2025年高考数学一轮复习-6.5.3-高考中的解三角形问题-专项训练【含解析】

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【基础落实练】
1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cs∠BAC=13,点D在BC边上且AD=433,
则sin∠ADC=( )
A.63B.13C.33D.223
2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A+2csin C=2bsin Ccs A,则角A的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
3.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为( )
A.2+33B.1+24C.1+74D.34
4.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分线交BC于点M,且BM∶MC=2∶3.
若∠AMB=60°,则AB+ACBC=( )
A.2B. 5C. 7D.3
5.(5分)(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,
cs∠CDB=-55,则( )
A.sin∠CDB=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
6.(5分)已知△ABC为锐角三角形,D,E分别为AB,AC的中点,且CD⊥BE,则cs A的取值范围是( )
A.12,1B.12, 63
C.45,1D.45, 63
7.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC= ,
cs∠MAC= .
8.(5分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为 .
9.(5分)(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
【加练备选】
已知D是△ABC边AC上一点,且CD=3AD,BD= 2,cs ∠ABC=14,则3AB+BC的最大值为 .
10.(10分)在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7.
(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;
(2)若D为BC的中点,且AB=19,证明:∠ADC=2∠ADB.
11.(10分)(2023·武汉模拟)在①a=7,②AC边上的高为332,③sin B=217这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.
问题:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,c=b+1, .
(1)求c的值;
(2)设AD是△ABC的角平分线,求AD的长.
【能力提升练】
12.(5分)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB= ;借助黄金三角形可计算sin 234°= .
13.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=2CD,AD=BD,则tan∠BAC·cs2 B的最大值为 .
14.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC.
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积S有最小值?求出最小值.
高考中的解三角形问题-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)在△ABC中,AB=3,AC=2,cs∠BAC=13,点D在BC边上且AD=433,
则sin∠ADC=( )
A.63B.13C.33D.223
【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得
BC=AB2+AC2-2AB·ACcs∠BAC=9+4-2×3×2×13=3,
所以BC=AB,所以∠BCA=∠BAC,
所以sin∠BCA=sin∠BAC=1-19=223,
在△ADC中,由正弦定理得ADsin∠DCA=ACsin∠ADC,即433223=2sin∠ADC,
所以sin∠ADC=63.
2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A+2csin C=2bsin Ccs A,则角A的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
【解析】选A.因为asin A+2csin C=2bsin Ccs A,
由正弦定理可得a2+2c2=2bccs A ①,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A ②,
由①②可得2a2=b2-c2,所以cs A=b2+c2-a22bc=b2+c2-12(b2-c2)2bc=b2+3c24bc,
因为b2+3c2≥2b2·3c2=23bc,当且仅当b=3c时取等号,所以cs A≥23bc4bc=32,
又A∈(0,π),所以角A的最大值为π6.
3.(5分)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为( )
A.2+33B.1+24C.1+74D.34
【解析】选C.如图,
在△ABD中,由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsin∠BAD,即6sin45°=3sin∠BAD,故sin∠BAD=24.
又BD故∠BAD只能是锐角,故cs∠BAD=144.
所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)
=sin(∠BAD+45°)=24×22+144×22=1+74.
4.(5分)在△ABC中,已知∠BAC的平分线交BC于点M,且BM∶MC=2∶3.
若∠AMB=60°,则AB+ACBC=( )
A.2B. 5C. 7D.3
【解析】选C.因为AM平分∠BAC,由角平分线的性质:
所以ABAC=BMCM=23,设AB=2k(k>0),则AC=3k,由正弦定理:2BC5sin∠BAM=2k 32①,
3BC5sin∠CAM=3k 32②,
①+②可得:BCsin∠BAM=5k 32,可求得:sin ∠BAM= 3BC10k.
所以cs ∠BAC=1-2sin2∠BAM=50k2-3BC250k2.
根据余弦定理:(BC)2=(2k)2+(3k)2-2×2k×3k·50k2-3BC250k2,整理可得:BC=5 7k7.
则AB+ACBC=5k5 7k7= 7.
5.(5分)(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,
cs∠CDB=-55,则( )
A.sin∠CDB=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
【解析】选BCD.由cs∠CDB=-55可得
sin∠CDB= 1-15=255,故A错误;
设CD=x,CB=2x,在△CBD中,由余弦定理,可得-55=9+x2-4x26x,
整理可得,5x2-25x-15=0,解得x=5,即CD=5,CB=25,
所以S△ABC=S△BCD+S△ADC=12×3×5×255+12×5×5×255=8,故B正确;
由余弦定理,可知cs B=CB2+BD2-CD22CB·BD=CB2+AB2-AC22CB·AB,即20+9-52×3×25=20+64-AC22×8×25,解得AC=25,故△ABC的周长为AB+AC+CB=8+25+25=8+45,故C正确;
由余弦定理,可得cs∠ACB=20+20-642×25×25=-35<0,故∠ACB为钝角,故D正确.
6.(5分)已知△ABC为锐角三角形,D,E分别为AB,AC的中点,且CD⊥BE,则cs A的取值范围是( )
A.12,1B.12, 63
C.45,1D.45, 63
【解析】选D.如图,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设CD,BE交于点G,连接AG并延长交BC于点F,则F为BC的中点,
由CD⊥BE,可得FG=12BC=12a,
AG=a,AF=32a.在△ABF中,c2=32a2+12a2-2×32a·12a·cs ∠AFB,
在△ACF中,b2=32a2+12a2-2×32a·12a·cs ∠AFC,
因为∠AFC+∠AFB=π,所以上面两式相加,得c2+b2=5a2.
因为△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2,可得3b2>2c2,3c2>2b2,则23又cs A=b2+c2-a22bc=b2+c2-15(b2+c2)2bc=25bc+cb≥25×2=45,当且仅当b=c时取等号,
设bc=t( 63因为f( 63)=f( 62)=5 66,则45≤cs A< 63.
7.(5分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC= ,
cs∠MAC= .
【解析】在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cs B,
即12=4+BM2-2BM×2×12,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B=4+64-2×2×8×12=52,
所以AC=213.
在△AMC中,由余弦定理得cs∠MAC=AC2+AM2-MC22AM·AC=52+12-162×23×213=23913.
答案:213 23913
8.(5分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为 .
【解析】因为a2=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-a2,
所以cs A=b2+c2-a22bc=12,
因为A∈(0,π),所以A=π3.
方法一:因为a=3,
所以由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=332=23,
所以b=23sin B,c=23sin C,
则a+b+c=3+23sin B+23sin C
=3+23sin B+23sin(2π3-B)
=3+33sin B+3cs B=3+6sin(B+π6),
因为B∈(0,2π3),所以当B=π3时,周长取得最大值9.
方法二:因为a=3,
所以由余弦定理得9=b2+c2-bc,
所以(b+c)2-3bc=9,
所以(b+c)2-9=3bc≤3·(b+c2)2,
所以(b+c)2≤36,
因为b+c>0,所以0所以a+b+c≤9,所以△ABC的周长最大值为9.
答案:9
9.(5分)(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
【解析】设CD=2BD=2m>0,则在△ABD中,
AB2=BD2+AD2-2BD·ADcs∠ADB=m2+4+2m,
在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·ADcs∠ADC=4m2+4-4m,
所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)-12(1+m)m2+4+2m=4-12m+1+3m+1≥4-122(m+1)·3m+1=4-23,
当且仅当m+1=3m+1,即m=3-1时等号成立.所以当ACAB取得最小值时,BD=3-1.
答案:3-1
【加练备选】
已知D是△ABC边AC上一点,且CD=3AD,BD= 2,cs ∠ABC=14,则3AB+BC的最大值为 .
【解析】解法一:设AD=t,则CD=3t,AC=4t,
△ABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,
在△ABD中,cs ∠ADB=t2+ 22-c22 2t,
在△BDC中,cs ∠BDC=3t2+ 22-a22 2·3t,又cs ∠ADB=-cs ∠BDC,
所以t2+ 22-c22 2t=-3t2+ 22-a22 2·3t,可得12t2=3c2+a2-8,①
在△ABC中,AC2=(4t)2=a2+c2-
2accs ∠ABC,即16t2=a2+c2-12ac,②
由①②可得a2+9c2+32ac=32,
所以32=(a+3c)2-32a·3c≥(a+3c)2-32×a+3c22=58(a+3c)2,
即(a+3c)2≤8×325,所以a+3c≤16 55,
当且仅当a=3c,即a=8 55,c=8 515时等号成立,
所以3AB+BC的最大值为16 55.
解法二:因为CD=3AD,所以CD=3DA,
即BD-BC=3(BA-BD),
整理得BD=34BA+14BC,两边平方,
有BD2=916BA2+116BC2+38BA·BC.
所以2=916BA2+116BC2+38BA·BC,
即2=916BA2+116BC2+38|BA|·|BC|×14,
整理得32=9|BA|2+|BC|2+32|BA|·|BC|,
设c=|BA|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+32ac=(3c+a)2-92ac.
因为9ac2=3·3c·a2≤323c+a22,所以32=(3c+a)2-92ac≥(3c+a)2-38(3c+a)2=58(3c+a)2,即3c+a≤ 8×325=16 55,当且仅当a=8 55,c=8 515时等号成立,所以3AB+BC的最大值为16 55.
答案:16 55
10.(10分)在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7.
(1)若DC=3,∠B=45°,求AB;
(2)若D为BC的中点,且AB=19,证明:∠ADC=2∠ADB.
【解析】(1)在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cs∠ADC=9+25-492×3×5=-12,
所以∠ADC=120°.即∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理,得5sin45°=ABsin60°,解得AB=562.
(2)设BD=DC=x.
在△ABD中,由余弦定理得cs∠ADB=x2+25-192×x×5,
在△ADC中,由余弦定理得cs∠ADC=x2+25-492×x×5.
因为∠ADC+∠ADB=180°,所以x2+25-192×x×5+x2+25-492×x×5=0,解得x=3,
所以cs∠ADC=9+25-492×3×5=-12,所以∠ADC=120°,从而∠ADB=60°,故∠ADC=2∠ADB.
11.(10分)(2023·武汉模拟)在①a=7,②AC边上的高为332,③sin B=217这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.
问题:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,c=b+1, .
(1)求c的值;
(2)设AD是△ABC的角平分线,求AD的长.
【解析】选条件①:
(1)因为a=7,c=b+1,A=60°,
由余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=12,
解得b=2或b=-3(舍去),
所以c=b+1=3.
(2)因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=30°,
cs B=a2+c2-b22ac=7+9-42×7×3=277,sin B=1-cs2B=1-47=217,
则sin∠ADB=sin(B+30°)=sin Bcs 30°+cs Bsin 30°=217×32+277×12=5714.
由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsinBsin∠ADB=3×2175714=635.
选条件②:
(1)AC边上的高为332,由三角形的面积公式,得12b(b+1)·sin A=334b,
解得b=2,所以c=3.
(2)因为AC边上的高为332,A=60°,
所以a=(332) 2+(2-32) 2=7.
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAD=30°,
cs B=a2+c2-b22ac=7+9-42×7×3=277,
sin B=1-cs2B=1-47=217,
则sin∠ADB=sin(B+30°)=sin Bcs 30°+
cs Bsin 30°=217×32+277×12=5714.
由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,
所以AD=ABsinBsin∠ADB=3×2175714=635.
选条件③:
(1)sin B=217,由题意可知B所以cs B=1-sin2B=1-2149=277.
因为A+B+C=π,
所以sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B=32×277+12×217=32114.
由正弦定理,得sinBsinC=bc,则21732114=bb+1,
解得b=2,所以c=3.
(2)因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=30°,
则sin∠ADB=sin(B+30°)=sin Bcs 30°+cs Bsin 30°=217×32+277×12=5714.
由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=ABsinBsin∠ADB=3×2175714=635.
【能力提升练】
12.(5分)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准又美观.如图所示,△ABC是黄金三角形,AB=AC,作∠ABC的平分线交AC于点D,易知△BCD也是黄金三角形.若BC=1,则AB= ;借助黄金三角形可计算sin 234°= .
【解析】由题可得∠A=∠ABD=∠DBC=36°,∠C=∠BDC=72°,所以△ABC∽△BCD,得ABBC=BCCD,且AD=BD=BC=1.
设AB=AC=x,则CD=x-1,所以x1=1x-1,解得x=5+12(负值舍去).
因为sin 234°=sin(180°+54°)=-sin 54°=-cs 36°.在△ABC中,根据余弦定理可得cs 36°=x2+x2-12x2=5+14,所以sin 234°=-5+14.
答案:5+12 -5+14
13.(5分)在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=2CD,AD=BD,则tan∠BAC·cs2 B的最大值为 .
【解析】解法一:在△ABC中,由BD=2CD得:AD=13AB+23AC,两边取模得:
|AD|2=13AB+23AC2,又AD=BD,代入得:49a2=19c2+49b2+49bccs ∠BAC,
即4a2=c2+4b2+4bccs ∠BAC,4(c2+b2-a2)-3c2+4bccs ∠BAC=0.
由余弦定理得:8bccs ∠BAC-3c2+4bccs ∠BAC=0,即4bcs ∠BAC=c.
再由正弦定理得:4sin Bcs ∠BAC=sin C=sin(∠B+∠BAC),
即4sin Bcs ∠BAC=sin B cs ∠BAC+cs Bsin ∠BAC,
所以tan∠BAC=3tan B,
所以tan∠BAC·cs2B=3tan Bcs2B=32sin 2B≤32(当B=π4时,“=”成立).
解法二:如图,由已知,设BD=x,则AD=x,CD=x2,
在△ABC中,3x2sin∠BAC=bsinB,在△ACD中,x2sin(∠BAC-∠B)=bsin2B,
所以3x2·sinBsin∠BAC=x·sinBcsBsin(∠BAC-∠B)=x·sinBcsBsin∠BACcsB-cs∠BACsinB,
化简可得:tan ∠BAC·cs B=3sin B,可得:tan∠BAC·cs2B=32sin 2B≤32.
解法三:如图,分别过D,C作AB边上的高DE,CF,故DE∥CF.
在△ABD中,由三线合一知BE=AE.
由DE∥CF,BD=2CD得BE=2AF,DE∶CF=2∶3,所以tan∠BAC=CFAF=32DE12BE=3tan B,
所以tan∠BAC·cs2B=3tan Bcs2B=32sin 2B≤32(当B=π4时,“=”成立).
答案:32
14.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC.
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积S有最小值?求出最小值.
【解析】(1)由题意得∠DAC=30°,∠ADC=120°,
在△ADC中,由正弦定理得DCsin∠DAC
=ACsin∠ADC,所以DC=2×12×23=233.
(2)因为∠CAB=60°,AD⊥AB,所以∠CAD=30°,
由四边形内角和为360°,得∠ADC=150°-θ,
所以在△ADC中,DCsin30°=2sin(150°-θ),
得DC=1sin(150°-θ),
在△ABC中,BCsin60°=2sinθ,得BC=3sinθ,
所以S=12DC·BC·sin 120°=34×1sin(150°-θ)sinθ=34×112sinθcsθ+32sin2θ
=34×114sin2θ-34cs2θ+34=34×112sin(2θ-60°)+34,
因为0°<θ<150°,所以当θ=75°时,S取得最小值,最小值为6-33.