2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了在△ABC中，下列说法正确的是，故选A等内容，欢迎下载使用。
A．eq \f(\r(5),6) B．eq \f(\r(7),6)
C．eq \f(\r(5),3)D．eq \f(\r(7),3)
2．在△ABC中，A＝eq \f(π,6)，AB＝eq \r(3)，AC＝4，则BC边上的高的长度为( )
A．eq \f(2\r(21),7)B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \f(\r(21),3)
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcs C且c＝6，A＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．36eq \r(3)B．27
C．20eq \r(3)D．18eq \r(3)
4．已知△ABC的面积为S＝eq \f(1,4)(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．△ABC面积为4eq \r(2)，则sin C＝( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(6),9)D．eq \f(2\r(2),3)
6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是( )
A．若acs A＝bcs B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cs B
D．若cs 2A＋cs 2B－cs 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
7．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asin A＝4bsin B，ac＝eq \r(5)(a2－b2－c2)，则下列选项正确的是( )
A．a＝2bB．cs A＝eq \f(\r(5),5)
C．sin B＝eq \f(\r(5),5)D．△ABC为钝角三角形
8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为eq \r(3)，则△ABC的内切圆的半径为________．
10．在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccs C＝acs B＋bcs A；③△ABC的面积为eq \f(1,2)c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝eq \r(3)，求a，b的值．
11．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cs∠BAC＝eq \f(1,8)，以下结论正确的是( )
A．AB＝8B．eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)
C．AB＝6D．△ABD的面积为eq \f(3\r(7),4)
12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)( )
A．65．46 km B．85．09 km
C．74．35 kmD．121．12 km
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当b＝________时，满足条件“a＝1，A＝30°”的△ABC有两个．(仅写出一个b的具体数值即可)
14．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cs C＝ccs A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3eq \r(2)，则ab＝________，a＋b＝________．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(\r(3)b,2c－\r(3)a)＝eq \f(cs B,cs A)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(3)，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3\r(3),4)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3\r(3),4)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))
17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(5π,6)))＝－eq \f(1,4)．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】
1．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cs C＝eq \f(3,4)，则tan A＝( )
A．eq \f(\r(5),6) B．eq \f(\r(7),6)
C．eq \f(\r(5),3)D．eq \f(\r(7),3)
解析：D 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2BC·AC cs C＝32＋22－2×3×2×eq \f(3,4)＝4，所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cs A＝cs C＝eq \f(3,4)，tan A＝eq \f(\r(7),3)，故选D．
2．在△ABC中，A＝eq \f(π,6)，AB＝eq \r(3)，AC＝4，则BC边上的高的长度为( )
A．eq \f(2\r(21),7)B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \f(\r(21),3)
解析：A 由A＝eq \f(π,6)，AB＝eq \r(3)，AC＝4，得S△ABC＝eq \f(1,2)×4×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3)，由余弦定理得：BC＝eq \r(3＋16－2×4×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \r(7)，BC边上的高的长度为eq \f(2×\r(3),\r(7))＝eq \f(2\r(21),7)．故选A．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcs C且c＝6，A＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．36eq \r(3)B．27
C．20eq \r(3)D．18eq \r(3)
解析：D 在△ABC中，a＝bcs C，所以sin A＝sin Bcs C，又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，所以cs Bsin C＝0，因为B，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以sin C≠0，所以cs B＝0，所以B＝eq \f(π,2)，又因为c＝6，a＝6tan A＝6eq \r(3)，所以△ABC的面积为S△ABC＝eq \f(1,2)ac＝18eq \r(3)，故选D．
4．已知△ABC的面积为S＝eq \f(1,4)(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：D 依题意△ABC的面积为S＝eq \f(1,4)(b2＋c2)，则eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,4)(b2＋c2)，2bcsin A＝b2＋c2，由于0＜A＜π，0＜sin A≤1，所以0＜2bcsin A≤2bc，由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，所以sin A＝1，A＝eq \f(π,2)，△ABC是等腰直角三角形．故选D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．△ABC面积为4eq \r(2)，则sin C＝( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(6),9)D．eq \f(2\r(2),3)
解析：B 因为b＝3c＝6，△ABC的面积为4eq \r(2)＝eq \f(1,2)bcsin A＝6sin A，解得sin A＝eq \f(2\r(2),3)，因为A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs A＝eq \f(1,3)，在△ABC中，由余弦定理可得a＝eq \r(b2＋c2－2bccs A)＝4eq \r(2)，因为eq \f(4\r(2),\f(2\r(2),3))＝eq \f(2,sin C)，所以sin C＝eq \f(1,3)．故选B．
6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是( )
A．若acs A＝bcs B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cs B
D．若cs 2A＋cs 2B－cs 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
解析：BC 对于A，由正弦定理可得sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝90°，∴△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，asin B＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×eq \f(1,2)＝20，即asin B＜b＜a，∴△ABC必有两解，故B正确；对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞eq \f(π,2)，即eq \f(π,2)＞A＞eq \f(π,2)－B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，∴cs C＞0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选B、C．
7．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asin A＝4bsin B，ac＝eq \r(5)(a2－b2－c2)，则下列选项正确的是( )
A．a＝2bB．cs A＝eq \f(\r(5),5)
C．sin B＝eq \f(\r(5),5)D．△ABC为钝角三角形
解析：ACD 因为asin A＝4bsin B，所以a2＝4b2，所以a＝2b，故A正确；因为ac＝eq \r(5)(a2－b2－c2)＝eq \r(5)·(－2bccs A)，且a＝2b，所以2bc＝－2eq \r(5)bccs A，所以cs A＝－eq \f(\r(5),5)，故B错误；因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(2\r(5),5)，又因为a＝2b，所以sin A＝2sin B，所以sin B＝eq \f(\r(5),5)，故C正确；由cs A＝－eq \f(\r(5),5)＜0可知A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以△ABC为钝角三角形，故D正确；故选A、C、D．
8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________．
解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝eq \f(π,3)，所以∠BDA＝eq \f(2π,3)，根据条件△AFC与△BDA全等，所以AF＝BD＝1在△ABD中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cs∠BDA＝32＋12－2×1×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13，所以AB＝eq \r(13)．
答案：eq \r(13)
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为eq \r(3)，则△ABC的内切圆的半径为________．
解析：由题意得△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc＝eq \r(3)，故bc＝4．因为A＝60°，b＋c＝6，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝24，所以a＝2eq \r(6)，△ABC的周长为6＋2eq \r(6)，设△ABC的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)(a＋b＋c)r＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋2\r(6)))r＝eq \r(3)，所以r＝eq \r(3)－eq \r(2)．
答案：eq \r(3)－eq \r(2)
10．在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccs C＝acs B＋bcs A；③△ABC的面积为eq \f(1,2)c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝eq \r(3)，求a，b的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)选择①，根据正弦定理得(a－c)(a＋c)＝b(a－b)，
整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)．
因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3)．
选择②，根据正弦定理有sin Acs B＋sin Bcs A＝2sin Ccs C，
所以sin(A＋B)＝2sin Ccs C，即sin C＝2sin Ccs C．
因为C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，所以sin C≠0，从而有cs C＝eq \f(1,2)，
故C＝eq \f(π,3)．
选择③，因为eq \f(1,2)casin B＝eq \f(1,2)c(asin A＋bsin B－csin C)，
所以asin B＝asin A＋bsin B－csin C，由正弦定理得ab＝a2＋b2－c2，
由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
又因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3)．
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcs∠ADC，
即b2＝1＋3－2eq \r(3)cs∠ADC．
在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcs∠BDC，
即a2＝1＋3－2eq \r(3)cs∠BDC．
因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以cs∠ADC＝－cs∠BDC，
所以a2＋b2＝8．
由C＝eq \f(π,3)及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，
从而a2＋b2－2ab＝0，
所以a＝b＝2．
11．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cs∠BAC＝eq \f(1,8)，以下结论正确的是( )
A．AB＝8B．eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)
C．AB＝6D．△ABD的面积为eq \f(3\r(7),4)
解析：BCD 如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,8)，且0＜α＜eq \f(π,2)，所以cs α＝eq \f(3,4)，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcs α＝eq \f(3,4)，在Rt△ACB中，AB＝eq \f(AC,cs 2α)＝eq \f(3,4)×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，eq \f(CD,BD)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,8)，故B正确；因为cs α＝eq \f(3,4)，且0＜α＜eq \f(π,2)，所以sin α＝eq \f(\r(7),4)，所以S△ABD＝eq \f(1,2)AD·AB·sin α＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(3\r(7),4)，故D正确，故选B、C、D．
12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)( )
A．65．46 km B．85．09 km
C．74．35 kmD．121．12 km
解析：A 如图所示，由题意可得AC＝46 km，∠ACB＝16．28°，∠BAC＝132．57°，由正弦定理可得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，即eq \f(BC,sin 132.57°)＝eq \f(46,sin 31.15°)，解得BC＝eq \f(46,sin 31.15°)·sin 132．57°≈eq \f(46,0.52)×0．74≈65．46．故选A．
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当b＝________时，满足条件“a＝1，A＝30°”的△ABC有两个．(仅写出一个b的具体数值即可)
解析：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(1,2)b，若满足条件的△ABC有两个，则eq \f(1,2)b＜1且1＝a＜b，所以1＜b＜2．
答案：eq \f(3,2)((1,2)内任一数即可)
14．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cs C＝ccs A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3eq \r(2)，则ab＝________，a＋b＝________．
解析：∵(3b－a)cs C＝ccs A，∴利用正弦定理可得3sin Bcs C＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sin B．又∵sin B≠0，∴cs C＝eq \f(1,3)，则C为锐角，∴sin C＝eq \f(2\r(2),3)．由△ABC的面积为3eq \r(2)，可得eq \f(1,2)absin C＝3eq \r(2)，∴ab＝9．由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C，∴(a＋b)2＝eq \f(11,3)ab＝33，∴a＋b＝eq \r(33)．
答案：9 eq \r(33)
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(\r(3)b,2c－\r(3)a)＝eq \f(cs B,cs A)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)已知eq \f(\r(3)b,2c－\r(3)a)＝eq \f(cs B,cs A)，
则由正弦定理可得eq \f(\r(3)sin B,2sin C－\r(3)sin A)＝eq \f(cs B,cs A)，
即eq \r(3)sin Bcs A＝(2sin C－eq \r(3)sin A)cs B，
即eq \r(3)sin(A＋B)＝2sin Ccs B，即eq \r(3)sin C＝2sin Ccs B，
∵sin C≠0，∴cs B＝eq \f(\r(3),2)，又0＜B＜π，则B＝eq \f(π,6)．
(2)由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B，
即22＝a2＋c2－2accs eq \f(π,6)，
即4＝a2＋c2－eq \r(3)ac≥2ac－eq \r(3)ac，
当且仅当a＝c时，等号成立，ac≤eq \f(4,2－\r(3))＝4(2＋eq \r(3))，
∴△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(1,2)×4(2＋eq \r(3))×eq \f(1,2)＝2＋eq \r(3)．
∴△ABC的面积的最大值为2＋eq \r(3)．
16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(3)，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3\r(3),4)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3\r(3),4)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))
解析：A 由于a＝eq \r(3)，b2＋c2－bc＝3，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，且A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，那么外接圆半径为R＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝1，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)·2Rsin B·2Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \r(3)sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs B＋\f(1,2)sin B))＝eq \f(3,2)sin Bcs B＋eq \f(\r(3),2)sin2B＝eq \f(3,4)sin 2B＋eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)cs 2B))＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2B－\f(1,2)cs 2B))＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3),4)．由于△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜eq \f(π,2)，0