2025年高考数学一轮复习-8.5-空间向量的运算及其坐标表示【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5-空间向量的运算及其坐标表示【导学案】，共13页。学案主要包含了课标解读，课程标准，核心素养，命题说明，必备知识·逐点夯实，核心考点·分类突破等内容，欢迎下载使用。
【课程标准】
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.
2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.
3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.空间向量有关概念
(1)单位向量:模为1的向量.
(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.
微点拨
(1)零向量与任意向量平行;
(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.
2.空间向量有关定理
(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,c叫做空间的一个基底.
3.空间向量有关运算
设a=a1,a2,a3,b=(b1,b2,b3),
(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.
(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=
|a||b|cs.
微点拨
向量a在向量b方向上的投影向量:acs·bb=a·bb2·b.
4.空间向量有关公式
(1)空间两点间距离公式
已知P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2,则P1P2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.
(2)空间两点的中点公式
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22.
(3)空间向量共线与垂直公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(4)空间向量模与夹角公式
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=x12+y12+z12;
cs〈a,b〉=a·b|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.
常用结论
1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:OA=xOB+yOC(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.在利用MN=xAB+yAC证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内.
基础诊断·自测
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( × )
提示:(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.( × )
提示: (2)a⊥α;
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( × )
提示: (3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间的一个基底;
(4)若a·b