四象限角，故A正确；对于B，若α=π3 ,β=13π6 ，满足α ，β 是第一象限角，且α<β ,但sinα>sinβ ,故B错误；对于C，设扇形所在圆的半径为r ,则π3r=π ,解得r=3 ,所以该扇形的面积S=12×π3×32=3π2 ，故C错误；对于D，若圆心角为2π3 ,圆心角所对的弦长为43 ，则扇形所在圆的半径r=43×12sinπ3=4 ，所以该扇形的弧长l=2π3×4=8π3 ,故D正确.故选AD.
8. 若角α 是第二象限角，则180∘−α 是第一象限角.
[解析]若角α 是第二象限角，则k⋅360∘+90∘<α所以−k⋅360∘−180∘<−α<−k⋅360∘−90∘ ,k∈Z ,
所以−k⋅360∘<180∘−α<−k⋅360∘+90∘ ，k∈Z ，所以180∘−α 是第一象限角.
9.已知角α 的终边经过点P(m,4) ，且csα=−35 ，则tanα 的值为−43 .
[解析]由题意知m<0 ，
则csα=mm2+16=−35 ,
解得m=−3 ，所以tanα=−43 .
10. 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23 ，面积等于圆面积的527 ，则扇形的弧长与圆周长的比为518 .
[解析]设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3 ,记扇形的圆心角为α ,则12α(2r3)2πr2=527 ,所以α=5π6 .所以扇形的弧长与圆周长的比为lC=5π6⋅2r32πr=518 .
[B级 综合运用]
11. （多选）已知点P(sinθ−csθ,tanθ) 在第一象限，则在[0,2π] 内角θ 的取值范围是( AB )
A. (π,5π4) B. (π4,π2) C. (π2,3π4) D. (3π4,5π4)
[解析]选AB.因为点P(sinθ−csθ,tanθ) 在第一象限，
所以sinθ−csθ>0，tanθ>0， 即角θ 位于第一象限或第三象限，且满足sinθ>csθ ，
所以当角θ 位于第一象限时，θ∈(π4,π2) ，此时sinθ>csθ ；
当角θ 位于第三象限时，θ∈(π,5π4) ，此时sinθ>csθ .故选AB.
12. （多选）如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0) ,∠BOA=60∘ ,质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )
A. 经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3+3
B. 经过π12s 后，扇形AOB 的弧长为7π12
C. 经过π6s 后，扇形AOB 的面积为π3
D. 经过5π9s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇
[解析]选ABD.经过1 s 后，质点A 运动1 rad .质点B 运动2 rad ,此时∠BOA 的弧度数为π3+3 ，故A正确；经过π12s 后，∠AOB=π12+π3+2×π12=7π12 ,故扇形AOB 的弧长为7π12×1=7π12 ，故B正确；经过π6s 后，∠AOB=π6+π3+2×π6=5π6 ,故扇形AOB 的面积为S=12×5π6×12=5π12 ,故C错误；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+π3=2π ,解得t=5π9(s) ,故D正确.
13.在平面直角坐标系xOy 中，将向量OA=(3,−1) 绕原点O 按顺时针方向旋转π6 后得到向量OB=(m,n) ，则m+n2= 4.
[解析]设以x 轴正半轴为始边，OA 为终边,所对应的角为α(0≤α<2π) ，
根据题意得|OA|=2 ，csα=32 ，sinα=−12 ，则α=11π6 .向量OA 绕原点O 按顺时针方向旋转π6 后，m=2cs(11π6−π6)=1 ，n=2sin(11π6−π6)=−3 ,所以m+n2=4 .
14. 在一块顶角为120∘ ，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案一最优.
[解析]因为△AOB 是顶角为120∘ 即为23π ，腰长为2的等腰三角形，所以A=B=π6 ，AM=BN=1 ，AD=2 ，
所以方案一中扇形的弧长=2×π6=π3 ；方案二中扇形的弧长=1×2π3=2π3 ；
方案一中扇形的面积=12×2×2×π6=π3 ,方案二中扇形的面积=12×1×1×2π3=π3 .
由此可见，两种方案中利用废料割出的扇形面积相等，方案一切割时间短.因此方案一最优.