2025年高考数学一轮复习-8.5-椭 圆【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5-椭 圆【导学案】，共5页。
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
提醒 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（ ）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（ ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（ ）
（4）x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（ ）
2.椭圆x216＋y225＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（ ）
A.6 B.3
C.4 D.2
3.已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.长轴长为12 B.焦距为34
C.短轴长为14 D.离心率为32
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于13，则椭圆C的方程是（ ）
A.x24＋y23＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y22＝1 D.x29＋y28＝1
5.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是 .
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a；
（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大，最大值为bc；
（2）S△F1PF2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan θ2＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2；
（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝2b2a.
1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（ ）
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
2.已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝π3时，△PF1F2的面积为 .
参考答案与解析
1.椭圆的定义
提醒 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（ × ）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（ × ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（ √ ）
（4）x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（ √ ）
2.椭圆x216＋y225＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（ ）
A.6 B.3
C.4 D.2
解析：A 由椭圆方程x216＋y225＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，因为｜PF2｜＝4，所以｜PF1｜＝6，即点P到下焦点的距离为6.
3.已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.长轴长为12 B.焦距为34
C.短轴长为14 D.离心率为32
解析：D 把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2116＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，则长轴长2a＝1，焦距2c＝32，短轴长2b＝12，离心率e＝ca＝32，故选D.
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于13，则椭圆C的方程是（ ）
A.x24＋y23＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y22＝1 D.x29＋y28＝1
解析：D 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），所以c=1，ca＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为x29＋y28＝1.故选D.
5.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是 （3，4）∪（4，5） .
解析：由已知得5－k>0，k－3>0，5－k≠k－3，解得3＜k＜5且k≠4.
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a；
（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大，最大值为bc；
（2）S△F1PF2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan θ2＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2；
（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝2b2a.
1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（ ）
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
解析：C 由结论3可知｜AB｜＝3＝2b2a，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
2.已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝π3时，△PF1F2的面积为 33 .
解析：由结论2可得，S＝b2tanθ2，可得S＝1·tanπ6＝33条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的轨迹为椭圆
为椭圆的焦点；
为椭圆的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
性质
范围
－a≤x≤a；－b≤y≤b
－b≤x≤b；－a≤y≤a
对称性
对称轴： ；对称中心：（0，0）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
轴
长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为
焦距
｜F1F2｜＝
离心率
e＝ ，e∈（0，1）
a，b，c的关系
a2＝
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的轨迹为椭圆
F1，F2 为椭圆的焦点；
｜F1F2｜ 为椭圆的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
性
质
范围
－a≤x≤a；－b≤y≤b
－b≤x≤b；－a≤y≤a
对称性
对称轴： x轴、y轴 ；对称中心：（0，0）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
轴
长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为 2b
性
质
焦距
｜F1F2｜＝ 2c
离心率
e＝ ca ，e∈（0，1）
a，b，c的关系
a2＝ b2＋c2