2025年高考数学一轮复习-8.2空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.2空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含解析】，共19页。试卷主要包含了《九章算术·商功》中刘徽注等内容，欢迎下载使用。
1.直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（ ）
A.平行 B.异面
C.相交 D.没有公共点
2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（ ）
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行，也可能是异面直线
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.无法判断
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝12AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为 .

（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（ ）
A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
平面基本事实的应用
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（ ）
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
2.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是（ ）
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D.直线c与平面α可能平行
（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
考向2 异面直线所成的角
【例2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A.15 B.56
C.55 D.22
1.（变条件）若将本例中条件“AA1＝3”变为“AA1＝2”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .
2.（变条件，变设问）若将本例中条件“AA1＝3”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，则AA1＝ .
1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝2，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
空间几何体的交线与截面问题
考向1 空间几何体的交线问题
【例3】 （2020·新高考Ⅰ卷16题）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
考向2 空间几何体的截面问题
【例4】 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，DM＝13DD1，BN＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是（ ）
A.三角形B.四边形
C.五边形D.六边形
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为 .
1.（多选）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为33
2.（2024·南京六校联考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为32，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，则C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 .
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
2.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（ ）
A.①③ B.②③
C.②④ D.②③④
5.（多选）下列四个命题中是真命题的为（ ）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
6.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面
D.B，B1，O，M共面
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.
9.（2024·菏泽模拟）如图，已知P，Q，R分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中点，由点P，Q，R确定的平面β截该正方体所得截面为（ ）
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
10.《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图②所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为（ ）
A.913 B.813
C.159 D.155
11.（多选）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直
12.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .
13.（2024·兰州模拟）如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 .
14.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
15.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，以C1为球心，7为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为 .
16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线CED是什么曲线.
8.2空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【解析版】
1.直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（ ）
A.平行 B.异面
C.相交 D.没有公共点
解析：C 直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故选C.
2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（ ）
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行，也可能是异面直线
解析：D α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.无法判断
解析：C 由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示，在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面.故选C.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝12AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为 .
答案：π3
解析：如图，连接AC，EC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，显然A1C1∥AC，则∠EAC为直线A1C1与AE所成的角，由E为DD1的中点，且AD＝12AA1，则DE＝AD＝DC，即AC＝AE＝CE，故△ACE为等边三角形，则∠EAC＝π3.

（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（ ）
A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：AC 由结论可得A、C正确.
平面基本事实的应用
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（ ）
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析：C 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
2.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：B 如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，
∵BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是（ ）
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D.直线c与平面α可能平行
（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案：（1）C （2）D
解析：（1）因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ，因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），A、B错误，C正确；D选项，假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误，故选C.
（2）如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，则BE＝2，因为F是AB的中点，又AB＝2，则BF＝1，AE＝AB2＋BE2＝4+（2）2＝6，CF＝BC2＋BF2＝4+1＝5，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，所以OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面上，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D.
考向2 异面直线所成的角
【例2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A.15 B.56
C.55 D.22
解析：C 如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝AD2＋DD12＝2，DM＝AD2＋（12AB）2＝52，DB1＝AB2＋AD2＋DD12＝5.所以OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝52，于是在△DMO中，由余弦定理，得cs∠MOD＝12＋（52）2－（52）22×1×52＝55.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.
1.（变条件）若将本例中条件“AA1＝3”变为“AA1＝2”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .
答案：45
解析：连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1（或其补角）为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB＝BC＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，∴cs∠A1BC1＝A1B2＋BC12－A1C122A1B·BC1＝45.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.
2.（变条件，变设问）若将本例中条件“AA1＝3”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，则AA1＝ .
答案：3
解析：设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝2，A1B＝BC1＝t2+1.∴cs∠A1BC1＝A1B2＋BC12－A1C122×A1B×BC1＝t2+1+t2+1－22×t2+1×t2+1＝910.解得t＝3，则AA1＝3.
1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析：D 法一（反证法） 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二（模型法） 如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝2，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：C 如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1（或其补角）就是异面直线A1C与AD所成的角，连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，由已知可得A1D1＝1，D1C＝3，A1C＝2，∵A1C2＝A1D12＋D1C2，∴△A1D1C为直角三角形且∠A1D1C＝90°，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝3，∴∠CA1D1＝60°.
空间几何体的交线与截面问题
考向1 空间几何体的交线问题
【例3】 （2020·新高考Ⅰ卷16题）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
答案：2π2
解析：如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝22＋12＝5，D1M⊥B1C1，且D1M＝3.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝2，连接D1P，则D1P＝D1M2＋MP2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以M为圆心，2为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH的长为14×2π×2＝2π2.
考向2 空间几何体的截面问题
【例4】 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，DM＝13DD1，BN＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是（ ）
A.三角形B.四边形
C.五边形D.六边形
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为 .
答案：（1）C （2）92
解析：（1）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，连接NF，ME，则五边形C1MEFN为所求截面图形.
（2）如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h＝（5）2－222＝322，∴梯形MNDB的面积为12×（2＋22）×322＝92.
1.（多选）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为33
解析：ACD 易知A、C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝22，GH＝2，OE＝OO'2＋O'E2＝1+（22）2＝62，所以S＝2×12×（2＋22）×62＝33，故D正确.
2.（2024·南京六校联考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为32，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，则C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 .
答案：13
解析：如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，连接MN，由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即点Q的轨迹为MN，由正方体棱长为32，得C1M＝12A1C1＝3，则BC1＝6，又BEB1C1＝BNNC1＝12，则NC1＝23BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，则MN＝MC12＋NC12－2MC1·NC1·cs∠A1C1B＝9+16－2×3×4×12＝13.
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
解析：D 根据条件作出示意图，由图可知D正确.
2.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：D 如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故选D.
3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线.综上所述，a，b相交是a，c相交的充分不必要条件.故选C.
4.如图，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（ ）
A.①③ B.②③
C.②④ D.②③④
解析：C 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.
5.（多选）下列四个命题中是真命题的为（ ）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
解析：AD 对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题.
6.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面
D.B，B1，O，M共面
解析：ABC ∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .
答案：4
解析：因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.
解：（1）如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角.
在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
故异面直线A1D与AC所成的角为60°.
（2）连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.
9.（2024·菏泽模拟）如图，已知P，Q，R分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中点，由点P，Q，R确定的平面β截该正方体所得截面为（ ）
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
解析：D 如图，分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，QF，PR，EM，由正方体性质得RF∥PQ，所以R，F，P，Q∈平面β，且RF∥PQ∥EM，又QF，RP，EM交于同一点O，所以E，M⊂平面β，所以点P，Q，R确定的平面β即为六边形RFEPQM，故选D.
10.《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图②所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为（ ）
A.913 B.813
C.159 D.155
解析：A 如图，取B1C1的中点E，连接A1E，EC，则A1E∥AM，∠EA1C即为异面直线A1C与AM所成的角或其补角，在Rt△A1C1E中，A1E＝9+4＝13，在Rt△EC1C中，EC＝22＋22＝22，在Rt△A1C1C中，A1C＝13，在△A1EC中，由余弦定理得，cs∠EA1C＝A1E2＋A1C2－EC22A1E·A1C＝13+13－8213×13＝913，故异面直线A1C与AM所成角的余弦值为913，故选A.
11.（多选）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直
解析：BCD 如图，还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面.又易知△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.∴B、C、D正确.
12.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .
答案：2
解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.
13.（2024·兰州模拟）如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 .
答案：32
解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为32.
14.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解：（1）由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
∴四棱锥O-ABCD的体积V＝13×4×2＝83.
（2）如图，连接AC，取线段AC的中点E，连接ME，DE，
又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD（或其补角）为异面直线OC与MD所成的角，
由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，
∵（2）2＋（3）2＝（5）2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为63.
15.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，以C1为球心，7为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为 .
答案：2π3
解析：设A1B1的中点为M，则C1M⊥A1B1，C1M＝3，又因为面A1B1C1⊥面ABB1A1，且面A1B1C1∩面ABB1A1＝B1A1，C1M⊂面A1B1C1，所以C1M⊥面ABB1A1，所以题中所求交线即为以M为圆心，（7）2－C1M2＝7－3＝2为半径的一段圆弧，设该圆弧与BB1，AA1的交点分别为P，Q，球与侧面ABB1A1的交线如图所示，则PM＝2，B1M＝1，易知∠PMB1＝∠QMA1＝π3，所以该圆弧所对的圆心角∠PMQ＝π3，故所求弧长为2×π3＝2π3.
16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线CED是什么曲线.
解：如图，设☉O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的圆心角为2πRl＝2π，
∴Rl＝22，∴sin∠BVO＝22，
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝π4.
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝π4，
∴∠VEO＝π2，即VE⊥OE.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，
∴CD⊥平面VAB.
∵VE⊂平面VAB，∴VE⊥CD.
又∵OE∩CD＝O，OE，CD⊂平面CDE，
∴VE⊥平面CDE.
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面与轴线夹角大小为π4.
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面与圆锥面的截线CED为一抛物