2025年高考数学一轮复习-5.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练【含解析】

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【基础落实练】
1.(5分)若角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.(5分)若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是( )
A.sin θ2B.cs θ2C.tan θ2D.cs 2θ
3.(5分)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(1213,513)和(-35,45),那么sin αcs β=( )
A.-3665B.-313C.413D.4865
4.(5分)我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1 738千米,则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A.1 069千米B.1 119千米
C.2 138千米D.2 238千米
5.(5分)(多选题)下列结论正确的是( )
A.-7π6是第三象限角
B.角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z)
C.若角α的终边过点P(-3,4),则cs α=-35
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
6.(5分)(多选题)已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是( )
A.sin θ=-217
B.α为钝角
C.cs α=-277
D.点(tan θ,sin α)在第一象限
7.(5分)终边在直线y=-x上的一个角α可以是 .
8.(5分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为2π3弧度,则扇形的面积是 .
9.(5分)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由AB及其所对弦AB围成的图形.若弧田的弦AB长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧田的AB长为 ,弧田的面积为 .
10.(10分)已知1|sinα|=-1sinα,且lg(cs α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M(35,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
11.(10分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sin α·cs α+sin β·cs β+tan α·tan β的值.
【能力提升练】
12.(5分)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A.5+14B.5-12
C.3-5D.5-2
13.(5分)点P(cs θ,sin θ)与点Q(cs(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称,写出一个符合题意的θ的值为 .
14.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0),它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-12,求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合;
(2)若α∈(0,π2],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
5.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)若角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【解析】选A.角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在第一象限.
2.(5分)若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是( )
A.sin θ2B.cs θ2C.tan θ2D.cs 2θ
【解析】选C.由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角,2θ为第三或第四象限角,所以tan θ2>0.
3.(5分)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(1213,513)和(-35,45),那么sin αcs β=( )
A.-3665B.-313C.413D.4865
【解析】选B.由题意,角α,β的终边与单位圆分别交于点(1213,513)和(-35,45),由三角函数的定义,可得sin α=513,cs β=-35,
所以sin αcs β=513×(-35)=-313.
4.(5分)我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1 738千米,则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A.1 069千米B.1 119千米
C.2 138千米D.2 238千米
【解析】选D.嫦娥五号绕月飞行半径为400+1 738=2 138(千米),所以嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为l=αr=π3×2 138≈3.143×2 138≈2 238(千米).
5.(5分)(多选题)下列结论正确的是( )
A.-7π6是第三象限角
B.角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z)
C.若角α的终边过点P(-3,4),则cs α=-35
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
【解析】选BC.对于A选项,因为-7π6=5π6-2π且5π6为第二象限角,故-7π6为第二象限角,A错;
对于B选项,根据终边相同角的表示可知角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z),B对;
对于C选项,由三角函数的定义可得cs α=-332+42=-35,C对;
对于D选项,取α=π6,则角α为锐角,但2α=π3,即角2α为锐角,D错.
6.(5分)(多选题)已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是( )
A.sin θ=-217
B.α为钝角
C.cs α=-277
D.点(tan θ,sin α)在第一象限
【解析】选ACD.角θ的终边经过点(-2,-3),sin θ=-217,A正确;
θ与α的终边关于x轴对称,由题意得α的终边经过点(-2,3),α为第二象限角,不一定为钝角,cs α=-277,B错误,C正确;
因为tan θ=32>0,sin α=217>0,
所以点(tan θ,sin α)在第一象限,D正确.
7.(5分)终边在直线y=-x上的一个角α可以是 .
【解析】终边在直线y=-x上的角的集合为{θ|θ=3π4+kπ,k∈Z},
所以终边在直线y=-x上的一个角α可以是3π4.
答案:3π4(答案不唯一)
8.(5分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为2π3弧度,则扇形的面积是 .
【解析】由题意可得Rt△AOD中∠AOD=π3,AD=1,
由ADOA=sin π3可得扇形的半径r=OA=1sin π3=233,
所以扇形的弧长l=αr=2π3×233=439π,
所以扇形的面积S=12lr=12×439π×233=4π9.
答案:4π9
9.(5分)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由AB及其所对弦AB围成的图形.若弧田的弦AB长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧田的AB长为 ,弧田的面积为 .
【解析】由题意可知:BC=AC=1,AO=ACsin1=1sin1,OC=BCtan1=1tan1,
所以AB长=2×1sin1=2sin1,弧田的面积=S扇形AOB-S△AOB=12×2×(1sin1)2-12×2×1tan1=1sin21-1tan1.
答案:2sin1 1sin21-1tan1
10.(10分)已知1|sinα|=-1sinα,且lg(cs α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
【解析】(1)由1|sinα|=-1sinα,得sin α<0,
由lg(cs α)有意义,可知cs α>0,
所以α是第四象限角.
(2)若角α的终边上一点M(35,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
【解析】(2)因为|OM|=1,所以(35)2+m2=1,解得m=±45.
又α为第四象限角,故m<0,从而m=-45,sin α=yr=m|OM|=-451=-45.
11.(10分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sin α·cs α+sin β·cs β+tan α·tan β的值.
【解析】由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).
所以sin α=-2aa2+(-2a)2=-25,cs α=aa2+(-2a)2=15,tan α=-2aa=-2;
sin β=a(2a)2+a2=15,
cs β=2a(2a)2+a2=25,tan β=a2a=12.
故有sin α·cs α+sin β·cs β+tan α·tan β=-25×15+15×25+(-2)×12=-1.
【能力提升练】
12.(5分)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A.5+14B.5-12
C.3-5D.5-2
【解析】选B.设∠AOB=θ,半圆的半径为r,扇形OCD的半径为r1,
依题意,有12θr2-12θr1212θr2=5-12,
即r2-r12r2=5-12,
所以r12r2=3-52=6-254=(5-12)2,
从而得r1r=5-12.
13.(5分)点P(cs θ,sin θ)与点Q(cs(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称,写出一个符合题意的θ的值为 .
【解析】因为P(cs θ,sin θ)与Q(cs(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称,即θ,θ+π6关于y轴对称,θ+π6+θ=π+2kπ,k∈Z,则θ=kπ+5π12,k∈Z,
当k=0时,可取θ的一个值为5π12.(满足θ=kπ+5π12,k∈Z即可)
答案:5π12(答案不唯一)
14.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0),它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-12,求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合;
【解析】(1)由题意知,若点B的横坐标为-12,可得B的坐标为(-12,32),所以sin α=32,于是α=2π3+2kπ,k∈Z,与角α终边相同的角β的集合为{β|β=2π3+2kπ,k∈Z}.
(2)若α∈(0,π2],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
【解析】(2)△AOB的AB边上的高为1×cs α2,AB=2sin α2,
故S△AOB=12×2sin α2×cs α2=sin α2×cs α2,
故弓形AB的面积S=12·α·12-sin α2×cs α2=12α-sin α2×cs α2=12α-12sin α,α∈(0,π2].