2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【导学案】，共11页。学案主要包含了随机变量的概念及分类，求离散型随机变量的分布列，分布列的性质及应用等内容，欢迎下载使用。
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布．
知识点一 随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
知识点二 离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
知识点三 离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点四 两点分布
如果P(A)＝p，则P(eq \x\t(A))＝1－p，那么X的分布列为
我们称X服从两点分布或0－1分布．
思考 随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？
答案 不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是．
1．离散型随机变量的取值是任意的实数．( × )
2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( √ )
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( × )
4．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．( × )
一、随机变量的概念及分类
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
反思感悟 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
跟踪训练1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解 (1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
二、求离散型随机变量的分布列
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有Ceq \\al(2,5)＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),10)＝eq \f(3,5)，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为eq \f(3,5).
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),10)＝eq \f(1,10)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),10)＝eq \f(3,5)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),10)＝eq \f(3,10).
故X的分布列为
反思感悟 求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练2 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．
解 X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝eq \f(1,5)，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝eq \f(4×1,5×4)＝eq \f(1,5)，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝eq \f(4×3×1,5×4×3)＝eq \f(1,5)，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝eq \f(4×3×2×1,5×4×3×2)＝eq \f(1,5)，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝eq \f(4×3×2×1×1,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5)，
所以X的分布列为
三、分布列的性质及应用
例3 设随机变量X的分布列Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5))).
解 由题意，所给分布列为
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝eq \f(1,15).
(2)方法一 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝eq \f(3,15)＋eq \f(4,15)＋eq \f(5,15)＝eq \f(4,5).
方法二 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤\f(2,5)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq \f(4,5).
延伸探究
本例条件不变，求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)